Nous pr´esentons maintenant les diff´erentes techniques qui pourraient nous offrir la possi- bilit´e de d´etecter et d’imager la cible cach´ee derri`ere la couche diffusante. Une repropagation
(a) (b)
Fig. III.6: Illustration de l’action du filtre appliqu´e aux antidiagonales de la matrice K. (a)Matrice K0
mesur´ee au temps T = 94, 5 µs (temps d’´echo attendu pour la cible) et `a la fr´equence f = 2, 7 MHz. (b) Matrice KF
obtenue apr`es filtrage des antidiagonales de la matrice K.
directe des signaux (´equivalente `a l’´echographie adaptative dans le domaine de Fourier) et la m´ethode D.O.R.T sont pr´esent´ees. Comme nous allons le voir, il n’y a aucun int´erˆet `a combiner un filtrage pr´ealable de la diffusion simple avec l’´echographie. Au contraire, son association avec la m´ethode D.O.R.T apporte d’excellents r´esultats.
III.5.1
Echographie fr´equentielle (Repropagation directe des signaux)
La mani`ere la plus directe d’imager la cible est d’effectuer une repropagation num´erique des signaux mesur´es. Le principe est tr`es simple. Il consiste `a discr´etiser le plan focal en un ensemble de points o`u la r´eflectivit´e du milieu va ˆetre mesur´ee. Le plan focal est parall`ele au r´eseau multi-´el´ements et est situ´e `a une distance R = cT /2 de celui-ci. L’algorithme de repropagation consiste tout d’abord `a calculer l’op´erateur de propagation G entre les transducteurs du r´eseau et les points du plan focal ; les coefficients gil sont proportionnels `a la fonction de Green entre
l’´el´ement i du r´eseau et le point no l du plan focal, comme d´ecrit sur la figure III.7. Le milieu
fictif de repropagation est consid´er´e comme homog`ene avec une vitesse du son c ´egale `a celle de l’eau. La repropagation des signaux est effectu´ee `a chaque temps T et `a chaque fr´equence f . L’image finale est un vecteur I(T, f ) correspondant `a la valeur absolue du champ repropag´e :
I(T, f ) = G†(T, f )K0(T, f )G∗(T, f ) (III.19) L’image peut ensuite ˆetre moyenn´ee sur toute la bande de fr´equence. Cette repropagation directe des signaux est l’´equivalent de l’´echographie adaptative focalis´ee dans le domaine de Fourier. L’image finale pr´esenterait une moins bonne r´esolution temporelle que celle pr´esent´ee sur la Fig.III.2. Cela mis `a part, les deux images seraient ´equivalentes : une figure de speckle est obtenue `a partir d’une profondeur R = 50 mm et la cible ne peut pas ˆetre d´etect´ee par
Fig. III.7: Principe de la repropagation directe des signaux.
une simple observation attentive de l’image. Un algorithme de d´etection doit ˆetre mis au point pour s´electionner les temps de vol T et fr´equences f pour lesquels la cible serait d´etect´ee. Ce sera l’objet du §III.6.
On peut mettre en ´evidence l’incapacit´e de cette technique `a imager la cible en consid´erant l’image obtenue au temps T = 94, 5 µs et `a la fr´equence f = 2, 7 MHz (voir Fig.III.8).
Fig. III.8: Image de la cible obtenue par ´echographie fr´equentielle au temps T = 94, 5 µs et `a la fr´equence f = 2, 7 MHz. La ligne verticale noire indique la position du centre de la cible. Ce temps de vol T correspond au temps d’´echo attendu pour la cible. La matrice K0
correspon- dante est pr´esent´ee sur la figure III.6(a). La pr´esence de la couche diffusante d´egrade fortement l’image obtenue. Les ´echos de diffusion multiple bruitent fortement l’image. Deux pics princi- paux surnagent tout de mˆeme du bruit de multidiffusion mais aucun des deux n’est localis´e `a la position de la cible. Ce sont les effets aberrants induits par la couche diffusante qui sont responsables de ce d´edoublement du pic principal en deux lobes secondaires.
III.19 `a la matrice pr´ealablement filtr´ee KF
au lieu de la matrice mesur´ee K0
. Mais l’image ob- tenue serait identique quelle que soit la matrice consid´er´ee (KF
ou K0
) (voir Annexe III.A.1). Une d´emonstration heuristique peut ˆetre donn´ee. L’´echographie focalis´ee permet de r´ealiser une somme coh´erente des signaux simplement diffus´es provenant d’un point focal situ´e `a la profondeur R = cT /2 et `a une position transverse X. La technique d’extraction de la diffusion simple (voir§III.4) s´electionne quant `a elle les signaux simplement diffus´es li´es `a des r´eflecteurs situ´es `a une profondeur R = cT /2, ind´ependamment de leur position transverse. En cela, notre technique constitue une ´etape de l’´echographie focalis´ee, car elle fixe la distance focale R. Main- tenant, si nous appliquons l’´echographie focalis´ee aux signaux filtr´es, nous r´ealisons la somme coh´erente des signaux provenant de r´eflecteurs situ´es `a une position transverse X et `a une pro- fondeur R = cT /2. Cependant, cette derni`ere variable a d´ej`a ´et´e fix´ee lors du filtrage pr´ealable de la diffusion simple. Il y a redondance dans le choix de R. C’est pourquoi le filtrage pr´ealable des antidiagonales de K n’apporte rien de plus quand il est associ´e `a l’´echographie tradition- nelle. Ces deux techniques, l’´echographie focalis´ee adaptative et notre technique d’extraction des signaux simplement diffus´es, ne sont pas compl´ementaires. Une d´emonstration rigoureuse est donn´ee en Annexe III.A.1.
III.5.2
M´ethode D.O.R.T appliqu´ee `a la matrice K
0Plutˆot que l’´echographie, la m´ethode D.O.R.T peut ˆetre propos´ee pour construire une image de la cible. Cette technique consiste `a r´ealiser la SVD de la matrice de r´eponse mesur´ee avant d’imager le milieu :
K0(T, f ) = U0(T, f )Λ0(T, f )V0†(T, f ) (III.20) o`u Λ0
est une matrice diagonale contenant les 2M − 1 valeurs singuli`eres λ0
i rang´ees dans
un ordre d´ecroissant. Les vecteur propres U0 i et V
0
i associ´es `a la i`eme valeur singuli`ere λ0i
correspondent aux colonnes des matrices unitaires U0
et V0
. Sous l’approximation de diffusion simple, chaque diffuseur contenu dans le volume isochrone est associ´e `a un espace propre de K0
li´e `a une valeur singuli`ere non nulle λ0
i. Le vecteur propre correspondant V 0
i (ou U 0 i∗)
correspond au signal `a appliquer sur les ´el´ements du r´eseau pour focaliser sur le diffuseur en question. Ainsi, la repropagation num´erique du vecteur propre permet d’imager chaque diffuseur d´etect´e. L’image obtenue grˆace `a l’analyse D.O.R.T est un vecteur I0
i correspondant `a la valeur
absolue du champ repropag´e : I0 i(T, f ) = λ 0 i V0 i(T, f )G∗(T, f ) (III.21) I0
i(T, f ) repr´esente l’image du diffuseur no i `a la fr´equence f dans le plan focal situ´e `a une
profondeur R = cT /2.
Dans notre ´etude, nous esp´erons que le premier espace propre (associ´e `a λ0
1) corresponde `a
l’´echo direct de la cible. Cependant, la couche diffusive plac´ee en amont de la cible engendre de la diffusion multiple, ce qui empˆeche sa d´etection. La figure III.9(a) repr´esente le premier espace propre λ0 1U 0 1V 0 1 † de K0
(voir Fig.III.6(a)) au temps de vol T attendu pour la cible. Ce premier espace propre ne pr´esente pas l’allure d’un ´echo simplement diffus´e, il correspond
(a) (b)
Fig. III.9: M´ethode D.O.R.T appliqu´ee `a la matrice K0 mesur´ee au temps T = 94, 5 µs et `a la fr´equence f = 2, 7 MHz.(a) Partie r´eelle du premier espace propre λ0
1U 0 1V 0 1 † de K0 . (b) Image obtenue en repropageant num´eriquement V0
1. La ligne verticale noire indique la position du
centre de la cible.
en fait `a un espace propre de bruit. Du fait du bruit de multidiffusion, la SVD n’arrive pas `a extraire l’´echo direct de la cible. La diffusion multiple r´esulte en une matrice al´eatoire K0
(voir Fig.III.6(a)) dont les espaces propres sont al´eatoires et sans aucune connexion avec des ´echos directs de diffuseurs situ´es dans le volume isochrone. L’image I0
1obtenue suite `a la repropagation
num´erique de V0
1 est montr´ee sur la figure III.9(b). Cette image n’est qu’une image de bruit :
aucun pic autour de la position de la cible n’est observ´e. La m´ethode D.O.R.T ´echoue dans notre configuration exp´erimentale du fait de la diffusion multiple. L’id´ee a donc ´et´e d’appliquer la m´ethode D.O.R.T non pas `a la matrice K0
, mais `a la matrice filtr´ee KF
.
III.5.3
M´ethode D.O.R.T appliqu´ee `a la matrice K
FL’id´ee essentielle de ce chapitre est de combiner la m´ethode D.O.R.T avec le filtrage pr´ealable des signaux simplement diffus´es d´ecrit au §III.4. Comme la contribution de diffusion multiple est fortement diminu´ee par ce filtrage adapt´e des antidiagonales de K, on esp`ere que la cible puisse ˆetre d´etect´ee en appliquant la m´ethode D.O.R.T `a la matrice KF
. La proc´edure est identique `a celle d´ecrite au paragraphe pr´ec´edent, en rempla¸cant la matrice K0
par KF
. La figure III.10 illustre le succ`es de la combinaison de la m´ethode D.O.R.T avec le filtrage pr´ealable des signaux simplement diffus´es. La matrice KF
obtenue au temps d’´echo T = 94, 5 µs attendu pour la cible, pr´esente d´ej`a une marque potentielle de l’´echo de la cible (voir Fig.III.6(b)). N´eanmoins, cet ´echo est toujours bruit´e par la diffusion multiple r´esiduelle. Mais une fois que la SVD de KF
est r´ealis´ee (KF
= UF
ΛF
VF
), le premier espace propre λF 1U F 1V F 1 † pr´esente une
forme en cercles concentriques caract´eristique d’un ´echo simplement diffus´e (voir Fig.III.10(a)). La repropagation num´erique du vecteur propre VF
1 est pr´esent´ee sur la figure III.10(b). L’image
(a) (b)
Fig. III.10: M´ethode D.O.R.T appliqu´ee `a la matrice KF obtenue au temps T = 94, 5 µs et `a la fr´equence f = 2, 7 MHz. (a) Partie r´eelle du premier espace propre λF
1U F 1V F 1 † de KF . (b) Image obtenue en repropageant num´eriquement VF
1. La ligne verticale noire indique la position
du centre de la cible.
l’amplitude de l’image est moindre qu’en l’absence de couche diffusante, puisque celle-ci diminue fortement l’intensit´e de l’onde coh´erente associ´ee `a la cible.
La comparaison des figures III.9 et III.10 illustre la r´eussite de notre technique. Le filtrage pr´ealable de la diffusion simple ´elimine une grande partie de la diffusion multiple. Cela per- met `a la SVD d’extraire brillamment l’´echo associ´e `a la cible, ce qui ´etait impossible avec la m´ethode D.O.R.T classique ou l’´echographie. Toutefois, ces r´esultats ne sont qu’un exemple `a un couple temps-fr´equence arbitrairement choisi. La d´etection de la cible doit maintenant ˆetre syst´ematis´ee, ce qui n´ecessite de s´electionner les bandes de fr´equence et les temps de vol T sur la base d’un crit`ere qui reste `a ´etablir. De plus, la diffusion multiple peut engendrer des fausses alarmes associ´ees `a d’importantes fluctuations du speckle que l’on pourrait faussement attribuer `a la pr´esence de r´eflecteurs ´echog`enes au sein du milieu. Ainsi, un crit`ere de d´etection rigoureux doit ˆetre ´etabli afin de distinguer l’´echo de la cible des artefacts de la diffusion multiple.