Vari´et´es, atlas et orientabilit´e

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Rappelons que notre but sera d’adapter des surfaces triangul´ees. Il y a plusieurs types de surfaces dont certaines ne sont pas trivialement discr´etisables. Dans notre cas, nous nous limitons `a des surfaces qui sont des vari´et´es au sens de la d´efinition. Elles couvrent n´eanmoins les surfaces que l’on peut retrouver dans l’espace usuelR3.

D´efinition 6 (vari´et´e).Une vari´et´e Γ de dimensionn, oun-vari´et´e, est un espace topologique E= (Γ,N)connexe localement hom´eomorphe `a un disque deRn. Une vari´et´e de dimension 1 est une courbe, et une vari´et´e de dimension 2 est une surface. Intuitivement,Γ est une vari´et´e si le voisinage de tout point deΓest localement euclidien mais ne l’est pas n´ecessairement globalement.

Sauf pr´ecision particuli`ere, on va uniquement consid´erer des2-vari´et´es, c’est-`a-dire des surfaces.

Dans le cas discret, une surface triangul´eeThest une vari´et´e discr`ete si pour tout pointp:

• chaque arˆete incidente `apest incidente `a exactement une ou deux faces.

• le graphe d’adjacence des mailles incidentes `apest un cycle sip∈Γ et un chemin si p∈Γ.

Des exemples de triangulations ne correspondant pas `a des vari´et´es discr`etes sont donn´ees `a la figure1.4. Dans le premier cas, une arˆete est commune `a trois faces. Dans le second cas, le voisinage d’un point `a Ω est incomplet dans le sens o`u l’ensemble des mailles incidentes `a ce point ne constitue pas une boule ferm´ee de R2. Autrement dit le graphe d’adjacence des mailles incidentes au point n’est pas un chemin. Dans le dernier cas, le voisinage d’un point interne n’est pas hom´eomorphe `a un unique disque deR2 puisqu’on peut obtenir deux boules ferm´ees distinctes par ”aplatissement”.

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22 1.1. Notions de topologie

(1)auto-intersection (2)singularit´e (2D) (3)singularit´e

Figure 1.4: Exemples de triangulations qui ne sont pas des vari´et´es discr`etes [1].

exemple. Le globe terrestre est un exemple concret de vari´et´e tel qu’illustr´e `a la figure1.5. En effet, le voisinage de chaque point xde la surface S du globe est localement hom´eomorphe `a une disque de R2 (c’est-`a-dire quelque chose de plat). Ce disque repr´esente lacarte localede S enx. Si l’ensemble des cartes recouvre S, alors il constitue unatlasdont l’´etude permet de rendre compte des propri´et´es d’une vari´et´e. D’un point de vue local, le plus court chemin entre deux villes est une ligne droite, mais globalement il s’agit de la g´eod´esique (courbe) passant par ces deux villes. Sur la figure 1.5, lesUi

correspondent aux ouverts de la vari´et´e, tandis que les Ωisont les ouverts deR2. Lesϕi:Ui →Ωisont les hom´eomorphismes permettant d’associer chaque Ui `a Ωi, et correspondent `a la param´etrisation locale de la vari´et´e. Enfin lesϕij sont des fonctions de transition permettant de ”recoller” les cartes,

´egalement appel´ees applications dechangement de cartes.

(1)une tasse est hom´eomorphe `a un tore2

Introduction Propriétés d’une paramétrisation Une carte unique Surfaces fermées

Représentations de surfaces Paramétrisation de surfaces

Surfaces paramétriques

j Ui

i

'i

i: ouverts deR2 Ui: ouverts de la variété 'i: homéomorphismes Uj 'j

Variété et atlas de cartes

Paramétrisation de maillages

(2)ouverts d’une vari´et´e et cartes locales [104]

Figure 1.5: Exemples concrets d’hom´eomorphisme et vari´et´e de dimension deux.

D´efinition 7(atlas compatibles).Un atlas est ditdiff´erentiablesi les changements de cartes de toutes les intersections d’ouverts non vides le sont. Plus formellement, un atlas (Ux, ϕx)x∈Ω est dit de classeCk, k∈[1,∞]si pour toute paire d’indicesietjtelle queUi∩Uj=∅, l’application de changement de cartes d´efinie parϕi◦ϕj1j(Ui∩Uj)→ϕi(Ui∩Uj)est un diff´eomorphisme de classeCk. Deux atlas de classeCksont ditscompatiblessi leur r´eunion est aussi de classeCk.

d´erivabilit´e. La classe de vari´et´es qui nous int´eresse est celles desvari´et´es diff´erentielles au sens de la d´efinition8. Intuitivement, il s’agit de surfaces deR3qui sont d´erivables. Formellement, ce sont de vari´et´es que l’on peut munir d’un atlas diff´erentiable dont les changements de cartes sont toutes de classe Ck. En remaillage surfacique, elle permet de plonger localement la vari´et´e dans le plan grˆace aux cartes locales, puis de remailler la r´egion `a l’aide de noyaux2D. Elle permet ´egalement de calculer l’orientation ou les courbures locales de la surface, ce qui est utile pour son remaillage direct.

2source: https://fr.wikipedia.org/wiki/Homeomorphisme.

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D´efinition 8 (vari´et´e diff´erentielle).Une vari´et´e diff´erentielle de classeCk est une vari´et´e munie d’une famille d’atlas de classe Ck mutuellement compatibles.

Une vari´et´e est dite lissesi elle est de classe C.

Si on consid`ere une vari´et´eΓ comme un sous-espace de Rn (on dit qu’elle estplong´ee dans Rn), alors elle peut poss´eder des points fronti`eres qui vont constituer son bord Γ. Dans ce cas, on dit queΓ est une vari´et´e `a bord au sens de la d´efinition9), et le voisinage de tout pointp∈Γ d´eborde dans Rn. Dans notre cas, nous ne g´erons que des vari´et´es sans bord (ou ferm´ees). En effet, leur traitement complexifie les noyaux d’adaptation de maillages (un cas particulier de plus `a g´erer) sans apporter quelque innovation algorithmique.

D´efinition 9 (vari´et´e `a bords).Une vari´et´e `a bord Γ de dimension n est un sous-espace topologique de Rn dont les points admettent un voisinage hom´eomorphe `a Rn (point int´erieur), ou bien `a un ouvert de Rn×R+ (point bordants). L’ensemble des points n’admettant que ce dernier type de voisinage constitue le borddeΓ.

orientabilit´e. Afin de pouvoir repr´esenter et stocker la surface triangul´ee, celle-ci doit ˆetre munie d’une orientation permettant de distinguer son int´erieur de son ext´erieur. Comme illustr´e `a la fig-ure1.6, toutes les vari´et´es ne sont pas orientables. Dans notre cas, nous avons besoin d’une orientation consistante des mailles pour pouvoir calculer des quantit´es diff´erentielles impliqu´ees dans la cr´eation d’une carte de tailles d’arˆetes, ou bien dans les noyaux (projection de points apr`es un raffinement par exemple). L’orientation d’une vari´et´e d´epend de la notion delacet au sens de la d´efinition 10.

D´efinition 10(lacet).Un lacetγ d’une surfaceΓ est une courbe param´etr´ee γ: [0,1]→Γ telle queγ(0) =γ(1). Ainsi, si on parcourtγ, le point de d´epart co¨ıncide avec le point d’arriv´ee.

Comme tout point d’une2-vari´et´eΓ poss`ede un voisinage hom´eomorphe `a un disque deR2, choisir une orientation locale deΓ revient `a choisir une orientation de ce disque, par exemple un rep`ere local ou un sens de rotation. Intuitivement, une surface est orientable si lorsqu’on choisit une orientation en un pointp, et que l’on d´eplace le long d’un lacet (au sens de la d´efinition10) en gardant le mˆeme choix d’orientation3, on retrouve la mˆeme orientation `a l’arriv´ee qu’au d´epart. L’orientabilit´e d’une surface se d´efinit ensuite `a partir de la propri´et´e de ses lacets `a changer l’orientation ou non (d´efinition11).

En effet, un lacet pr´eserve l’orientation si l’orientation au d´epart et `a l’arriv´ee sont identiques.

(1)ruban de Mobius4 (2)bouteille de Klein5 (3)surface de Boy6 Figure 1.6: Exemples de vari´et´es non orientables deR3.

D´efinition 11 (vari´et´e orientable).Une vari´et´e est orientable si tous ses lacets pr´eservent l’orientation, sinon elle est juste dite non orientable.

3grˆace `a la notion detransport parall`eleque l’on d´efinira plus tard.

4source : https://da.wikipedia.org/wiki/Mobiusband.

5source : http://jeanne.allenfive.com/on-the-topic-of-topology-and-the-construction-of-the-klein-bottle/

6source : http://www.apprendre-en-ligne.net/blog/index.php/2009/01/27/1206-la-surface-de-boy

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24 1.1. Notions de topologie

in fine. Dans notre cas, on se restreint aux surfaces triangul´ees de classe au moinsC2par morceaux, orientables et sans bord. La raison de cette contrainte d’orientabilit´e est double. En effet, une orientation consistante des mailles permet de d´efinir un champ non ambigu de vecteurs normaux `a la surface. Ce champ est utile pour la reconstruction discr`ete des quantit´es diff´erentielles comme les courbures et directions principales, en tout point deΓ. Il permet ´egalement d’approcher localementΓ au voisinage d’un point ou sur une maille `a l’aide d’une param´etrisation locale7. Par ailleurs, cette orientation nous permet de recourir `a des structures de donn´ees bas´ee sur un parcours ordonn´e de demi-arˆetes (carte combinatoire par exemple, section 1.1.3), ou fournir des primitives topologiques bas´ees sur un parcours barycentrique de mailles (localisation de points pour la projection de quantit´es ponctuelles par exemple).

densit´e. Pour adapter la triangulation, nous avons besoin de savoir comment r´epartir les points sur la surface Γ et donc une densit´e sur les points de Γ (d´efinition 12). Elle va red´efinir le voisinage continu de chaque pointpduTh, et donc la taille souhait´ee des arˆetes incidentes `ap.

D´efinition 12 (densit´e).Intuitivement, une densit´e encode la r´epartition souhait´ee des points sur la surfaceΓ. Formellement, c’est l’applicationρ:Γ →R+ qui sp´ecifie la taille du voisinage continu de tout point deΓ. Elle red´efinit la boule{q∈Γ, ρ(p)kq−pk2≤1} de tout pointp∈Γ. Ainsi, la taille d’une arˆete [pq] est la longueur d’un segment g´eod´esique sous-tendue par pet q conform´ement `aρ:

`h(pq) = inf

γ

Z q p

ρ[s]12kdt[s]kds (1.4)

En fait, quand on munit une vari´et´eΓ d’une carte densit´eρqui red´efinit le voisinage de chaque point de Γ, alors on est en train de construire unevari´et´e riemannienne au sens de la d´efinition 13.

En effet, on est en train de d´efinir un espace m´etrique qui d´efinit les distances localement sur chaque point conform´ement `aρ.

(1)une carte de la France selon le temps de trajet entgv. La d´eformation r´esultante forme une vari´et´e riemannienne.8

(2)l’espace-temps est une vari´et´e

pseudo-riemannienne: la terre se d´eplace en direction du soleil mais sa trajectoire est d´evi´ee.9 Figure 1.7: Exemples de vari´et´es (pseudo)-riemanniennes.

D´efinition 13 (vari´et´e riemannienne).Une vari´et´e riemannienne(Γ, gp)est une vari´et´eΓ ( R3 munie d’un produit scalairegp :TpΓ×TpΓ →Rsur le plan tangent TpΓ de tout pointp∈Γ. Ainsi TpΓ d´efinit un espace m´etrique o`u la norme d’un vecteur vest : kvk=p

gp(v,v).

Ainsi la surfaceΓ munie d’une carte de densit´eρ peut ˆetre vue comme une vari´et´e riemannienne (Γ, gp), o`u gp est le produit scalaire local au pointpd´efini par :

gp(u,v) =ρ(p)hu,vi, ∀u,v∈TpΓ. (1.5)

7Dans notre cas, la vari´et´e n’est connue qu’aux points de la triangulation. Ainsi elle peut ˆetre localement approch´ee par une surface quadrique, des splines, des patchs debeziers, ou encore desnurbs

8source: http://neomansland.over-blog.org/article-20926040.html.

9source: http://www.uh.edu/jclarage/astr3131/lectures/4/einstein/Einstein stanford Page7.html.

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De mani`ere g´en´erale, toute vari´et´e munie d’un produit scalaire localgpest une vari´et´e riemannienne.

Des exemples concrets de vari´et´es (pseudo)-riemanniennes10 sont donn´es `a la figure1.7.

Cette notion de vari´et´e riemannienne est importante car elle va nous permettre de d´efinir des noyaux uniques pour l’adaptation de triangulations `a l’erreur d’une solution num´erique ou `a l’erreur de la surface elle mˆeme, en changeant juste la m´etriquegp associ´ee aux pointspde la surface.

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