3.2 Design des noyaux
3.2.2 Pr´e-traitement
Rappelons que nous ne disposons que de donn´ees minimales relatives `a la description de la surface,
`a savoir un ensemble de points et de mailles sans aucune autre donn´ee g´eom´etrique, tels que les mod`eles fournis au format STL (STereo-Lithography). Ainsi une ´etape de pr´e-traitement incluant l’extraction de donn´ees additionnelles est n´ecessaire. Les ´etapes aff´erentes sont r´esum´ees `a la figure3.3.
6Il est repr´esent´e par le diam`etrehdu maillageThqui correspond `a la longueur de sa plus grande arˆete.
7Comme les mod`eles g´eom´etriques issus d’une CAO ou de capteurs 3D.
8En norme L2, elle correspond `a la distance euclidienne entre les points deTet ceux deΓ. En norme L∞, il s’agit de la distance de Hausdorff qui repr´esente l’´ecart maximal entreTetΓ.
9On ne cherche pas `a minimisern´etant donn´e un seuil d’erreurεmax – contrairement aux m´ethodes usuelles en adaptation de maillages [78].
10Notons que la forme et l’alignement d’un triangle sont relatives `a la variation de la solution num´erique ou de la surface, il ne s’agit pas juste d’avoir un triangle ´equilat´eral.
11Comme les distances, angles etc.
12Pour l’interpolation ou la quadrature lors d’une int´egration num´erique par exemple
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58 3.2. Design des noyaux
3.2.2.1 Extraction des ridges
en bref. Avant tout autre traitement, il nous fait extraire les caract´eristiques importantes de la surface que l’on souhaite pr´eserver. Il s’agit d’identifier les entit´es de discontinuit´e13 qui vont n´eces-siter un traitement particulier tout au long du remaillage. Dans notre cas, on distingue :
• les ”ridges” : ce sont les courbes caract´eristiques d´elimitant deux portions de la surface qui s’intersectent avec un angle aigu (crˆetes ou vall´ees). Pour les mod`eles issus d’une cao, elles peuvent ˆetre identifi´ees en rep´erant simplement les paires de mailles dont l’angle di`edre exc`ede un certain seuil fix´e. Pour les vari´et´es plus g´en´erales, leur extraction n’est pas triviale, et n´ecessite l’estimation des extrema des courbures principales sur les points de la surface [137–139].
• les ”coins” : ce sont les points saillants de la surface qui doivent ˆetre pr´eserv´es. Ils sont identifi´es comme ´etant l’intersection d’au moins trois ridges.
Les autres entit´es sont ditesordinaireset correspondent aux r´egions o`u la surface est localement lisse.
(1)surface id´eale avec ses courbes caract´eristiques
•
•
•
•
• •
(2)identifier les ridges et coins.
construireN.
•
•
•
• •
•
•
•
(3)dupliquer les ridges, chainer ridges et coins.
(4)orienter la surface par des vecteurs normaux sortants.
Figure 3.3: ´Etapes de pr´e-traitement.
3.2.2.2 Repr´esentation de la topologie
Une fois ses entit´es classifi´ees, il nous faut construire la topologie de Th, i.e la connectivit´e des points et des mailles. Il y a plusieurs mani`eres de repr´esenter cette topologie (voir chapitre pr´ec´edent).
Dans notre cas, on veut un mod`ele de repr´esentation qui :
1. estlocal afin de restreindre les mailles impact´ees lors d’une mise `a jour.
2. estminimal afin de simplifier les mise `a jours.
3. minimise les indirections afin de r´eduire les d´efauts de cache lors des requˆetes.
graphe d’incidence. Les surfaces triangul´ees sont usuellement repr´esent´ees par une structure ori-ent´ee telle que les halfedges ou les cartes combinatoires [140, 109]. Ainsi la topologie est port´ee ex-clusivement par les arˆetes qui sont dupliqu´ees. L’avantage est double. D’une part, leur mises `a jour restentlocales `a la maille ou `a la boule d’un point en cours de modification. D’autre part, une struc-ture orient´ee permet la v´erification d’invariants au sein de chaque noyau avant et apr`es modification.
N´eanmoins elle comporte deux inconv´enients :
• un surcoˆut m´emoire important li´e au stockage des demi-arˆetes enO(6n), ce qui ne permet pas de passer `a l’´echelle en vue d’un calcul intensif,
• un nombre important d’indirections lors des requˆetes de voisinage. Ici reconstruire la boule d’un point implique 2rindirections, avecrle degr´e du point : cela peut induire autant de d´efauts de cache si les donn´ees associ´ees ne sont pas voisines en m´emoire.
Une autre repr´esentation usuelle consiste `a extraire le graphe dual de la triangulation, i.e le voisinage des mailles. Bien que simple `a mettre `a jour, elle implique presque autant d’indirections que les
13Ils sont indiqu´es parBridgesdans tout le manuscrit.
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halfedges sans leurs avantages. Devant ce constat, nous d´ecidons de stocker uniquement les mailles incidentes `ap. Pour un point donn´e, on peut n´eanmoins retrouver ses points voisins avec un seul niveau d’indirection. Ainsi la topologie est repr´esent´ee sous forme d’un graphe biparti (P,M,N) avec :
• P ={pi}i∈V: l’ensemble des points,
• M ={Kj}j∈K : l’ensemble des mailles, qui sont en fait des triplets d’indices de points.
• N: V→ P(K) donne pour chaque point les mailles qui lui sont incidentes14.
Bridges. Si la surface comporte des discontinuit´es alors le traitement est assez complexe, puisqu’on a besoin d’une repr´esentation explicite des arˆetes vives. On aurait pu juste marquer ou stocker uniquement leurs sommets (ou ridges), toutefois toute paire de ridges ne correspond pas forc´ement `a une arˆete vive (voir figure3.3). Pour ne pas devoir utiliser une repr´esentation centr´ee arˆete, on d´ecide de stocker l’adjacence des coins et ridges dans un graphe (S,R, β).
• S : l’ensemble des ”coins”,
• R : l’ensemble des ridges,
• β: R→ P(S∪R) permet de retrouver les arˆetes vives incidentes `a un ridge ou coin.
Pour rester coh´erent, on a besoin de relier les indices des ridges et coins `a leurs coordonn´ees. Pour cela on maintient un mapping bijectif15ν : E→R∪S, o`u E⊂V est form´e par les indices des ridges.
1 3 2
4 5 6
3 1
2 4
1 2
1 3 8
9
5 7
6
(1)- num´erotation des mailles et points;
- duplication des ridges (en rouge);
- stockage de la courbe (en bleu).
1 2 3 4 5 6
K :
V : E∪E¯ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
S : 1 1 β 2 : R
(2)- le voisinage des points est encod´e par (V,K,N);
- le chaˆınage des ridges est donn´e par (R,S, β).;
- les deux graphes sont li´es parνS etνR. Figure 3.4: Construction de la topologie.
duplication. En fait, il est crucial d’avoir une repr´esentation des arˆetes vives qui soit ind´ependante d’un voisinage pour la parall´elisation des noyaux. En r´ealit´e, les traitements sur un ridgepd´elimitant deux r´egions Γ1et Γ2 implique souvent des donn´ees propres :
• `a son sous-voisinage appartenant `a une r´egionΓi,
• ou bien aux sommets des deux arˆetes vives incidentes `ap.
Devant ce constat et du fait qu’on ne puisse extraire un sous-voisinage de mani`ere directe, on d´ecide de dupliquer les ridges (figure3.41). Ici l’avantage est double. Pour chaque ridge, cela permet d’attacher des donn´ees relatives `a chaque r´egion sans avoir `a les re-calculer `a la vol´ee `a chaque fois. De plus, cela permet aux noyaux de traiter simultan´ement ces deux r´egions. Concr`etement, l’ensemble de points V est enrichi par les points dupliqu´es E, et la topologie N est modifi´ee afin de discriminer les deux sous-voisinages de chaque ridge. Notons que R et S restent inchang´es, mais le mappingν est scind´e en deux νR : E×E → R et νS : E → S (figure 3.42). Pour ce qui est du surcoˆut-m´emoire, il reste minime dans la mesure o`u le nombre de ridges est faible compar´e au nombre total de points16. Enfin chaque graphe est stock´e en m´emoire sous forme d’un tableau de listes d’incidences17
14Les V,K Nsont respectivement les espaces d’indexation des points et mailles.
15Concr`etement, on stocke deux tablesνetν−1qui seront mises `a jour par les noyaux.
16Du moins si le maillage est bien ´echantillonn´e, ce qui est le but du remaillage.
17Notons qu’il est moins compact que la structure usuelleCSRd´edi´e au stockage de graphes et matrices creuses [208, 209]. N´eanmoins elle est plus flexible pour les mises `a jour, et les deux sont ´equivalentes en terme de compacit´e quand
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60 3.2. Design des noyaux
3.2.2.3 Orientation de la surface
Enfin, la derni`ere ´etape consiste `a munir la surface triangul´ee d’une orientation consistante18. Comme la surface est une fronti`ere d’un domaine volumique, l’id´ee est de distinguer l’int´erieur et l’ext´erieur de ce domaine. Pour cela, il nous faut extraire un champ de vecteurs normaux qui pointe vers son ext´erieur. Pour chaque point, le vecteur normal associ´e est orthogonal `a son plan tangent.
principe. D’abord il nous faut orienter les mailles19, ensuite on calcule la normale `a un point `a partir des mailles qui lui sont incidentes. Pour orienter les mailles, l’id´ee est d’ordonner ses trois sommets selon un sens fix´e au pr´ealable. Pour cela,
• on commence par orienter une maille arbitraireK (ou graine) en fixant une normale sortante `a K, et telle que ses sommets soient r´eordonn´es dans le sens trigonom´etrique dans ce rep`ere local ainsi form´e. Cette normale s’obtient par un produit vectoriel des composantes de la matrice jacobienneJK∈R2×3 associ´ee `a K.
• on se propage ensuite sur la surface grˆace un parcours en largeur `a partir deK.
Enfin, il reste `a orienter les points. Ici, un point r´egulier admet une unique normale sortante car la surface est localement lisse (et donc d´erivable) en ce point. Dans notre cas, la normale `a un point correspond `a une moyenne pond´er´ee des normales unitaires des mailles qui sont incidentes `a ce point20. Il y a plusieurs choix possibles pour les poids (angles incidents, aire des mailles). Nous retenons le crit`ere d’angle car c’est assez stable : il ne d´epend pas de la taille des mailles [141,142].
(1)surface id´eale (2)ridges et coins (3)vecteurs normaux
Figure 3.5: Orientation de la surface par extraction des normales.
B ridge. Si le pointpest un ridge ou un coin, alors on perd l’unicit´e de la normale sortante. En fait le traitement diff`ere pour les deux cas :
• ridge: ici, p appartient `a une unique courbe d´elimitant deux r´egions distinctes de la surface.
Ainsi il admet une normale sortante par r´egion, celle-ci est calcul´ee comme dans le cas d’un point r´egulier, mais sur uniquement le sous-voisinage depdans cette r´egion. Par ailleurs,pest un point de contrˆole d’une courbe caract´eristiqueγ`a pr´eserver. Ainsi nous d´ecidons de calculer et stocker la normale relative `a la d´eriv´ee seconde de γ sur p. Cela permet de reconstruire γ ind´ependamment de la r´egion qu’on consid`ere (figure3.5).
la taille des listes est fig´ee, notamment pour le chainage des ridges.
18Ici le fait que la surface soit une vari´et´e orientable est important.
19Notons que le fait d’orienter les mailles permet de d´etecter les inconsistances topologiques (comme les trous ou repliements) lorsqu’on applique un noyau.
20En fait, il y a une autre mani`ere de calculer la normale en un point : letensor voting. Dans ce cas, cette normale s’obtient en minimisant l’erreur d’une surface quadrique d´efinie sur un point p, puis en faisant une d´ecomposition spectrale de la matriceMd´efinissant la quadrique avecAp=−B.n(p) correspond au vecteur propre associ´e `a la plus grande valeur propre deM. En fait la r´eelle diff´erence entre ces deux approches r´eside dans l’estimation des normales aux lignes deC1-discontinuit´e ou quand la triangulation est trop bruit´ee. Mais compte-tenu de nos hypoth`eses sur la surface triangul´ee en entr´ee, la mani`ere de calculer chaque normale importe peu in fine.
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• coin: ici, la surface n’est pas d´erivable et le point n’admet pas un unique plan tangent. Il nous faut quand mˆeme d´efinir une normale pour ces points l`a. Ainsi cette normale n’est pas stock´ee mais va ˆetre calcul´ee `a la vol´ee selon la r´egion de la surface que l’on consid`ere.
Maintenant que les points sont munis d’une orientation consistante, on peut `a pr´esent reconstruire localement la surface id´eale, ou estimer des quantit´es relatives `a sa variation (gradient, courbure).