Synth`ese

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En bref, nous avons vu que la g´en´eration de la triangulation initiale d´epend de la repr´esentation de la surface en entr´ee qui peut ˆetre explicite (nuage de points) ou implicite (fonction distance);

mais qu’elle n´ecessite un traitement ult´erieur (ou remaillage) dans les deux cas. `A ce titre, nous avons ´egalement vu les diff´erentes strat´egies de remaillage d’une surface triangul´ee. ´Etant donn´ee une densit´e, les m´ethodes variationnelles fournissent la meilleure discr´etisation possible en termes de r´epartition de points et de qualit´e des mailles, grˆace `a un r´e´echantillonnage complet de la surface.

Souvent bas´ees sur une routine de descente, elles sont n´eanmoins lentes `a converger. Ainsi elles ne conviennent pas `a une boucle num´erique adaptative en raison du surcoˆut prohibitif : cela est d’autant plus vrai lorsque la solution num´erique ne varie que graduellement `a chaque pas de temps. Une approche de remaillage local permet de palier ce probl`eme. En se basant sur des algorithmes de recherche locale, elle vise `a adapter graduellement la surface triangul´ee par le biais de noyaux locaux, afin de satisfaire la densit´e prescrite. N´eanmoins leur convergence n’est pas toujours garantie car on peut ais´ement tomber sur un minimum local23 : `a vrai dire c’est le choix des noyaux ainsi que leur contrˆole qui va grandement influencer l’efficacit´e du remailleur24.

∗ ∗ ∗

23Cela implique une discr´etisation moins r´eguli`ere ou un nombre sous-optimal de points de Steiner compar´e `a une ethode variationnelle.

24en termes d’erreur d’interpolation ou de qualit´e de mailles

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Part II

Contributions

c2018.HOBYRAKOTOARIVELO chapitre

3

Design de noyaux surfaciques locality-aware.

Rappelons que notre but est d’acc´el´erer la boucle num´erique adaptative d´ecrite `a la page 11, en proposant des noyaux d’adaptation de maillages qui exposent une localit´e maximale requise par le hardware, malgr´e leur irr´egularit´e intrins`eque. En fait cette contrainte est loin d’ˆetre triviale car elle limite significativement les choix algorithmiques dans la construction de noyaux, et donc leur efficacit´e.

Dans ce chapitre, nous montrons comment nous concilions ces contraintes de localit´e, tout en restant aussi efficaces que les noyaux de r´ef´erence en termes de convergence en erreur ou en qualit´e de mailles.

Contributions :

• une projection de points bas´ee sur l’application exponentielle,

• un noyau de lissage mixte diffusion-optimisation non lin´eaire,

• une preuve d’´equivalence des mesures usuelles de gradation,

• un transport optimal de tenseurs m´etriques sur une vari´et´e.

Publications: un article[RL18]et une pr´esentation[LR18].

3.1 Introduction . . . 54 3.1.1 Cadre et contraintes . . . 54 3.1.2 D´emarche et contributions . . . 55 3.2 Design des noyaux . . . 56 3.2.1 Hypoth`eses et optimalit´e . . . 56 3.2.2 Pr´e-traitement . . . 57 3.2.2.1 Extraction des ridges . . . 58 3.2.2.2 Repr´esentation de la topologie . . . 58 3.2.2.3 Orientation de la surface . . . 60 3.2.3 Reconstruction et projection . . . 61 3.2.3.1 Patch spline par maille . . . 62 3.2.3.2 Blending pour la continuit´eG1 . . . 63 3.2.3.3 Notre op´erateur de projection . . . 64 3.2.4 Recherche locale . . . 66 3.2.4.1 Raffinement . . . 66 3.2.4.2 Simplification . . . 67 3.2.4.3 Relaxation . . . 69 3.2.4.4 Lissage . . . 70 3.2.5 Strat´egie compl`ete . . . 78 3.3 Extension au cas anisotrope . . . 80 3.3.1 R´epartition anisotrope des points . . . 80 3.3.1.1 Int´erˆet et principe . . . 80 3.3.1.2 Normalisation . . . 82 3.3.1.3 Gradation . . . 84 3.3.2 Transport de m´etriques . . . 87 3.4 Evaluation num´erique . . . .´ 91 3.4.1 Cadre, but et mesures . . . 91 3.4.2 Pr´ecision des noyaux . . . 92 3.4.3 Convergence . . . 96 3.5 Conclusion . . . 98

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54 3.1. Introduction

3.1 INTRODUCTION 3.1.1 Cadre et contraintes

but. Dans le cadre de simulations adaptatives impliquant un solveur num´erique et un remailleur3D, notre but est de fournir des noyaux surfaciques qui exposent une localit´e maximale requise par les architectures manycore, tout en restant aussi efficace que les noyaux de r´ef´erence en termes de con-vergence en erreur ou en qualit´e.

Partant d’une surface triangul´ee uniforme et d’un budget de points, nous visons `a fournir un mail-lage qui minimise l’erreur d’interpolation de la solution num´erique calcul´ee, ou l’erreur d’approximation de la surface elle mˆeme1, tout en maintenant un bon ratio d’aspect des mailles `a la fois en contexte isotrope et anisotrope, comme illustr´e sur la figure3.1.

Une seule m´ethode pour les gouverner tous adaptation bas´ee sur les tenseurs m´etriques

1e-5 0.0001 0.001 0.01

error [log-scale]

1.7e-06 0.0767

solution interpolation error

1. maillage initial erreur estim´ee de la solution maillage adapt´e

2. maillage initial erreur estim´ee de la surface maillage adapt´e

Figure 3.1: Les deux types d’adaptation g´er´ees.

travaux connexes. L’adaptation locale de surface ou volume est une th´ematique bien ´etudi´ee [11], et plusieurs outils robustes et open-source existent commetetgen,meshlab,cgal,madlib,mmgs-3D, ou gmsh [9, 96, 132–134]. Ainsi une question l´egitime concerne l’utilit´e de r´einventer la roue. En fait, les noyaux impliqu´es dans ces remailleurs n’exposent pas suffisamment de localit´e requis par le hardware. En effet, chaque op´eration sur un point ou une maille ne devrait impliquer qu’un voisinage restreint, statique et born´e. Notons que cette contrainte de localit´e est loin d’ˆetre triviale, et les noyaux les plus efficients de l’´etat de l’art ne la respecte pas. `A titre d’exemple :

• le recours auxcavit´es dynamiques2permet d’acc´el´erer la convergence en qualit´e [123,97]. En fait cela permet de supprimer les mailles distordues au voisinage d’un point donn´e, lors de l’insertion ou suppression de ce point. N´eanmoins ces mailles ne peuvent pas ˆetre inf´er´ees statiquement.

1En fait dans notre cas, la r´epartition des points ainsi que l’alignement est guid´e par un champ de tenseurs m´etriques efinie sur les points du maillage. Si on veut adapter le maillage `a l’erreur de la solution num´eriqueu, alors ce champ peut ˆetre extrait des hessiennes locales deu. Si c’est `a l’erreur de la surface elle-mˆeme, alors il est extrait des tenseurs de courbures. Enfin, les deux erreurs peuvent ˆetre g´er´ees simultan´ement en utilisant l’intersection de tenseurs m´etriques.

2Comme lesnoyaux de Delaunaysurfacique ou anisotrope, et lehybrid cavity kerneldeloseilleet al.

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• le remaillage `a base d’atlasfournit des surfaces bien ´echantillonn´ees, avec une qualit´e comparable

`

a celle issue d’une m´ethode variationnelle. Ici la surface est localement plong´ee dans un plan par le biais d’une param´etrisation, puis remaill´ee via des noyaux2D. N´eanmoins construire l’atlas `a la vol´ee implique de parcourir et figer un voisinage non pr´ed´efini de mailles `a chaque fois [120].

• les calculs num´eriques sont plus stables sur des maillages quasi-structur´es3. Relaxer les degr´es des points est n´eanmoins fastidieuse due `a de nombreux minima locaux. En fait les noyaux de r´ef´erence (5-6-7 scheme, puzzle solving) s’appuient sur une s´equence dynamique de bascule-raffinement-suppression d’arˆetes : les mailles impact´ees ne peuvent ˆetre inf´er´ees [120,135,136].

En fait, nous tentons de concilier deux contraintes antagonistes. Pour satisfaire la localit´e, on est con-traint d’utiliser que de noyaux tr`es basiques (pas de cavit´e dynamique, pas de plongement via un atlas, pas de s´equence dynamiques d’op´erations). Pour rester aussi efficient que l’´etat de l’art, on est con-traint de recourir `a des noyaux dynamiques afin de converger rapidement en termes d’approximation de la surface, de qualit´e de mailles ou bien d’interpolation de la solution num´erique.

3.1.2 D´emarche et contributions

raffinement

s1 ΓK s1

s0

ΓK s1

s2 s0

ΓK

ajout de points par d´ecoupage de maille.

simplification

suppression de points en les fusionnant.

swapping

´egaliser les degr´es par bascule d’arˆete.

smoothing

am´eliore la qualit´e par boug´e de point.

Figure 3.2: Nos noyaux statiques. Ici, le raffinement et la simplification vise `a r´e´echantilloner la surface, tandis que la bascule et le lissage vise `a la r´egulariser. En l’occurence, ils n’impliquent qu’une maille, une paire de mailles ou le voisinage direct d’un point.

contributions. Dans ce cadre, nous visons `a concilier les deux contraintes. Pour exposer une localit´e maximale, nous ne recourons que lesnoyaux basiquesd´ecrits `a la figure3.2, et nous ´evitons les features dynamiques d´ecrites pr´ec´edemment. Pour rester aussi efficient en termes de convergence, les noyaux que nous proposons s’appuient sur desprimitives g´eom´etriques avanc´ees. Ils incluent :

• Projection de points(raffinement, simplification et lissage).

Dans notre cas, la surface id´eale n’est connue que sur les points du maillage, et nous ne disposons pas d’un atlas pour une param´etrisation locale. Ainsi, nous devons trouver une mani`ere pr´ecise de placer les points sur cette surface id´eale lorsqu’on coupe un’ arˆete, qu’on fusionne deux points ou encore quand on d´eplace un point. Si le point est d´ej`a sur le maillage alors ce n’est pas un probl`eme puisque dans ce cas, nous pouvons utiliser des courbes deb´eziers, unpn-triangle ou une surface quadrique par exemple. N´eanmoins s’il n’est pas sur le maillage, alors la situation n’est pas claire. Dans ce cas, nous devons d’abord le projeter sur le maillage, puis ensuite sur

3Autrement dit, un maillage o`u tous les points ont quasiment le mˆeme nombre de voisins : 6

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