Gradation

Le champ tensoriel obtenu `a la section pr´ec´edente d´ecrit la r´epartition id´eale des points en fonction de l’approximation de la surface ou de l’interpolation de la solution num´eriqueu, selon le nombre cible de points n<sub>max</sub> et la sensibilit´e de la norme L<sup>p</sup> utilis´ee. N´eanmoins il ne garantit pas n´ecessairement une r´epartition r´eguli`ere des points sur toute la surface. Ainsi cela peut induire un ratio important de tailles d’arˆetes voisines impliquant des mailles tr`es ´etir´ees et de pi`etre qualit´e. Afin d’assurer une variation graduelle de tailles d’arˆetes sur la surface triangul´ee, nous proc´edons au lissage du champ tensoriel : c’est ce que nous qualifions degradationdans notre contexte.

travaux connexes. Rappelons que la taille cible d’arˆete au pointpen direction deuesthp(u) = gp(u,u)⁻¹². Il y a plusieurs mani`eres de consid´erer le probl`eme selon que l’on veuille lisser (ou borner) :

• size ratio, i.e le ratio de tailles d’arˆetes adjacentes [132,99].

• h-variation, i.e le gradient de hen direction de −→pq[100].

• h-shock, i.e le ratio dehrelative `a la variation de`h(pq) [100,101].

Ainsi le but est donc de mettre `a jour gp en fonction d’un seuil sur l’un des crit`eres ci-dessus.

Notons indistinctement ce crit`ere cp(u) pour un point p donn´e en direction de u = −→pq. En fait il n’existe pas mille fa¸cons d’y parvenir : ´etant donn´e un seuil sur cp, il faut trouver un facteur d’att´enuationλi `a appliquer sur chaquehp(vi) pour chaque direction principale vi dans un premier temps. On r´eit`ere la routine jusqu’`a ce quecp soit atteint pour toutp.

p q p q

apr`es

Figure 3.21: N´ecessit´e d’un ajustement directionnel des tenseurs.

A vrai dire, les approches ne se distinguent r´eellement que sur la mani`ere d’ajuster les directions` principalesvi associ´ees `a chaquehp(vi) dans le cas anisotrope (voir figure 3.21). En effet, un lissage des directions est n´ecessaire quand l’orientation des tenseurs relatifs aux sommets d’une arˆete [pq] sont trop ´eloign´es, afin d’obtenir un alignement r´egulier des mailles incidentes `apetq. Ainsi les directions principalesvi peuvent ˆetre :

• gard´ees intactes comme dans [132]. Ainsi la gradation se r´esume en l’application d’un facteur d’homoth´etie sur chaquehx(vi) pour chaque direction principale vi en tout point x.

• r´eduites par intersection de tenseurs comme dans [101]. La matrice de direction R du tenseur

`a modifierM=RΛR<sup>T</sup> est ajust´e par rotation d’angleθ, de sorte que les deux tenseurs soient congruents `a une matrice diagonale dans la base form´ee parR. Il rend le tenseur isotrope dans le cas o`u les orientations des deux tenseurs sont trop ´eloign´ees comme sur la figureA.3.

• ajust´ees au cas par cas comme dans [99] selon la configuration des directions principales associ´ees

`a chaque paire de tenseurs, qui peuvent ˆetre :

de rang 1, avec une direction unique (sph´erique).

de rang 2, avec une direction polaire et une ´equatoriale (sph´ero¨ıdal).

de rang 3, avec trois directions distinctes (ellipso¨ıdal).

Elle pr´eserve mieux l’anisotropie, mais la matrice de direction ne reste pas toujours orthogonale.

c2018.HOBYRAKOTOARIVELO

En notantSle voisinage dep, les trois crit`eres de gradation d´ecrits pr´ec´edemment sont donn´es par : s(p) = max En r´ealit´e, le choix du crit`ere n’est pas d´ecisif puisque les trois crit`eres sont ´equivalents (propri´et´e2).

Propri´et´e 2(´equivalence des mesures de gradation).Les trois mesures de gradation (size ratio,h-variationeth-shock)d´ecrits `a (3.26)sont ´equivalentes.

preuve. Soient 1, 2 et 3 les seuils prescrits pour chaque crit`ere de l’´equation (3.26). Pour cela nous allons d´emontrer que borner ∇hp par2 est ´equivalent `a borner s(p) dans un premier temps.

Ensuite, nous montrons que borners(p) par1 est ´equivalent `a borner c(pq) pour toutq∈S.

En supposant quehq≥hp, on a :

D’un autre cˆot´e, on va exprimer le lien entre le variation dehet le ratio de tailles(p). On suppose qu’on dispose d’une triangulation unit´e au sens o`u les tailles d’arˆetes sont conformes avec la m´etrique gxpour tout x. Dans ce cas, pour toute paire d’arˆete incidente [ab] et [bc], on a : `h(ab) =`h(bc) = 1.

Ici l’id´ee est d’exprimerkabket kbcken fonction de la longueur de la courbe γ sous-tendue par [ac].

En notant ˆa, ˆb et ˆcles coordonn´ees param´etriques de a,bet c surγ: [0,1]→Ravec ˆa= 0 et ˆc= 1.

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86 3.3. Extension au cas anisotrope

Comme`h(γ) =`h(ab) +`h(bc) = 2, on a de mˆeme : ˆ

c=ha(e^2∇h−1) hc−ha

(3.29) En combinant (3.28) et (3.29), le ratio de taille s’obtient comme suit :

kbck

En combinant les ´equations (3.31) et (3.32), on a bien :

2= ln|1|= ln|3| (3.33)

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Par cons´equent, le choix d’une mesure de gradation parmi celles d´ecrites en (3.26) est arbitraire, puisque borner l’une d’entre elles permet de borner les deux autres.

nos choix. Par souci de simplicit´e, nous d´ecidons de contrˆoler lah-variationtelle que ¹ ≤ ∇hp≤ en tout pointpde la triangulation. Pour le lissage des directions, nous optons pour l’approche d´ecrite dans [101] bas´ee sur le recours `a l’intersection de tenseurs.

• ajustement de tailles. Pour chaque arˆete [pq] incidente `ap, la densit´eρi(p) associ´ee est liss´ee par un facteurλtel que :

λ= ρi(p)

ρi(q) = (1 +2`p(pq))⁻² (3.34a)

= (1 +2hp(pq)kpqk)⁻² (3.34b) Ainsi dans le cas anisotrope, il nous suffit d’appliquer un facteur de lissage λi pour chaque direction principalevi. Ainsi le tenseur m´etrique gp est mise `a jour comme suit :

∀u,v∈TpΓ, gp|w(u,v) =hu, JpP^Tηp|wD PJ_p^Tvi (3.35a) avecηp|w=

Å(1 +2h1,pkwk)⁻² 0

0 (1 +2h2,pkwk)⁻² ã

(3.35b)

• ajustement de directions. Elle s’effectue en deux phases :

expansion: chaque pointppropage sa m´etriquegq|w en tout pointqde la surface tel que w=−→pq, selon un facteur relatif aux coefficientsλi,wd´ecrit en (3.35). Ainsi plus on s’´eloigne dep, plus le facteur de lissage est attenu´e (puisque kwkcroˆıt), et donc plus l’influence de pd´ecroˆıt.

r´eduction : la m´etrique finale gp au point p s’obtient par intersection de toutes les m´etriques g_p|w qu’il a re¸cu de chaque point q de la vari´et´e selon les formules d´ecrites en (3.35) et (A.18) (page139). Notons que chaqueh_i,p|w correspond `a la longueur de l’axe vide la boule associ´ee `agp|wcomme sur la figure3.21. En prenant le plus grand ellipso¨ıde strictement contenu dans l’intersection de ces boules, on ne garde que la contrainte de taille la plus restrictivehi,p≤ min

w=−→pqhi,p|w pour chaque directionvi de chaque m´etriquegp|w. En notantnle nombre de points, le tenseur m´etrique final associ´e au pointps’obtient par :

∀u,v∈TpΓ, gp(u,v) =hu, Jp(

∩

en pratique. Le probl`eme avec cette proc´edure est qu’elle est enO(n<sup>2</sup>),n´etant la r´esolution de la triangulation. En pratique, c’est r´eellement probl´ematique carnest tr`es grand. Pour le contourner, la r´eduction n’est appliqu´ee que sur le voisinage du point courantppar le biais des arˆeteswincidentes `a p. Ainsi les phases d’expansion et de r´eduction sont faites simultan´ement, puisque chaquepnotifie son voisinqsigpa ´et´e mis `a jour, et vice-versa. Enfin, les deux phases sont propag´ees jusqu’`a convergence, i.e jusqu’`a ce que le champ de m´etriques ne soit plus modifi´e, ou si un nombre max d’it´er´es est atteint.

La proc´edure compl`ete est d´ecrite `a l’algorithme3.8.