Approches variationnelles

Dans le document The DART-Europe E-theses Portal (Page 46-49)

2.2 Adaptation de la surface

2.2.3 Approches variationnelles

principe. Elles regroupent les approches d’adaptation visant `a un r´e-´echantillonnage global des points de la surface ou du domaine par un calcul variationnel, puis en triangulant le nuage de points ainsi obtenu. Dans ce cadre, l’adaptation de maillage est formul´e comme un probl`eme d’optimisation qui consiste `a minimiser une ´energie d´efinie sur Ω. ´Etant donn´e une densit´e qui d´efinit le nombre de points par unit´e de surface, elle vise `a calculer la r´epartition optimale des points conform´ement `a cette densit´e. En fait c’est le choix de l’´energie `a minimiser qui va distinguer les diff´erentes approches [65, 66,79–82]. L’approche la plus courante est celle bas´ee sur les partitions de Vorono¨ı [82–88] d´ecrit `a la d´efinition27. C’est ce que nous allons d´evelopper ici.

13cela d´epend du genre de la surface (ou commun´ement ”genus” en anglais)

c2018.HOBYRAKOTOARIVELO

46 2.2. Adaptation de la surface

D´efinition 27(partition de vorono¨ı).SoitΩun ouvert deR3, et{zk}n1 un ensemble de points deΩappel´es germes. Une partition de Vorono¨ıest une partition de Ωen nouverts{Ci}ni=1 tel que tout point de chaqueCi est plus proche de son germezi que d’un autre germezj, `a savoir :

Ci={p∈Ω| d(p, zi)< d(pk, zj), pour toutj 6=i} (2.3) o`udest une distance qui d´epend d’une densit´e de points ρ: Ω→R.

La partition est dite centroidalesi les germes zi co¨ıncident avec leur centre de masseci deCi : zi=ci=

R

Cixρ[x]dx R

Ciρ[x]dx (2.4)

Notons indistinctement Ω ⊂ R3 le domaine ou la surface `a trianguler. Ici, l’id´ee est de

r´e-´echantillonner Ω en cr´eant une partition {Ci}ni=1 de Ω telle que les points co¨ıncident avec les germes desCi comme illustr´e `a la figure2.11. Elle se formule par le probl`eme d’optimisation suivant :

minXi

E[Xi] = min

Xi

Xn i=1

Z

Ci

d(x, zi)dx, avec



Xi={Ci}n1,{zi}n1, Ci est une partition de Ω, zi sont les germes des Ci.

(2.5)

o`udest une distance qui d´epend de la densit´eρet pr´ecis´ement du fait qu’elle soit isotrope ou non.

(1)isovaleurs deφ (2)carte de densit´e (3)partition de vorono¨ı (4)triangulation des germes Figure 2.11: Triangulation de domaine implicite par une approche variationnelle [89]

2.2.3.1 R´epartition des points

Dans le cadre de l’adaptation de maillage, la densit´eρva jouer un rˆole important puisqu’elle va dicter la mani`ere de r´epartir les points sur tout Ω. Elle peut ˆetre d´eduite de la solution num´erique calcul´ee sur Ω, ou d’une m´etrique d´ependante de la surface telle que la courbure ou la largeur locale (lfs). En effet la triangulation extraite de la partition de Vorono¨ı va d´ependre du fait queρvarie de mani`ere isotrope ou anisotrope. Dans ce cadre, ρred´efinit le voisinage continu de chaque point selon la taille d’arˆete souhait´ee dans chaque direction de Ω comme sur la figure 2.12. En fait, elle d´efinit une vari´et´e riemannienne au sens de la d´efinition13.

• Dans le cas isotrope, la densit´e d’un pointpi se r´eduit `a un scalaire λi et la distance utilis´ee dans (2.5) est donn´ee par : d(pi, pj) =λihv,vi1/2, o`uv=pj−pi.

• Dans le cas anisotrope, la densit´e s’exprime en fonction d’un tenseur m´etrique associ´e `a chaque point de Ω. Il s’agit d’une matrice sym´etrique d´efinie positive associ´e `a point de Ω et qui red´efinit localement le produit scalaire au voisinage dep. Ainsi, la distance utilis´ee dans (2.5) est donn´ee par : d(pi, pj) =hv, gpivi1/2 o`u v=pj−pi.

c2018.HOBYRAKOTOARIVELO

pi

(1)cas isotrope

pi

(2)cas anisotrope

Figure 2.12: Voisinage d’un point en fonction de sa densit´e.

concr´etement. Les approches se diff´erencient sur les algorithmes impliqu´es dans la minimisation deE. Concr`etement, elle se fait usuellement par un algorithme declustering [85], ou un algorithme de descente comme la relaxation de lloyd [90] ou encore l-bgfs [91]. Concr`etement, le domaine est d´ecrit par une triangulation initiale, et il faudrait disposer d’une partition initiale {Ci} pour la minimisation de E. Par ailleurs, il faudrait pouvoir ´evaluer num´eriquement les int´egrales dans l’expression deE et les centres de massesci de mani`ere discr`ete. Leur approximation d´epend de la m´ethode utilis´ee que l’on expliquera dans les deux paragraphes suivants.

2.2.3.2 Noyaux globaux

clustering. Souvent utilis´e en simplification de maillages, il consiste `a cr´eer une partition de Vorono¨ı dans lesquels les cellules{Ci}ni=1 correspondent `a des clusters de points de la triangulation initiale. Dans ce cas, les germeszi sont choisis (al´eatoirement ou selon un crit`ere g´eom´etrique) parmi l’ensemble des points du maillage, et chaque celluleCi associ´ee `a chaque zi correspond `a l’ensemble des volumes de contrˆoleIj de chaque point deCi. Ainsi la triangulation finale aura moins de points.

Dans le cas isotrope, l’´energie `a minimiser dans2.5est approch´ee par :

E[Xi,j] =

o`u les termes de (2.6) peuvent ˆetre calcul´es sur chaque point pj par la formule de quadrature des cotangents [1] (§3.3.4). Dans le cas anisotrope, l’´energie s’´ecrit :

E[Xi,j] =

L’algorithme de clustering proprement dit se base sur des tests des points situ´es sur les fronti`eres des clusters. En effet chaque arˆetee∈Ci∩Cj est incident `a deux items Ia ∈Ci et Ib ∈Cj. Dans ce cas, on ´evalueEdans la configuration initiale deIaetIb, puis dans les deux cas de figures o`u on place Ia dansCj, etIbdansCi. On garde la configuration qui minimise localementE. En bouclant sur une liste d’arˆetes fronti`eres, cela permet de minimiserEde mani`ere incr´ementale. Une d´ecomposition plus fine et un stockage m´emoire cumulatif des termes deE permet d’acc´el´erer le calcul mais le principe est le mˆeme. Bien qu’elle soit conceptuellement simple, cette approche est garantie de converger [85].

optimisation. Cette fois la partition optimale est vue comme un point critique deE. Ainsi elle est r´esolue par des m´ethodes d’optimisation non-lin´eaire de type Newton. Dans ce cadre, elle correspond `a la partitionX?={Ci}?,{zi}?pour lequelk∇E(X?)k= 014. L’approche consiste `a r´esoudre le syst`eme

14Ici, le gradient deEs’exprime parxiE= 2mi(xizi), avecmi=R

Ciρ(x)dxla masse deCi

c2018.HOBYRAKOTOARIVELO

48 2.2. Adaptation de la surface

Hdx=−∇E afin de d´eterminer le pas de d´eplacement dx`a chaque it´eration, H ´etant la hessienne de E. L’inconv´enient de cette m´ethode c’est que le calcul et la mise `a jour de la hessienne est tr`es coˆuteuse. Ainsi en pratique, une m´ethode quasi-Newton telle que l-bgfs15 est souvent pr´ef´er´ee [91].

L’avantage est double : seules la valeur de la fonctionnelle et de son gradient sont ´evalu´ees et n’implique que des multiplications matrice-vecteurs d’une part, et seuls quelques vecteurs de Hsont stock´ees en m´emoire d’autre part [92].

Dans le document The DART-Europe E-theses Portal (Page 46-49)