Approches locales

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2.2 Adaptation de la surface

2.2.4 Approches locales

Elles regroupent les m´ethodes qui consistent `a adapter la surface triangul´ee par des noyaux locaux jusqu’`a convergence en erreur ou en qualit´e. Dans ce cas, les noyaux consistent au r´e-´echantillonnage de la surface et `a la r´egularisation des mailles. Notons que d’un point de vue combinatoire, adapter une surface est plus simple qu’adapter un volume puisque les op´erations topologiques16 portent sur des triangles et non sur des t´etra`edres. N´eanmoins les noyaux surfaciques impliquent l’estimation de quantit´es relatives `a la g´eom´etrie diff´erentielle17et cela sur une surface discr`ete. Ainsi, leur pr´ecision influe sur la rapidit´e des algorithmes. Notons qu’il existe une vaste litt´erature concernant les m´ethodes incr´ementales, chacune se diff´erenciant sur le but de l’adaptation et l’application cible.

2.2.4.1 Noyaux locaux

principe. En optimisation, un algorithme de recherche locale consiste `a chercher la solution op-timale par exploration de l’espace de solutions. Partant d’une solution candidate , il consiste `a se d´eplacer it´erativement vers une solution voisine jusqu’`a tomber sur un optimum, ou si un crit`ere d’arrˆet est satisfait (timeout ou pas d’am´elioration depuis un certain nombre d’it´er´es par exemple).

Le remaillage local suit ce sch´ema. Partant d’un maillage qui est une assez bonne approximation de la surface, il consiste `a appliquer une s´equence d’op´erations locales afin d’am´eliorer la r´epartition des points et la qualit´e des mailles. Le traitement est effectu´e jusqu’`a ce qu’un seuil sur l’erreur d’une solution num´erique ou un nombre maximum d’it´er´es a ´et´e atteint. Ici le point subtil consiste `a trouver une s´equence judicieuse d’application des noyaux pour acc´el´erer la convergence. N´eanmoins aucune combinaison particuli`ere n’a ´et´e prouv´ee comme optimale dans la litt´erature.

• raffinement: il vise `a enrichir la triangulation en ins´erant successivement des points desteiner dans les r´egions sous-´echantillonn´ees de la surfaceΓ, conform´ement `a une densit´e prescrite. Un noyau de Delaunay peut ˆetre utilis´e `a cette fin, n´eanmoins l’extension au cas des vari´et´es n’est pas triviale contrairement au cas planaire [123, 124]. Ainsi des noyaux plus simples bas´es sur une dissection d’arˆetes sont souvent utilis´es en pratique [125].

• simplification : elle vise `a supprimer les points dans les r´egions trop denses de la surface. Pour cela, on recourt usuellement `a un noyau de suppression d’arˆetes ou ses variantes [1] (§7.2.1).

A noter que ce noyau requiert des pr´ecautions pr´ealables, sans quoi la triangulation r´esultante` peut ˆetre invalide18.

• bascule d’arˆetes: elle vise `a r´egulariser le degr´e des points de la triangulation, ou bien `a am´eliorer la qualit´e des mailles en changeant leur connectivit´es19

• lissage: il vise `a optimiser la qualit´e des mailles en relocalisant les points. Il consiste `a d´eplacer chaque pointpvers une position optimalep? sans modifier la connectivit´e des mailles. En fait il

15L-BGFS pourLimited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno

16Par exemple le d´ecoupage de mailles, suppression de points, bascules d’arˆetes, reconnexion de mailles.

17Comme le calcul de g´eod´esiques, aires de triangles courbes, courbures locales, tenseurs m´etriques, voire des con-nexions pour le transport parall`ele de vecteurs.

18En fait, il n’est applicable que si lesconditions de liensont respect´ees [32].

- sipetqsont des points-fronti`ere, alorseest une arˆete-fronti`ere.

- l’intersection des boules topologiques depetqne contient que les deux points oppos´es `ae.

- les vecteurs normaux des mailles incidentes `aqgardent la mˆeme orientation avant et apr`es suppression dep.

19A l’it´` er´et, on bascule l’arˆete commune entre deux mailles :

- sitkχk20 avecχl’´ecart du degr´e d’un point par rapport au degr´e optimal.

- ou sitk1qk1·tk1qk0 o`uqmesure la qualit´e de mailles.

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y a plusieurs choix pourp?, mais la strat´egie la plus utilis´ee est certainement lelissage laplacien ou ses variantes [33]. Dans ce cas, le point optimal est la moyenne pond´er´ee des voisins20, `a savoirp?=Pn

i=1ωipi,n´etant le nombre de voisins dep, etωi∈[0,1] des poids21 quantifiant la contribution de chaque voisin au d´eplacement dep. Le noyau est ensuite appliqu´e it´erativement jusqu’`a ce qu’un seuil de qualit´e soit atteint. Bien que simple et souvent efficace, il ne garantit pas une am´elioration stricte de la qualit´e des mailles. Ainsi des noyaux plus compliqu´es existent dans la litt´erature. Ils sont bas´es sur la minimisation d’une fonction li´ee `a la qualit´e des mailles incidentes `appour trouverp?, par le biais de techniques d’optimisation non-lin´eaires (voir [126–

128] par exemple).

2.2.4.2 Reconstruction de la surface

but. En fait, les noyaux ci-dessus n´ecessitent de pouvoir reconstruire localement la surface sur une maille ou au voisinage d’un point. Pour le raffinement, le point est projet´e sur une courbe sous-tendue par l’arˆete `a couper. Pour la simplification, le point r´esultantqest repositionn´e de mani`ere `a minimiser l’erreur induit par la suppression du pointp. Pour le lissage, le point optimal est souvent calcul´e dans le plan tangent du point `a d´eplacer, en absence d’une param´etrisation. Ainsi il doit ˆetre projet´e sur une surface reconstruite au voisinage de p. En fait, il existe plusieurs mani`eres de reconstruire les courbes et surfaces dont les plus usuelles sont :

• interpolation: ils permettent de retrouver la surfaceΓ sur une mailleKou une courbeγsur une arˆete, en interpolant des points de contrˆole r´epartis surγ ouΓ. En pratique, on utilise souvent desb-splines `a poids uniforme : les courbes et triangles deb´eziers. Un triangle deb´eziersest une surface obtenue par interpolation de points de contrˆole et d´elimit´ee par trois courbes splines param´etr´ees. Ainsi tout pointpde la surface passant surKest interpol´e comme suit :

ΓKn(u, v) = X Bnijk: polynˆomes de Bernstein de degr´en, (u, v) : coordonn´ees barycentriques depdansK.

(2.8)

Notons que le choix des points de contrˆole est libre : c’est ce qui va diff´erencier les approches.

En pratique, il d´epend des contraintes que l’on veut respecter sur la triangulation (unicit´e des plans tangents aux sommets des mailles par exemple) [129, 130]. Sans contrainte, ils peuvent ˆetre na¨ıvement calcul´es par le biais de l’algorithme de Casteljau.

• approximation : une mani`ere de reconstruire la surface consiste `a l’approcher au voisinage d’un point pi par un surface quadrique d’´equation implicite Γi(x, y, z) = ax2+bxy+cy2−z = 0.

Ainsi d´eterminer Γi revient `a minimiser Pn

k=1(ax2k +bxkyk+cy2k −zk)2, n = |Ni|, ce se fait usuellement par une m´ethode des moindres carr´ees. Concr`etement, cela consiste `a r´esoudre l’´equation matricielle suivante :

o`u (uk,vk) correspond aux coordonn´ees des voisinspk depidans le rep`ere local au plan tangent de pi, tandis que dk est l’´ecart entre pk et son projet´e sur ce plan tangent. Si n > 3 alors le syst`eme est surd´etermin´e. Dans ce cas, l’´equation 2.9 est reformul´e en ATAX = ATB, puis r´esolu en utilisant une m´ethode d’inversion matricielle de Gauss [107] (§3.1).

20En pratique, la position optimale est relax´ee par un facteurλtel quep?= (1λ)p+λp?avecω[0,1].

21Il peut s’agir d’un ratio de longueurs d’arˆetes, d’angles ou d’aires des mailles incidentes `ap.

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50 2.2. Adaptation de la surface

2.2.4.3 Cartes de tailles

principe. Afin de contrˆoler la densit´e des points ainsi que l’´etirement des mailles, il faudrait disposer d’une structure qui permette de prescrire les tailles d’arˆetes au voisinage d’un point pour une direction donn´ee vi. Pour cela, une mani`ere usuelle consiste `a recourir aux tenseurs m´etriques. Un tenseur m´etrique associ´e `a un pointp est une matrice sym´etrique d´efinie positivegp qui d´efinit un produit scalaire local pour le calcul de distances et d’angles dans le plan tangent dep. Il peut ˆetre repr´esent´e par la boule form´ee par les points qui sont `a distance unit´e dans cet espace m´etrique comme sur la figure2.13. Dans la base canonique deR3, il s’´ecrit22 :

gp=P1ΛP, avec



Λ = diag(hi2)3i=1: les valeurs propres degp

P= (v1,v2,v3) : les directions principales degp

hi: la taille d’arete prescrite en direction devi

(2.10)

v v

v

(1)isotrope

v0

v1

v2

(2)anisotrope

Figure 2.13: Boule d’un tenseur m´etrique.

champ. En pratique, un champ de m´etriques est construit sur les points du maillage. Dans ce cadre, leshi peuvent ˆetre relatives auxcourbures localesou aux valeurs propres de la hessienne d’une solution num´eriqueu. A chaque cr´eation ou d´eplacement d’un point, le tenseur associ´e est interpol´e

`a partir de ses voisins. En pratique, cela est fait par le biais d’uner´eduction simultan´ee[93] ou d’une interpolation log-euclidienne [94]. La construction du champ fait intervenir un estimateur d’erreur , et il existe une vaste litt´erature `a ce sujet [74–77]. En raison de sa simplicit´e, un estimateur en norme L est souvent utilis´e dans les remailleurs g´en´eriques [108,95].

Dans ce cas pr´ecis, l’erreur relative `a une maille Ks’´ecrit : kε(u)kL(K)≤2

9max

x∈Kmax

v⊂Khv, Hu(x)vi (2.11)

Etant donn´e un seuil d’erreur´ ε, le champ peut ˆetre construit via (2.10) en rempla¸cant leshi par : hi = maxh

minh (

2|λi|)1/2, hmax

i, hmin

i. (2.12)

en bref. Le recours aux tenseurs m´etriques pour le contrˆole des noyaux adaptatifs est devenu le standard en remaillage local pour la m´ecanique des fluides. En effet il permet d’obtenir des triangu-lations uniformes, adapt´es isotropes ou anisotropes en red´efinissant le produit scalaire local `a chaque point, tout en gardant les mˆemes noyaux. Ainsi, bon nombre de remailleurs sont bas´es sur ce concept tels queyams [108], madlib[96],MMG[95] oupragmatic[199] pour en citer quelques-uns. N´eanmoins d’autres alternatives existent dans le cadre g´en´eral. L’approche d´ecrite dans [131] consiste `a plonger le domaine dans R6 puis d’appliquer les noyaux sur cet hypersurface. Il ne permet n´eanmoins que l’adaptation de la triangulation aux courbures de la surface.

∗ ∗ ∗

22Dans ce cadre, les grandeurs g´eom´etriques deviennent : - la longueur d’une courbeγ: [0,1]Γ par`h(γ) =R1

0 gp(γ[t], γ[t]) 1/2dt.

- l’aire d’une mailleKpar : |K|=R

K(det[gx]1/2dx).

- la distance entre deux pointsp, qpar :`h[pq] = inf

γ `h(γ), avecγ∈ C1([0,1].

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