1. Diffusion du soluté à l’échelle microscopique : Impact sur la microstructure
1.4. Validation de la nouvelle expression de la distance caractéristique de diffusion dans
1.4.1.Description des modèles étudiés
Afin de valider la nouvelle expression de la longueur de diffusion, nous étudions un cas purement diffusif. Cela nous permet de comparer les résultats obtenus par notre modèle (noté modèle du film stagnant dans la suite) à ceux obtenus par un modèle référant, nommé ici modèle exact. Développé par Thuinet et Combeau (Thuinet L. 2009), ce modèle exact permet de résoudre numériquement le système complet d’équations régissant la croissance d’un grain sphérique contrôlée par les gradients solutaux. Notre modèle est également comparé à deux autres modèles de la littérature.
Le premier modèle, nommé modèle de front fixe, utilise l’expression de la longueur de diffusion donnée dans (Ni J. 1993). La vitesse de l’interface solide/liquide est alors négligée. Le régime est supposé stationnaire et les compositions dans le liquide sont imposées à l’interface et en Rf: * 2 2
( )
0 avec
( )
l l l l l l f lC R C
D C
r
r r r C R C
(2.31)On obtient sous ces hypothèses l’expression de la longueur de diffusion suivante :
1
l fR
R
R
(2.32)Le deuxième modèle, nommé modèle d’interface mobile, a été développé par Wang et Beckermann (B. C. Wang C.Y. 1993). Il prend en compte la vitesse du front de solidification mais néglige la convection. Le modèle est dérivé d’une façon similaire { la nôtre, mais en faisant d’autres hypothèses simplificatrices dans le bilan de soluté. Le régime est supposé permanent dans le référentiel lié { l’interface, et le liquide se déplace dans ce référentiel mobile à la vitesse v(r). D’après les auteurs, l’équation de diffusion devient alors :
2 2 2 2
( )
l l l, ( )=- ( )
gdC D d dC R
v r r v r v t
dr r r r r
(2.33)66
L’équation est résolue avec les mêmes conditions aux limites que celles que nous utilisons dans notre modèle, données équation (2.14). Ils obtiennent ainsi :
1/3 1 2/3 1/3 2 3 . 3 1 exp . exp 1 ( ) , s f s l s s g g f s l f R Pe g Pe g x dx Pe g x v t R R Pe g D R
(2.34)Les résultats obtenus par ces 3 modèles présentés, modèle exact, modèle de front fixe et modèle d’interface mobile, sont comparés à ceux obtenus avec notre nouveau modèle du film stagnant. Nous étudions la solidification des 12 alliages définis au paragraphe précédent pour les cinq vitesses de refroidissement données Tableau 2- 2.
1.4.2.Comparaison des modèles
Les résultats et conclusions restant les mêmes pour les 12 alliages, nous présentons ici les résultats détaillés d’un seul alliage : Al-6wt.%Si, qui correspond au plus grand nombre de Stefan. La surfusion étant alors maximale, on peut supposer que les erreurs les plus grandes d’estimation de cette grandeur sont observées dans ce cas. Un résumé des résultats obtenus pour les différents alliages est donné { la fin de l’étude de validation.
L’évolution de la distance de diffusion et de la surfusion en fonction de la fraction solide est donnée pour le cas Al-6wt.%Si pour les vitesses de refroidissement extrêmes correspondant aux nombres de Fourier liquide Fol=8 et Fol=408 Figure 2- 3.
67
a) Cas 1 (Fo=8) b) Cas 5 (Fo=408)
c) Cas 1 (Fo=8) d) Cas 5 (Fo=408)
Figure 2- 3 : Evolution de a), b) δl/R et c), d) surfusion fonction de la fraction solide pour les cas 1 et 5, pour les 4 modèles. Les résultats sont donnés pour l’alliage Al-6wt.%Si.
On constate que la longueur de diffusion est surestimée par tous les modèles approchés, induisant une plus grande surfusion que celle estimée par le modèle exact. L’erreur est plus grande pour le modèle de front fixe, qui ne prend pas en compte la vitesse d’interface. Le modèle d’interface mobile et le modèle du film stagnant, qui prennent tous les deux en compte la vitesse d’interface, fournissent des résultats similaires. Malgré les différences dans le développement et la simplification de l’équation de diffusion, l’estimation de la longueur de diffusion est presque identique. Ainsi, la prise en compte du mouvement de l’interface permet de mieux estimer δl et ∆T, mais les résultats restent éloignés de ceux obtenus avec le modèle exact. Comme attendu, lorsque le nombre de Fourier dans le liquide augmente, l’écart { l’équilibre diminue. Mais l’erreur relative dans l’estimation de δl est-elle également réduite ? La Figure 2- 4 représente l’évolution avec le nombre de Fourier liquide de la surfusion maximale et de l’erreur relative pour les quatre modèles. La surfusion maximale correspond { la surfusion au moment de la recalescence, et l’erreur relative
68
correspond { l’écart de cette surfusion maximale à la surfusion maximale obtenue avec le modèle exact, définie comme exact
exact
T T
T
.On constate que l’erreur relative diminue avec l’augmentation du nombre de Fourier, mais les tendances restent les mêmes : tous les modèles surestiment la surfusion maximale et le modèle de front fixe, qui ne prend pas en compte la vitesse d’interface, est le plus éloigné de la solution donnée par le modèle exact. Cependant, même si l’erreur relative diminue avec le nombre de Fourier, elle reste non négligeable (environ 5% pour Fol=408). En effet, la surfusion maximale est atteinte au début de la croissance. Il existe alors des effets transitoires, qui ne sont pas pris en compte dans les modèles approchés.
Figure 2- 4 : Evolution de la surfusion maximale atteinte (carrés) et de l’erreur relative par rapport au modèle exact (cercles) avec le nombre de Fourier de la phase liquide pour l’alliage Al -6wt.%Si (l’erreur relative est définie comme exact
exact
T T
T
).Voyons plus en détail l’impact du modèle de diffusion sur le profil de soluté dans le liquide. La Figure 2- 5-a), c) et e) montre le profil de soluté à trois fractions solides pour le Cas 1 (Fol=8) et la Figure 2- 5-b), d) et f) montre le profil de soluté à trois fractions solides pour le Cas 5 (Fol=408). La Figure 2- 5-a) et b) représente les profils de soluté à la fraction solide gs=5.10-4, correspondant à la fraction solide au moment de la recalescence pour le Cas 5. La Figure 2- 5-c) et d) représente les profils de soluté à la fraction solide gs=10-2, correspondant à la fraction solide au moment de la recalescence pour le Cas 1. Enfin, la Figure 2- 5-e) et f) représente les profils de soluté à la fraction solide gs=5.10-2, lorsque la recalescence a déjà eu lieu dans les deux cas.
Dans le Cas 1, les différences entre le modèle exact et les modèles approchés apparaissent dès le début de la solidification et s’amplifient jusqu’au moment de la recalescence (Figure 2- 5-c)). Le modèle d’interface mobile et le modèle du film stagnant convergent et s’éloignent du modèle de front fixe, qui se révèle être le modèle le moins précis. Puis lorsque la fraction solide continue { augmenter, la surfusion diminue et l’écart entre le modèle exact et les modèles d’interface mobile et du film stagnant diminue également, même si un écart persiste. Comme attendu, lorsque le nombre de Fourier augmente, les différences
69 entre les modèles s’estompent. Même { gs=10-2, lorsque la surfusion est maximale pour le Cas 5, la différence entre les modèles est très faible.
(a) Cas 1, gs=5x10-4 (b) Cas 5, gs=5x10-4
(c) Cas 1, gs=10-2 (d) Cas 5, gs=10-2
(e) Cas 1, gs=5x10-2 (f) Cas 5, gs=5x10-2
Figure 2- 5 : Profil de soluté estimé par les quatre modèles à trois fractions solides pour deux valeurs du nombre de Fourier liquide, pour l’alliage Al-6wt.%Si.
Cette étude a donc permis de montrer que le modèle proposé est le plus adapté pour prédire l’évolution de la surfusion et du profil de soluté dans le cas d’un alliage Al-6wt.%Si, dans toute la gamme du nombre de Fourier étudiée.
Afin d’élargir cette conclusion aux différents alliages binaires cités précédemment, la même étude a été réalisée et les résultats de cette étude sont donnés Figure 2- 6:
70
La surfusion maximale est donnée pour les quatre modèles pour le plus faible nombre de Fourier (Cas 1), pour 6 valeurs du nombre de Stefan, c’est-à-dire pour 6 alliages. On peut ainsi constater que les conclusions restent identiques pour toute la gamme de nombre de Stefan. On remarque également que l’erreur relative augmente lorsque le nombre de Stefan diminue.
Notre modèle est donc validé dans un cas purement diffusif. Voyons maintenant l’effet de ce nouveau modèle sur les ségrégations dans un cas macroscopique où la convection ne peut plus être négligée.