2.3 Numerical example for Hermite-Gauss functions
3.1.4 Validation des résultats numériques obtenus
Nos calculs sont validés dans cette section en les comparant à des résultats expéri- mentaux obtenus par A. Talneau au Laboratoire de Photonique et de Nanostructures puis à des résultats obtenus à l’aide d’autres méthodes numériques.
Comparaison à des résultats expérimentaux
Nous considérons ici un guide d’onde gravé dans une hétérostructure d’InP. Cette hétérostructure est formée d’un cœur de 500nm d’épaisseur (indice de réfraction 3.36) reposant sur un substrat (indice de réfraction 3.17) et recouvert d’une couche de 200nm d’épaisseur (indice de réfraction 3.17). Des photos prises au microscope électronique à balayage montrent que les trous ont une profondeur d’environ 3µm et un rayon r = 150nm, et que le paramètre de maille du cristal est a = 450nm. Les mesures de l’atténuation ont été réalisées au moyen d’un montage fibre à fibre en polarisation TE pour différentes longueurs de guide. Le lecteur intéressé par les détails de la fabrication et de la caractérisation de l’échantillon pourra se référer à l’article [Tal03]. Avec cette géométrie, l’intégralité de la courbe de dispersion du mode fondamental est située au-dessus de la ligne de lumière du substrat.
1.4 1.43 1.46 1.49 1.52 1.55 200 400 600 800 1000 Atténuation (dB/cm) Bord de la bande de conduction PSfrag replacements (a) (b) λ (µm)
Figure 3.7: Comparaison entre les résultats numériques obtenus avec
la méthode proposée et des données expérimentales obtenues par A. Tal- neau pour un guide à cristaux photoniques gravé dans une hétérostruc- ture d’InP. Les barres d’erreur des prédictions numériques sont très faibles et n’ont pas été représentées. La photo d’une coupe verticale de la structure prise au microscope électronique à balayage [Tal03] illustre l’écart entre la forme des trous modélisés (pointillés blancs) et la forme des trous réels.
3.1 Calcul des pertes de propagation 49
La Figure 3.7 montre que le calcul numérique reproduit qualitativement la ten- dance générale des résultats expérimentaux, c’est-à-dire une augmentation des pertes avec la longueur d’onde. Il y a cependant un désaccord systématique entre théorie et expérience de 200–300 dB/cm sur tout le spectre. Nous pensons que ce désaccord est dû à des facteurs non pris en compte dans la modélisation, comme la rugosité, la fluctuation de taille des trous ou leur forme conique. L’écart entre la forme réelle des trous et la forme cylindrique utilisée pour le calcul est illustré sur la Figure 3.7.
Comparaison à d’autres résultats numériques
Nous considérons maintenant un guide d’onde gravé dans une membrane de sili- cium d’épaisseur h = 0.6a et d’indice n = 3.4, supposé indépendant de la fréquence. Le paramètre de maille et le rayon des trous sont respectivement a = 390nm et r = 0.3a. Il y a N = 7 rangées de trous de part et d’autre de la rangée manquante. C’est sur ce problème qu’a porté l’étude de convergence.
L’atténuation a été calculée sur toute la plage spectrale correspondant à la bande du mode guidé. Sur la Figure 3.8, nos résultats (courbe en gras) sont comparés aux résultats obtenus dans les articles [Cry05] (courbe en trait fin), [Lal02] (triangles) et [And03] (pointillés discontinus). Un très bon accord est obtenu entre les quatre méthodes pour le calcul des pertes au-dessus de la ligne de lumière, pour k 6 0.283. Pour les pertes en-dessous de la ligne de lumière, la méthode utilisée dans l’article [And03] ne fournit pas de résultats puisqu’elle ne permet pas de modéliser un guide de taille finie, et il n’y a pas vraiment d’accord entre les autres méthodes. En s’ap- puyant sur l’étude de la convergence que nous avons réalisée, cela peut s’expliquer par le fait que les PMLs utilisées dans les deux autres calculs ont une absorption non nulle sous la ligne de lumière [Lal02, Cry05].
Pour tester la pertinence de nos résultats sous la ligne de lumière, nous avons refait le calcul pour différents nombres de rangées, N = 7, 8 et 12. Les résultats obtenus, présentés sur la Figure 3.9, montrent la décroissance exponentielle atten- due des pertes en fonction du nombre de rangées. Nos calculs reproduisent donc parfaitement l’atténuation induite par un effet tunnel à travers le cristal photonique de taille finie. Il est important de noter qu’il est impensable de réaliser ces calculs avec une méthode différente, du fait de la dimension considérable des objets dans la direction y.
Discussion des pertes sous la ligne de lumière
Le fait de calculer l’atténuation du mode guidé sous la ligne de lumière peut sembler anecdotique puisque cette atténuation peut être rendue arbitrairement faible en augmentant la taille du cristal de part et d’autre du guide. Il n’en est rien car
l’évaluation de ces pertes par effet tunnel permet de quantifier le taux de couplage (diaphonie) entre deux guides adjacents. Et la connaissance de cette diaphonie est
primordiale au moins dans les deux problèmes suivants :
– Maximiser le degré d’intégration d’une éventuelle puce à cristaux photoniques. – Optimiser le couplage évanescent entre un guide et une cavité pour la réalisa-
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 10−1 100 101 102 103 k (2π/a) Atténuation (dB/cm) Ligne de lumière Bord de bande PSfrag replacements (a) (b)
Figure 3.8: Comparaison de différentes prédictions numériques concer-
nant l’atténuation du mode fondamental d’un guide à cristaux photo- niques. Courbe en gras, résultats obtenus avec la méthode proposée ; courbe en trait fin, résultats obtenus par M. Cryan [Cry05] ; triangles, résultats obtenus par P. Lalanne [Lal02] ; pointillés discontinus, résultats obtenus par L. C. Andreani [And03]. Les deux lignes verticales indiquent les vecteurs d’onde pour lesquels la courbe de dispersion du mode tra- verse le bord de la bande de conduction (pointillés) et la ligne de lumière (trait plein).
L’atténuation sous la ligne de lumière présente deux particularités importantes : un
pic à k≈0.37 dont la position dépend peu du nombre de rangées, et une divergence en bord de zone de Brillouin pour k → π
a, qui est due à l’annulation de la vitesse de
groupe du mode, voir section 3.3.
La présence du pic peut s’expliquer en considérant le diagramme de dispersion de la Figure 3.2. Pour k ≈ 0.37, la distance entre la courbe de dispersion du mode fondamental du guide et le bord de la bande de valence est minimale. Or, le bord de la bande de valence correspond à l’existence d’une onde propagative dans le cristal photonique, c’est-à-dire à une onde dont la longueur de pénétration dans le cristal est infinie. On comprend donc bien intuitivement que plus la courbe de dispersion du mode est proche du bord de bande, plus la longueur de pénétration de l’onde dans le cristal est grande, et plus l’atténuation du mode est forte. Ce raisonnement étant indépendant du nombre N de rangées, il justifie également que la position du pic dépende peu de ce paramètre.
3.1 Calcul des pertes de propagation 51 0.3 0.4 0.5 10−3 10−2 10−1 100 101 102 k (2π/a) Atténuation (dB/cm) 6 8 10 12 −4 −2 0 2 4 PSfrag replacements (a) (b) N = 7 N = 8 N = 12 N ln( α )
Figure 3.9: Atténuation sous la ligne de lumière pour différents
nombres N de rangées de trous. La ligne verticale en pointillés indique le bord de la zone de Brillouin. Tous les calculs sont faits avec la mé- thode développée dans cette thèse. L’encart montre que la valeur du pic d’atténuation (pour k≈ 0.37) décroît exponentiellement avec le nombre de rangées. L’atténuation diverge pour k = 0.5.
Il est intéressant de comparer la valeur du pic d’atténuation que nous prédisons avec les plus faibles pertes observées expérimentalement sous la ligne de lumière. Ces pertes sont dues principalement au désordre de la structure fabriquée (rugosité, fluctuation de la taille des trous), qui possède un grand nombre de rangées de trous de part et d’autre du guide. Le record en la matière est détenu par le groupe de M. Notomi à NTT Corporation avec une atténuation de 6dB/cm mesurée pour un guide gravé dans une membrane de silicium [Not04].
Ainsi, pour que les pertes de propagation soient limitées par la fabrication, et non par la taille finie du cristal photonique, il faut que le guide soit entouré d’au moins 10 rangées de trous, voir Figure 3.9. Du point de vue de l’intégration cela correspond à un espacement entre les deux guides d’un peu plus de 3µm, une valeur assez importante compte tenu du fort contraste d’indice utilisé dans les guides à cristaux photoniques. Il est à noter qu’une diaphonie comparable est obtenue pour une distance inter-guides 10 fois plus petite avec des guides rubans en SOI (Silicon On Insulator). Pour améliorer cette intégration il est nécessaire d’abaisser le pic d’atténuation, ce qui peut être fait en éloignant la courbe de dispersion du mode du bord de la bande de valence. Une solution consiste à diminuer la largeur du guide.