Durée de vie des modes des guides à cristaux photoniques

Nous considérons dans cette section un guide d’onde à cristaux photoniques du même type que celui étudié à la section 3.1, voir Figure 3.1, mais dont les paramètres géométriques différent légèrement. Le cristal photonique est un réseau triangulaire de trous d’air de paramètre de maille a = 560nm percés dans une membrane d’InP d’indice n = 3.2 et de hauteur h = 250nm. Le rayon des trous est r = 0.37a et le guide d’onde est formé en enlevant une rangée de trous dans la direction ΓK du réseau triangulaire. Il y a 5 rangées de trous de part et d’autre de la rangée manquante. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.31 0.33 0.35 0.37 0.39 0.41 Ligne de lumière PSfrag replacements (a) (b) a/λ k (2π/a)

Figure 3.16: Courbe de dispersion ω(k) des deux modes du guide à

cristaux photoniques considéré à la section 3.3.2. La courbe en trait plein correspond au mode symétrique (le mode fondamental) et la courbe quasi-plate en pointillés discontinus correspond au mode antisymétrique. Les calculs ont été réalisés avec la méthode décrite à la section 3.1.3.

Comme le guide d’onde étudié à la section 3.1, le guide considéré ici supporte deux modes à l’intérieur de la bande interdite du cristal. Les composantes prépon- dérantes de leur champ électromagnétique sont Hx et Ey, ce qui correspond à une

polarisation quasi-TE, par référence au guide planaire non gravé. Les composantes Hx et Ey du premier mode sont symétriques par rapport à l’axe de propagation

et celles du deuxième mode sont antisymétriques. Les courbes de dispersion de ces deux modes sont représentées sur la Figure 3.16. Le changement de paramètres géo- métriques nous permet d’obtenir un mode fondamental dont la courbe de dispersion reste dans la bande interdite pour tout k, du bord de bande en k = π

a jusqu’au point

Γ en k = 0.

Dans le calcul de l’atténuation et de la durée de vie, il faut distinguer les deux régions au-dessus et en-dessous de la ligne de lumière car les mécanismes physiques à l’origine des pertes intrinsèques y sont différents. Au-dessus de la ligne de lumière, la durée de vie des modes est limitée à la fois par une fuite de la lumière à travers le cristal photonique de taille finie entourant la rangée manquante et par une diffraction

3.3 Calcul de la durée de vie 63 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 10−3 10−2 10−1 k (2π/a) Atténuation (1/a) Ligne de lumière PSfrag replacements (a) (b) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 10−2 10−1 100 101 102 103 k (2π/a) Atténuation (1/a) Ligne de lumière PSfrag replacements (a) (b)

Figure 3.17: Atténuation des deux modes du guide à cristaux photo-

niques dont la courbe de dispersion est représentée sur la Figure 3.16. (a) Atténuation du mode fondamental. (b) Atténuation du mode antisy- métrique. Les cercles correspondent au calcul direct de la partie imagi- naire du vecteur d’onde complexe ˜k et la courbe en trait plein correspond

à l’équation 3.31 utilisant le calcul de la partie imaginaire de la fréquence complexe ˜ω.

hors du plan de la membrane. Sous la ligne de lumière par contre, la durée de vie des modes est limitée uniquement par la taille finie du cristal photonique, comme dans une géométrie bidimensionnelle. Dans cette région, nous avons déjà observé une divergence de l’atténuation du mode fondamental lorsque la vitesse de groupe s’annule en bord de zone pour k = 0.5, voir Figure 3.9. Nous avons également observé une divergence de l’atténuation du mode fondamental pour k = 0 dans une géométrie 2D, voir Figure 3.13. Cette géométrie est physiquement similaire à une géométrie 3D sous la ligne de lumière.

Dans cette section, nous considérons les cas que nous n’avons pas encore étudiés, c’est-à-dire les points au-dessus de la ligne de lumière pour lesquels la vitesse de groupe s’annule. L’annexe B revient en détails sur les divergences de l’atténuation observées dans un guide à cristaux photoniques 2D.

Test de la relation entre l’atténuation et la durée de vie

Intéressons nous tout d’abord à l’atténuation des modes. Celle-ci est calculée de deux manières différentes : directement en calculant la partie imaginaire du vecteur d’onde complexe ˜k puis indirectement en utilisant l’équation 3.31 et en calculant la partie imaginaire de la fréquence complexe ˜ω et la vitesse de groupe du mode. Tous ces calculs ont été réalisés en utilisant la méthode présentée à la section 3.1.3. Les Figures 3.17(a) et 3.17(b) montrent que les résultats obtenus sont superposés pour les deux modes sur toute la gamme de vecteurs d’onde, validant ainsi les trois hypothèses conduisant à l’équation 3.31.

le mode symétrique, voir Figure 3.17(a), en k = 0 et en k = 0.248 pour le mode antisymétrique, voir Figure 3.17(b). Dans le cas du mode antisymétrique, la vitesse de groupe change de signe au milieu de la zone de Brillouin pour k = 0.248, voir Figure 3.16. La partie imaginaire α du vecteur d’onde change donc également de signe en ce point et nous avons en fait représenté sur la Figure 3.17(b) la valeur absolue de l’atténuation.

Comparaison des durées de vie et des extensions spatiales des deux modes

Les Figures 3.18(a) et 3.18(b) comparent les facteurs de qualité des résonances transverses associées aux deux modes du guide, dans la gamme de vecteurs d’onde pour lesquels les modes sont situés au-dessus de la ligne de lumière. Deux points importants sont à noter. D’une part, les deux courbes présentent un comportement régulier, y compris aux points où la vitesse de groupe s’annule. D’autre part, la durée de vie du mode symétrique est 10 à 30 fois plus grande que celle du mode antisymétrique. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0 1000 2000 3000 4000 5000 k (2π/a) Q 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 60 80 100 120 140 160 k (2π/a) Q 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0 100 200 300 400 500 k (2π/a) l/a 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0 2 4 6 8 10 k (2π/a) l/a PSfrag replacements (a) (b) (c) (d)

Figure 3.18: Durée de vie et extension spatiale des deux modes du

guide à cristaux photoniques dont la courbe de dispersion est représen- tée sur la Figure 3.16. (a) Facteur de qualité du mode symétrique. (b) Facteur de qualité du mode antisymétrique. (c) Extension spatiale nor- malisée du mode symétrique. (d) Extension spatiale normalisée du mode antisymétrique. Les lignes verticales en pointillés indiquent les vecteurs d’onde pour lesquels la courbe de dispersion du mode traverse la ligne de lumière.

Les Figures 3.18(c) et 3.18(d) comparent les extensions spatiales normalisées l/a des deux modes du guide. Excepté en k = 0 où elle s’annule, l’extension spatiale du mode fondamental est 100 fois plus grande que celle du mode antisymétrique, qui