lequel deux fentes ont été gravées. La Figure 1.4(a) montre le problème physique à résoudre, qui consiste à calculer la diffraction du mode fondamental du guide par les fentes. La Figure 1.4(b) montre le problème équivalent obtenu après application de la transformée de coordonnées x → x0, qui transforme les deux espaces semi-
infinis de part et d’autre de l’objet en deux espaces finis de taille q
2. L’objet se
trouve maintenant dans un espace de taille finie Λ. Finalement, la Figure 1.4(c) montre le problème périodisé. Formellement, c’est un réseau 1D multi-couche de période Λ. En référence à la section 1.1.1, les milieux I et II ont été représentés sur la Figure 1.4(c), ainsi que la matrice S du réseau. Celui-ci est constitué de trois couches (délimitées par les traits verticaux) dans lesquelles la permittivité et la perméabilité sont périodiques en x0 de période Λ et invariantes en z. Les milieux I
et II ne sont plus des milieux homogènes comme dans le cas de la diffraction par un réseau en espace libre. Les modes incidents et diffractés reliés par la matrice S ne sont donc plus des ondes planes, ce sont les modes guidés et radiatifs du guide planaire dans l’espace transformé.
1.3 Conclusion
Nous avons présenté dans ce Chapitre les grandes lignes de la méthode numé- rique qui a été utilisée dans ce travail. Cette méthode originale est basée sur la méthode modale de Fourier et utilise des couches absorbantes de type PML. L’in- térêt de généraliser ainsi la méthode modale de Fourier est de pouvoir disposer d’une méthode numérique stable et efficace pour traiter des problèmes de diffraction non-périodiques.
Par rapport à des méthodes de type différences finies ou éléments finis qui re- posent sur une discrétisation 3D des équations de Maxwell, la méthode modale de Fourier repose sur une discrétisation 2D — dans l’espace de Fourier — et sur une in- tégration analytique dans la troisième direction de l’espace. L’intégration analytique, en introduisant naturellement les modes de la structure ainsi que leurs échanges d’énergie aux interfaces, procure à la méthode numérique une signification physique forte et permet de calculer directement l’énergie diffractée dans un mode en optique
intégrée. La direction dans laquelle est réalisée l’intégration analytique est alors
fixée par le problème physique à résoudre, c’est la direction de propagation du mode considéré. Un exemple d’un tel calcul est donné à la section 3.4.
Par contre, pour les structures qui ne possèdent pas d’axe de propagation pri- vilégié, l’intégration analytique peut être réalisée dans n’importe laquelle des trois directions de l’espace. Le choix de cette direction privilégiée se fait en fonction des particularités géométriques de l’objet, avec par exemple l’efficacité numérique comme critère de choix, voir section 3.1.
Règles de troncature pour la modélisation des discontinuités 25
Chapitre 2
Règles de troncature pour la
modélisation des discontinuités
Le fait que deux schémas de discrétisation différents des équations de Maxwell dans l’espace de Fourier aboutissent à des vitesses de convergence très différentes est un problème bien connu [Lal96c, Gra96]. Il a été montré que ce problème provenait de la troncature des séries de Fourier, obligatoire pour des raisons d’implémentation numérique, et de la présence de discontinuités dans l’objet [Li96b]. La démonstration aboutissant à l’établissement des règles de troncature dans l’espace de Fourier (aussi appelées règles de factorisation) repose complètement sur des théorèmes mathéma- tiques relatifs aux séries de Fourier [Li01]. Ce résultat apparaissait donc, avant nos travaux, intrinsèquement lié à l’utilisation d’une base de Fourier, alors que la mo- délisation d’objets discontinus et la troncature de séries infinies sont des problèmes qui dépassent ce cadre.
Dans ce Chapitre, nous montrons que les résultats connus pour les séries de
Fourier peuvent être généralisés à d’autres bases de fonctions. Ce travail ne constitue
pas une démonstration mathématique, mais il suggère fortement que de nombreuses méthodes numériques basées sur une décomposition du champ électromagnétique dans une base de fonctions continues peuvent bénéficier d’une forte amélioration de leur vitesse de convergence. Ce Chapitre reprend l’intégralité de l’article paru dans la revue Optical and Quantum Electronics sous le titre Truncation rules for
modeling discontinuities with Galerkin method in electromagnetic theory [Sau04a].
Nous montrons tout d’abord que, dans le cadre de la résolution des équations de Maxwell à l’aide de la méthode de Galerkin, il existe plusieurs schémas de discréti- sation, quelle que soit la base de fonctions utilisée. Nous proposons ensuite un argu- ment intuitif suggérant que ces schémas différents se caractérisent par des vitesses de convergence différentes, comme dans le cas des séries de Fourier. Cet argument nous permet d’énoncer des règles de troncature pour la modélisation des discontinuités qui généralisent les règles de factorisation des séries de Fourier [Li96b, Li01]. Ces règles de troncature sont ensuite validées numériquement sur un exemple utilisant les fonctions de Hermite-Gauss. Nous mettons en particulier en évidence que l’amé- lioration de la vitesse de convergence provient du fait que les conditions aux limites sont correctement remplies au niveau des discontinuités.
Gauss, ce travail sous-tend l’hypothèse que de nombreuses méthodes n’utilisant pas les séries de Fourier pourraient bénéficier d’une forte accélération de leur conver- gence. Cette hypothèse est complètement absente des travaux antérieurs réalisés sur les décompositions en séries de Fourier. Ainsi, même si notre travail manque de rigueur mathématique, il a le mérite de poser le problème de façon générale.
2.1 Introduction
Because Maxwell’s equations for linear materials are exact, computation plays a crucial role in the analysis and the design of photonic devices. The electromagnetic analysis of periodic structures has been performed over many years with methods relying on Fourier series to expand the permittivity and the electromagnetic fields. Earlier examples can be found in [Nev73, Kno78, Cha80, Gay85] for the analysis of the diffraction by gratings and more recently in [Ho90, Zha90] for the band com- putation of photonic crystals. For a long time, the numerical performances of these methods have been plagued by slow convergence performances since an impracti- cally large number of Fourier terms had to be retained in the expansions in order to obtain accurate computational results. These rather low performances have been believed to be caused by the use of Fourier series to expand discontinuous func- tions (the permittivity for instance), and the Gibbs phenomenon has been invoked [Li93, Vil94].
In 1996, a truly dramatic improvement in the convergence rate was achieved for Transverse Magnetic (TM) polarization of one-dimensional gratings [Lal96c, Gra96], as well as for the general case of conical diffraction [Lal96c]. This improvement was achieved by reformulating the eigenvalue problem for the Bloch wave computation in the periodic structure. Especially, it was clearly evidenced that the use of the Fourier coefficients of the impermittivity (the inverse of the permittivity) or of the permit- tivity itself is crucial when establishing the eigenvalue problem. This finding was followed by the derivation of mathematical theorems that govern the factorization of Fourier series [Li96b, Li01].
These works had a tremendous impact on the performances of theories relying on Fourier expansion techniques and earlier methods have been rapidly revisited and improved by the use of the correct Fourier factorization rules. Examples of impro- vements are the Fourier modal method for crossed gratings [Li97], the differential method [Pop00], the C-method [Li96c], and the plane wave method for band com- putations [Lal98a, Eno01], to quote only a few of them. Furthermore, it has been re- cently proposed that Fourier expansion techniques can also be used for non-periodic diffraction problems [Lal00b, Sil01, Ter01] thanks to an artificial periodization com- bined with the use of perfectly-matched-layers [Bér94] to electromagnetically isolate the periodized cells. Recent examples in integrated optics are the calculation of the reflection [Ter01, Cty02] and the out-of-plane radiation losses of guided waves im- pinging on one-dimensional [Pal01] and two-dimensional [Sil01] Bragg gratings, the loss modeling of line-defect photonic crystal waveguides [Lal02, Sau03]. As a whole, all these theoretical contributions make Fourier expansion techniques a simple and efficient tool to solve Maxwell’s equations for various periodic and non-periodic dif- fraction problems.