Equivalence entre composants réfractifs et composants diffractifs

Le composant diffractif le plus connu est sans doute le réseau échelette représenté à la Figure 4.1(b). Éclairé à la longueur d’onde λ0, dite longueur d’onde de blaze,

et pour des périodes très grandes devant λ0, ce réseau diffracte la lumière avec une

efficacité de 100% — aux pertes par réflexion de Fresnel près — dans un ordre de diffraction bien défini et de 0% dans tous les autres ordres. Ce réseau de diffraction est dit blazé à la longueur d’onde λ0. A cette longueur d’onde, il ne fait que dévier la

lumière : il est équivalent à un prisme. Plus généralement, nous allons voir qu’il est possible, sous certaines conditions, d’associer à un composant réfractif un composant diffractif équivalent.

Dans le cadre de l’approximation scalaire [Goo96], un composant optique peut être caractérisé pas sa transmittance, définie comme le rapport entre l’amplitude complexe de l’onde transmise et l’amplitude complexe de l’onde incidente. Dans les

Réfractif Diffractif Réfractif Diffractif PSfrag replacements (a) (a) (b)(b) (c) (c) (d)(d) H H H H H H HH H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H

Figure 4.1: Equivalence entre un composant réfractif et un composant

diffractif. La hauteur H = mλ0

n−n0 correspond à un retard de phase de

2mπ. (a) Prisme. (b) Réseau échelette. (c) Lentille réfractive. (d) Len-

tille diffractive.

conditions de l’optique paraxiale, la transmittance est intrinsèque au composant et elle est donnée par l’expression

t(x, y) = eiφ(x,y) = ei2πλ(n−n0)h(x,y), (4.1)

où φ(x, y) est le retard de phase introduit par le composant, que nous appellerons phase pour simplifier, n et n0 sont respectivement les indices de réfraction du ma-

tériau qui constitue le composant et du milieu incident, et h(x, y) est le profil du composant. Dans cette expression, les pertes par réflexion de Fresnel ont été négli- gées. Les axes x et y permettent de repérer la position dans le plan du composant. L’équation 4.1 montre que deux composants dont la phase diffère d’un nombre entier de fois 2π ont la même transmittance. Ainsi, enlever à un composant ré- fractif des blocs de hauteur H = mλ0

n−n0 permet d’obtenir un composant équivalent,

puisque ces blocs correspondent à une phase de 2mπ pour la longueur d’onde λ0.

Le composant diffractif ainsi obtenu est blazé dans l’ordre m à la longueur d’onde λ0 : l’efficacité de diffraction dans l’ordre m est de 100% et aucune énergie n’est

diffractée dans les autres ordres. L’ordre m est qualifié d’ordre utile.

La Figure 4.1 illustre ce principe de construction pour deux composants clas- siques, un prisme et une lentille convergente plan-convexe. Une des conséquences directes de cette construction est qu’un composant diffractif est formé de zones de différentes tailles appelées zones de Fresnel et séparées par des discontinuités. La hauteur H des discontinuités est du même ordre de grandeur que λ0 et la largeur

des zones est grande devant λ0 puisque le composant dévie peu la lumière.

Finalement, un théorème d’équivalence entre composants réfractifs et compo- sants diffractifs idéaux peut être formulé :

4.1 Les optiques diffractives classiques 79

A la longueur d’onde de blaze λ0, le composant réfractif et le composant

diffractif transmettent le même front d’onde avec la même efficacité.

Ce théorème montre clairement l’intérêt des composants diffractifs, mais il stipule également leurs limitations. En effet, les conditions de validité de ce théorème sont restrictives : la longueur d’onde doit être la longueur d’onde de blaze et les conditions de l’approximation scalaire et de l’approximation paraxiale doivent être vérifiées. En particulier, la phase introduite par le composant doit être lentement variable à l’échelle de la longueur d’onde, c’est-à-dire que le composant se doit de peu dévier la lumière. C’est une des conditions nécessaires à la validité des approximations scalaire et paraxiale, même si ces deux approximations ne se réduisent pas à cette seule condition. Dans la suite de ce Chapitre ainsi que dans le Chapitre 5, nous nous plaçons dans le cadre de l’approximation scalaire et de l’optique paraxiale.

4.1.2 Effet d’ombrage

La première limitation fondamentale des optiques diffractives classiques — le fonctionnement efficace avec une grande ouverture numérique — apparaît clairement dans les hypothèses du théorème d’équivalence puisqu’il n’est valable que dans le cadre de l’optique paraxiale et pour des composants qui dévient faiblement la lu- mière. Il suffit de faire un tracé de rayon pour comprendre qualitativement pourquoi un composant diffractif qui dévie fortement la lumière n’est plus blazé. Considérons le réseau échelette de la Figure 4.1(b) et traçons le trajet de deux rayons incidents, l’un au centre d’une zone de Fresnel et l’autre en bord de zone, voir Figure 4.2. Le rayon incident en milieu de zone est bien dévié dans la même direction qu’il aurait été dévié par un prisme, par contre le rayon incident en bord de zone subit une réflexion totale interne sur la paroi verticale ; il n’est donc pas dévié dans l’ordre utile. Zone d’ombre Zone d’ombre PSfrag replacements (a) (b) H H

Figure 4.2: Effet d’ombrage. Une fraction de l’énergie incidente est en

réflexion totale interne sur les parois verticales séparant deux zones de Fresnel.

Ce raisonnement très simple qui s’avère en fait quantitatif [Her97] permet de se rendre compte qu’une fraction de l’énergie incidente sur le composant diffractif ne participe pas de façon constructive aux interférences dans l’ordre utile. Ce phéno- mène est appelé effet d’ombrage, et la partie du composant dans laquelle il se produit

est appelé zone d’ombre. Bien sûr, la fraction relative d’énergie perdue est d’autant plus importante que la largeur relative de la zone d’ombre est grande par rapport à la largeur de la zone de Fresnel considérée. Ainsi, dans un composant qui dévie peu la lumière, la taille des zones de Fresnel est grande par rapport à leur hauteur H et donc grande par rapport à la zone d’ombre, et l’effet d’ombrage est négligeable. Au contraire, l’effet d’ombrage est très handicapant dans un composant qui dévie fortement la lumière, puisque la taille des zones de Fresnel devient comparable à leur hauteur.

Voilà pourquoi les profils continus de type échelette ne permettent pas de réaliser des optiques diffractives qui dévient fortement et efficacement la lumière. Il est à noter que les optiques hybrides, dans lesquelles la diffraction n’est utilisée que pour corriger le front d’onde, ne souffrent pas en principe de cette limitation.