2.3 Numerical example for Hermite-Gauss functions
3.1.2 Etat de l’art des méthodes numériques déjà utilisées
Le calcul du coefficient d’atténuation α constitue bien sûr une étape importante à franchir avant d’envisager l’application des guides à cristaux photoniques dans des composants d’optique intégrée. Pourtant, la littérature ne contient que peu de tra- vaux relatifs à ce calcul [Urs98, Not01, Had02, Lal02, Dés02, Vas02, And03, Cry05].
3.1 Calcul des pertes de propagation 41
La principale raison est que le calcul de la longueur d’atténuation dans un guide à
cristaux photoniques est un problème numérique très difficile à résoudre. D’une part,
parce que les « solvers » de modes développés pour les guides invariants par trans- lation ne peuvent être appliqués facilement au calcul des pertes d’une structure périodique. D’autre part, parce que la modélisation d’un guide à cristaux photo- niques requiert un très grand domaine de calcul du fait de la grande taille de l’objet dans la direction y, voir Figure 3.1.
Pour mettre en avant l’originalité de l’approche que nous avons développée [Sau03], nous allons passer rapidement en revue les principaux travaux antérieurs. Ceux-ci peuvent être séparés en deux familles.
Approches utilisant une discrétisation tridimensionnelle
Cette première famille, qui a fait l’objet du plus grand nombre d’études, regroupe les approches basées sur une discrétisation tridimensionnelle du domaine de calcul. Cette discrétisation peut être réalisée par des techniques de différences finies dans le domaine temporel (FDTD) [Urs98, Not01, Dés02, Cry05] ou par des techniques d’éléments finis dans le domaine fréquentiel [Had02]. Dans tous ces travaux, les modes du guide à cristaux photoniques sont calculés en utilisant des conditions aux limites pseudo-périodiques dans la direction z et des couches absorbantes dans les directions x et y.
Approches semi-analytiques utilisant une discrétisation bidimensionnelle
La deuxième famille regroupe des méthodes semi-analytiques qui ne discrétisent qu’un domaine de calcul 2D, grâce à une intégration analytique des équations de Maxwell dans une direction de l’espace [Lal02, Vas02, And03]. Avant de passer en revue ces approches, rappelons qu’il existe, de façon générale, deux manières de calculer le vecteur d’onde complexe d’un mode guidé en ayant recours au calcul d’une matrice reliant le champ électromagnétique entre deux plans. Ces deux approches sont illustrées sur la Figure 3.3 pour un guide périodique, mais elles s’appliquent également au cas d’un guide d’onde invariant par translation [Vas97].
La première approche consiste à calculer une matrice de diffraction transverse R reliant les ondes planes incidentes dans l’air et dans le substrat aux ondes planes diffractées, voir Figure 3.3(a). Les modes du guide correspondent à la solution du problème électromagnétique en l’absence d’ondes incidentes. Ils sont donc obtenus en calculant les pôles ˜k dans le plan complexe de la matrice R, à la fréquence ω réelle fixée. Cette approche, appelée polologie, est utilisée depuis de nombreuses années dans la théorie des réseaux de diffraction pour calculer les modes de Bloch d’un réseau coupleur [Pet80, Pop93]. Elle est également utilisée pour calculer les modes d’un guide invariant par translation, sous le nom de transverse resonance method [Vas97].
La deuxième approche consiste à calculer les valeurs propres de la matrice de
diffraction longitudinale T calculée entre deux plans séparés par une période a, voir
Figure 3.3(b). En effet, l’équation 3.2 montre que les valeurs propres λj de la matrice
PSfrag replacements(a)(a) (b) xx zz a a R R PSfrag replacements (a) (b) (b) x x zz T T
Figure 3.3: Approches classiques permettant de calculer les modes d’un
guide périodique de période a. Le système est supposé invariant dans la direction y. (a) Calcul des pôles complexes de la matrice de diffraction R, définie le long de la direction transverse à la propagation. (b) Calcul des valeurs propres de la matrice de diffraction T, définie le long de la direction de propagation.
λj = ei˜ka. (3.4)
Dans le cas d’un guide invariant par translation, la distance séparant les deux plans peut être quelconque. Les performances de ces deux approches équivalentes sont comparées dans l’article [Cao02]. Revenons maintenant au cas particulier du guide à cristaux photoniques et commentons brièvement les trois méthodes développées avant nos travaux.
La méthode développée dans l’article [Lal02] utilise le calcul des valeurs propres de la matrice de diffraction longitudinale T. Cette matrice est définie suivant la direction z, voir Figure 3.1. Elle est calculée à l’aide de la méthode modale de Fourier généralisée, en utilisant des couches absorbantes dans les directions x et y. Le domaine de calcul 2D à discrétiser est représenté sur la Figure 3.4(b).
La référence [Vas02] applique le calcul des pôles complexes de la matrice de diffraction transverse R, définie suivant la direction x, voir Figure 3.1. Cette matrice est calculée en utilisant la technique de la super-cellule qui consiste à périodiser artificiellement le guide d’onde dans la direction y. Le problème se ramène alors au calcul classique du pôle d’un réseau bipériodique. La période de ce réseau (le domaine de calcul à discrétiser) est représentée sur la Figure 3.4(a).
Enfin, une approche originale a été développée à l’Université de Pavie par L. C. Andreani [And03]. Cette approche utilise également une périodisation artificielle du guide dans la direction y. Les modes du guide à cristaux photoniques sont calculés en décomposant le champ électromagnétique sur les modes guidés du guide planaire — l’empilement de couches sans le cristal photonique — puis en calculant le couplage
3.1 Calcul des pertes de propagation 43 PSfrag replacements (a) (a) (b) x yyy zzz a a N a√3 N a√3 h + qx ∼ Na√3 + qy PML PML P M L P M L PML PML P M L P M L PSfrag replacements (a) (b) (b) x x x yyy z a N a√3 h + qx h + qx ∼ Na√3 + qy ∼ Na√3 + qy PML PML Z PML PML Z PSfrag replacements (a) (b) x x x y zzz a a N a√3 h + qx h + qx ∼ Na√3 + qy (c) (c)
Figure 3.4: Comparaison des trois domaines de calcul 2D qu’il est
possible d’utiliser avec une méthode semi-analytique. Les traits en gras représentent des conditions aux limites pseudo-périodiques aux bornes du domaine de calcul. (a) Domaine utilisé dans [Vas02] et [And03]. Les conditions aux limites pseudo-périodiques dans la direction y pourraient être remplacées par des PMLs afin de remplir correctement les condi- tions d’ondes sortantes. (b) Domaine utilisé dans [Lal02]. Les largeurs des PMLs sont respectivement qx et qy dans les directions x et y. (c)
Domaine utilisé avec l’approche développée dans cette thèse. Cette ap- proche combine les deux plus petites dimensions des domaines de calcul utilisés dans les deux autres approches.
aux modes radiatifs à l’aide de la règle d’or de Fermi. Cette méthode est approchée car les modes guidés du guide planaire ne forment pas une base complète. Par contre, elle peut être assez facilement généralisée au calcul de l’effet du désordre (rugosité, fluctuation de la taille des trous. . .) sur les pertes [Ger04].
Bilan comparatif
Par rapport aux approches de type FDTD, les méthodes semi-analytiques ne nécessitent qu’une discrétisation bidimensionnelle, moins coûteuse numériquement. Les deux dernières approches [Vas02, And03] ont en plus l’avantage de supprimer la nécessité d’utiliser des couches absorbantes dans l’air et dans le substrat.
Par contre, l’utilisation d’une super-cellule introduit un couplage artificiel entre des guides adjacents. Ce couplage fait apparaître dans le calcul de l’atténuation
des variations rapides et non-physiques qui doivent être lissées en moyennant les résultats des calculs obtenus pour différentes tailles de super-cellule. D’autre part, en générant une structure périodique dans la direction y, la technique super-cellule empêche le calcul des pertes sous la ligne de lumière qui sont purement dues à un effet de taille finie. L’évaluation de ces pertes n’est pas purement anecdotique, comme nous le verrons dans la section 3.1.4.
Il faut noter qu’aucune de ces approches, semi-analytique ou non, n’évite la dis-
crétisation de la grande dimension de l’objet suivant la direction y. Or c’est préci-
sément cette discrétisation qui constitue la principale difficulté de la modélisation d’un guide à cristaux photoniques. Nous proposons une approche qui contourne habilement cette difficulté.