Outre la longueur interne, les autres param`etres du mod`ele `a d´eterminer sont la loi de rigidit´e α7→ A(α) et la loi de dissipation α 7→ w(α). Ces fonctions sont des propri´et´es locales du mat´eriau puisqu’elles ne font intervenir que la valeur de l’endommagement au point mat´eriel. Puisqu’il n’est pas possible d’envisager une exp´erience au niveau d’un point mat´eriel, l’id´ee est de d´elocaliser au maximum l’information au niveau d’une zone d’int´erˆet. `A la limite o`u l’on arrive `a rendre ces ´etats diffus sur l’ensemble de la structure on a obtenu pr´ecis´ement des ´etats homog`enes.
Dans le cas unidimensionnel, la loi de rigidit´e se r´eduit `a la loi scalaire α7→ E(α). On a donc deux fonctions scalaires `a identifier. Or on a ´et´e en mesure d’exhiber analytiquement deux diagrammes pour les ´etats homog`enes qui sont
– la courbe contrainte-d´eformation,
– le diagramme de stabilit´e en termes d’effets d’´echelle.
Tandis que le diagramme contrainte-d´eformation est souvent employ´e dans la litt´erature pour construire des lois d’endommagement (voir Chapitre 1 pour la construction de plusieurs types de lois), le deuxi`eme diagramme est, on l’estime, un ´el´ement cl´e dans l’optique d’identifier les deux fonctions d’endommagement. On examine sur deux exemples successifs l’utilit´e de ce diagramme dans le cas d’un essai de traction `a d´eplacement impos´e `a la valeur tL (t d´esignant l’allongement de la barre mais aussi la d´eformation moyenne dans la barre).
Exemple 1. Pour commencer, on consid`ere la loi d’endommagement
E(α) = E0(1− α)2, w(α) = ˆwα. (3.14)
Selon cette loi, la contrainte et l’allongement limite d’´elasticit´e se lisent σe=pwEˆ 0, te√
ˆ
wE0= σe
Le diagramme contrainte-d´eformation pour la branche homog`ene a d´ej`a ´et´e ´etudi´e dans la Section 1.1.5.2. Celle-ci se lit σt= σet pour t≤ te, σe te t 3 sinon. (3.16)
Ce qui nous int´eresse ici est plutˆot son diagramme de stabilit´e. En appliquant la Propri´et´e 2.3
(o`u l’on aura veill´e `a remplacer E0par ˆw en vertu de la nouvelle normalisation), l’´etat homog`ene sera stable pour l’allongement t si (resp. seulement si) la longueur de la barre est telle que
L < (resp.≤) 4π 3√ 3
te
tℓ.ˆ (3.17)
Sur la Figure3.1, on repr´esente le diagramme de stabilit´e pour cette loi. On y constate plusieurs
t
t
e1
0
L/ˆℓ
4π
3√3
Stable Instable
Fig. 3.1 – Stabilit´e des ´etats homog`enes pour la barre en traction simple
points. Tout d’abord si la longueur de la barre est plus grande que 4π
3√
3ℓ, l’´etat homog`ene seraˆ instable d`es la fin de la phase ´elastique : la barre localisera et il sera impossible d’observer ces ´etats homog`enes. Pour pouvoir observer des ´etats homog`enes, il faut n´ecessairement choisir des longueurs de barre inf´erieures `a 4π
3√
3ℓ. Dans ce cas, la branche homog`ene est stable `a l’issue deˆ la phase ´elastique. Cependant, une fois atteint l’allongement 4π ˆℓte
3√
3L, la branche homog`ene rede-vient instable et une localisation apparaˆıt. Puisque l’observabilit´e des ´etats homog`enes est fix´ee par les effets d’´echelle, on en d´eduit qu’il suffit de prendre une famille de barres de diff´erentes tailles et de mesurer pour chacune d’entre elles l’allongement caract´eristique `a l’issu duquel une localisation apparaˆıt. En comparant le diagramme th´eorique et le diagramme exp´erimental, on pourra v´erifier la pertinence de la loi d’endommagement. Bien entendu, cela suppose que dans
la r´ealit´e que la structure privil´egie les minima locaux et ne quitte la branche homog`ene que lorsque celle-ci perd sa stabilit´e.
Par ailleurs on insiste sur le fait que ce diagramme de stabilit´e apporte bel et bien des in-formations compl´ementaires au diagramme contrainte-d´eformation. Pour cela, on exhibe une famille de lois ayant le mˆeme diagramme contrainte-d´eformation mais exhibant des diagrammes de stabilit´e diff´erents.
Exemple 2. On consid`ere la famille de lois d’endommagement index´ee par l’indice p,
E(α) = E0(1− α)p, w(α) = ˆw(1− (1 − α)p/2). (3.18) Cette famille a la particularit´e d’avoir pour les ´etats homog`enes le mˆeme diagramme contrainte-d´eformation. Quel que soit l’indice p, la contrainte et l’allongement limite d’´elasticit´e se lisent
σe=pwEˆ 0, te√ ˆ
wE0 = σe
E0. (3.19)
En appliquant les formules (2.31) et (2.32) donnant la relation contrainte-d´eformation, on trouve la loi consid´er´ee pr´ec´edemment i.e.
σt= σet pour t≤ te, σe te t 3 sinon. (3.20)
On constate donc que pour cette famille de lois qu’il est impossible de diff´erencier deux lois associ´ees `a deux indices distincts `a partir du diagramme contrainte-d´eformation. Le seul moyen est de faire appel au diagramme de stabilit´e. En appliquant de nouveau la Propri´et´e2.3(o`u l’on aura encore veill´e `a remplacer E0 par ˆw en vertu de la nouvelle normalisation), l’´etat homog`ene sera stable pour un allongement t si (resp. seulement si) la longueur de la barre est telle que
L < (resp.≤) 8π 3√ 3p te t 4/p−1 ˆ ℓ. (3.21)
Sur la Figure 3.2, on repr´esente le diagramme de stabilit´e pour diff´erentes valeurs de p. On remarque que les diagrammes de stabilit´e sont fortement modifi´es, selon le choix de l’indice, non seulement dans la forme de la courbe mais surtout dans l’interpr´etation m´ecanique que l’on peut en faire. En effet pour la loi d’indice p = 4, le comportement est binaire : pour L > 2π/3√
3 la branche homog`ene est instable d`es la fin de la phase ´elastique tandis que pour L < 2π/3√
3, la branche sera stable jusqu’`a l’issue de l’essai. Pour p = 8, bien que l’instabilit´e de la branche homog`ene `a l’issue de la phase ´elastique intervient pour des barres de plus petites longueurs, on a en contrepartie un regain de stabilit´e pour des temps longs quelle que soit la longueur de la barre.