dx. (3.3)
On raisonne dans tout le reste du Chapitre sur cette nouvelle forme normalis´ee de l’´energie.
3.1 Quel choix pour la longueur interne ?
3.1.1 Le lien ´energ´etique avec la rupture
Un des param`etres des mod`eles `a gradient d’endommagement qui fait d´ebat du fait de sa d´elicate justification est la longueur interne. Celle-ci ´etant introduite de fa¸con ad-hoc sans lien direct avec la microstructure du mat´eriau, on choisit donc de proc´eder `a son identification en continuant `a raisonner `a l’´echelle de la structure. En effet, on pourrait ˆetre tent´e de choisir une des multiples “petites” longueurs existant `a l’´echelle de la microstructure (tailles caract´eristiques des vides, des microfissures) comme la longueur de r´egularisation. N´eanmoins, aucune preuve claire et rigoureuse `a partir d’une approche microm´ecanique n’a pu encore ˆetre apport´ee pour justifier la pr´esence d’une longueur interne ainsi que des termes en gradient d’endommagement dans la forme du travail de d´eformation.
L’id´ee est donc d’exploiter plutˆot le cadre ´energ´etique et d’interpr´eter les localisations d’endom-magement comme l’apparition de fissures (au sens de la m´ecanique de la rupture).
L’´etude dans le Chapitre 2 de la barre en traction simple offre le cadre id´eal pour mettre en place cette ´equivalence ´energ´etique. On calcule en premier lieu l’´energie dissip´ee pour cr´eer une localisation conduisant `a contrainte nulle (et ayant donc rompu la barre en 2). Dans un second
temps on comparera cette ´energie `a la densit´e d’´energie de surface utilis´ee classiquement en rupture pour cr´eer une fissure. On veille ici `a consid´erer une localisation enti`ere et non pas une demi-localisation. En effet on ´evalue mal l’´energie dissip´ee dans le cas de cette derni`ere puis-qu’elle coˆute deux fois moins en ´energie du fait de son support de taille moiti´e moindre. On a vu qu’un ´etat localis´e (u, α) pouvait se param´etrer continˆument `a partir de la contrainte dans la barre σ. L’´energie totale de cet ´etat localis´e est donc une fonction d’un param`etre (la contrainte)
Pσ : σ7→ Z L 0 1 2wˆˆℓ 2α′2+ 1 2S(α)σ 2+ w(α) dx. (3.4)
On suppose par ailleurs que la localisation naˆıt depuis un ´etat d’endommagement homog`ene `a la valeur α0 qui correspond `a la valeur critique correspondant `a la fin de la phase durcissante. En effet il n’est ni anecdotique ni superflu de faire le calcul `a partir d’un endommagement diffus α0 plutˆot que depuis l’´etat sain. Pour des mat´eriaux strictement adoucissants, il est vrai que les effets d’´echelle font que pour des grandes barres, on localisera quoi qu’il arrive `a la fin de la phase ´elastique et on ne pourra observer cet ´etat d’endommagement diffus. Ceci n’est n´eanmoins plus vrai dans le cas des mat´eriaux ayant au pr´ealable une phase durcissante comme il est observ´e sur certaines exp´eriences sur du b´eton (voir [53]). On reprend alors les ´equations (2.45)-(2.46) ´etablies au Chapitre 2 donnant le profil d’une localisation enti`ere pour un ´etat de contrainte σ
Pσ = 1 2S(α0)σ 2+ w(α0) L + 2 Z S (w(α(x))− w(α0)) dx. (3.5)
En utilisant la sym´etrie de la localisation par rapport `a son centre puis en faisant le changement de variable α := α(x) (qui est bien monotone sur la moiti´e de la localisation), on obtient
Pσ = 1 2S(α0)σ 2+ w(α0) L + 4ˆℓ Z α(σ)¯ α0 w(β)− w(α0) pH(σ, β) dβ. (3.6)
En faisant tendre σ vers 0, on obtient alors l’´energie dissip´ee pour rompre une barre initialement saine en deux parties endommag´ees `a la valeur α0,
P0 = w(α0)L + 2√ 2ˆℓ
Z 1 α0
p ˆw(w(β)− w(α0)) dβ. (3.7)
On fait ici l’hypoth`ese que l’´energie dissip´ee w(α0)L pour endommager de fa¸con diffuse la struc-ture `a la valeur α0 n’entre pas en compte dans le processus de rupture de la barre et donc dans le calcul de la t´enacit´e. On obtient alors que
Gc = 2√ 2ˆℓ
Z 1 α0
d’o`u on d´eduit la valeur de la longueur interne en fonctions des param`etres mat´eriaux ˆ ℓ = Gc 2√ 2R1 α0p ˆw(w(β)− w(α0)) dβ (3.9) 3.1.2 Applications
Pour illustrer la pertinence de cette ´equivalence, on consid`ere ici l’ensemble des lois d’en-dommagement strictement adoucissantes ayant pour point commun une densit´e d’´energie de dissipation lin´eaire en l’endommagement et donc pouvant s’´ecrire
w(α) = ˆwα, (3.10)
o`u ˆw peut ˆetre d´efini comme la specific fracture energy, c’est `a dire la densit´e d’´energie pour endommager jusqu’`a rupture, voir [15]. Les lois ´etant suppos´ees strictement adoucissantes, des localisations surviennent n´ecessairement `a la fin de la phase ´elastique pour des barres suffisament longues, voir Propri´et´e 2.3. Un calcul direct de la t´enacit´e ainsi que de la taille finale de la localisation donne Gc = 4 √ 2 3 wˆˆℓ, D(0) = √ 2ˆℓ, σ2e = 2 ˆw S′(0). (3.11)
On trouve bien le lien de proportionnalit´e utilis´e dans la litt´erature. Cette relation est valable pour n’importe quelle loi ayant une loi de dissipation lin´eaire en α.
On calcule `a pr´esent ce jeu de param`etres pour le b´eton `a partir des donn´ees exp´erimentales issues de [3, 15] (ces valeurs sont approximatives et peuvent pr´esenter une dispersion assez importante dans le cas de la densit´e d’´energie de surface),
E0 = 29 GPa, σe= 4.5 Mpa, Gc = 70 N/m. (3.12)
`
A partir de ces valeurs, on calcule les deux longueurs du mod`ele, `a savoir ˆℓ et D(0),
2D(0) = 106 mm, ℓ = 38 mm,ˆ w = 698 N/mˆ 3. (3.13)
On trouve donc une longueur interne qui est de l’ordre de la taille da d’un agr´egat de b´eton. En effet pour un b´eton classique la taille d’un agg´egat varie entre 10 mm et 40 mm. Cette ´equivalence ´energ´etique donne donc des r´esultats qui sont en accord avec la taille caract´eristique de la microstructure. Cette ´epaisseur de localisation qui est de l’ordre de la dizaine de centim`etres ne se voit pas `a l’œil nu sur l’´eprouvette : ce que l’on constate visuellement `a l’issu de l’essai est la zone rompue qui correspond i) en 3D `a une surface, ii) en 2D `a une ligne, iii) en 1D `a un point, o`u l’endommagement a atteint sa valeur ultime. Pour pouvoir d´eterminer cette ´epaisseur de localisation, il faut proc´eder `a des mesures exp´erimentales avanc´ees (ultrasons, mesure des
champs par corr´elation d’images) autour de la zone entourant la fissure. L`a encore, du fait de la microstructure compliqu´ee et al´eatoire du b´eton, ces mesures locales doivent ˆetre prises avec une grande pr´ecaution.
On continue d’examiner les m´ethodes d’identification que nous offre l’analyse th´eorique du mod`ele en examinant dans la Section les m´ethodes permettant de remonter aux lois de rigi-dit´e et de dissipation.