Utilisation de l’élément semi-discret

La version semi-discrète de la formulation enhanced asssumed strain (section 3.4) est testée ici pour le bias extension test. Le comportement de cet élément fini peut être divisé en deux parties : le comportement associé aux mèches (où aux contributions énergétiques en tension) et le comportement associé aux rigidités secondaires (cisaillements et compres-sion transverse). Pour la réponse des mèches à une sollicitation, la rigidité est prise linéaire par morceaux (figure 3.33). La première rigidité E1est égale à 3 227 N et la seconde, E2, égale à 14 390 N. Le comportement de la mèche est non linéaire, fonction de son élon-gation. En ce qui concerne les rigidités secondaires, la partie continue de l’élément, la loi hyperélastique est utilisée sans les contributions énergétiques en tension. Deux maillages sont utilisés. Le premier est discrétisé selon 0 − 90^◦(figure 3.34), les mèches étant orien-tées à 45^◦dans les éléments. Le second est orienté à 45^◦, les mèches suivent les côtés des éléments (figure 3.35). Sur cette représentation les mèches ne sont visibles car collées aux côtés des éléments. Les deux maillages ont été réalisés de manière à contenir le même nombre de mèches dans chaque direction.

E

E

Tension

Elongation

Figure 3.33 – Tension dans une mèche en fonction de son élongation

Les résultats en efforts sont présentés figure 3.36. Comme précédemment pour l’élé-ment fini continu, les résultats montrent des différences nettes. Les efforts calculés avec une formulation semi-discrète classique pour le maillage à 90^◦sont largement supérieurs à ceux trouvés pour le maillage à 45^◦(+258% en fin de courbe). La présence du verrouillage

Figure 3.34 – Maillage à 90^◦ de l’éprouvette de traction de biais avec l’élément semi-discret

Figure 3.35 – Maillage à 45^◦ de l’éprouvette de traction de biais avec l’élément semi-discret

numérique en tension est confirmée. Dans le cas de la formulation enhanced associée au maillage à 90^◦, le résultat est en cohérence avec les courbes de référence. L’écart en fin de courbe est alors de +12%. Cet exemple met encore en avant le gain quantitatif associé à l’utilisation d’une formulation enhanced asssumed strain. Il est noté qu’à la différence des résultats précédant, l’angle maximal de cisaillement retenu pour la courbe 3.36 est de 41^◦. Cela vient du fait que la simulation avec l’élément classique et le maillage à 90^◦ est in-stable compte tenu du verrouillage numérique et de la plus grande instabilité des éléments semi-discrets. Cette simulation n’atteint alors que cette valeur maximale en cisaillement.

Il est intéressant de noter que les résultats obtenus ici sont bien meilleurs que les résultats obtenus pour l’élément fini continu avec une loi non-linéaire. Pourtant la loi de comportement associée à l’élément semi-discret testé est entièrement non linéaire, que ce soit pour les contributions en tension où pour les rigidités secondaires (identiques à l’élément continu). Il semble alors que la formulation enhanced soit plus efficace sur cet élément semi-discret. Afin d’expliquer cela, on peut avancer le fait que la définition des directions des contributions en tension est réalisée dans le domaine isoparamétrique. Par conséquent, l’enrichissement étant réalisé dans ce domaine isoparamétrique, il doit être plus efficace.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

Angle de cisaillement dans la zone centrale (en °)

Effort machine (en N)

Maillage 45° + Elt Classique SD Maillage 90° + Elt Classique SD Maillage 90° + Elt Enhanced SD

Figure 3.36 – Effort repris par la machine en fonction de l’angle de cisaillement dans la

zone centrale suivant le maillage et la formulation choisie

3.7 Bilan du chapitre 3

Ce chapitre a permis de détailler de nombreux aspects du verrouillage en tension des renforts tissés. L’étude de l’essai de bias extension test a permis de visualiser les modes de déplacement posant problème lors de la simulation numérique : les modes hourglass. La confirmation de la responsabilité de ces modes a ensuite été développée théoriquement. La partie non-constante des déformations hourglass entraine des déformations globales nulles dans la direction des mèches mais non nulles localement, au niveau des points d’in-tégration. Des efforts indésirables sont alors générés. La problématique est d’utiliser des formulations éléments finis supprimant, ou corrigeant, ces déformations locales parasites. Un état de l’art des techniques de résolution disponibles actuellement a alors été pré-senté avec principalement : l’alignement entre directions de mèches et cotés des éléments, l’intégration réduite (sélective, avec stabilisation physique...) et les éléments à champ mixte. Parmi ces solutions, aucune n’est polyvalente ni communément admise pour la résolution du verrouillage en tension.

Un élément fini basé sur une formulation enhanced assumed strain à intégration ré-duite est proposé pour résoudre le problème du verrouillage en tension. Il est basé sur une approximation du tenseur des dilatations de Cauchy-Green droit autour d’un seul point d’intégration central. Des variables internes supplémentaires sont ajoutées. Leurs fonctions d’interpolations sont choisies de manières à compléter les polynômes isopara-métriques d’interpolation des déplacements classiques. Deux éléments sont proposés : un possédant 9 variables internes pour les éléments non distordus initialement, et un autre

possédant 21 variables internes pour gérer les éléments distordus initialement.

En plus de l’élément fini continu, la même procédure est appliquée à l’élément fini semi-discret. Les contributions discrètes en tension subissent le même traitement que l’élément fini continu. Un élément fini à intégration réduite semi-discret avec formulation

enhanced assumed strain est obtenu.

La qualité des améliorations apportées par les nouvelles formulations est quantifiée sur des simulations de traction de biais (et de dépose sur cercle pour le cas matériellement linéaire) avec des maillages différents. L’élément fini continu donne de très bons résultats avec une loi de comportement linéaire tandis que les résultats avec la loi de comportement hyperélastique adaptée aux renforts interlock sont décevants. L’explication de cette diffé-rence est pour l’instant inconnue. Pour le nouvel élément fini semi-discret, les résultats obtenus sont très satisfaisants. Le verrouillage est presque entièrement supprimé.

Phénomène d’hourglassing transverse