Élément enhanced assumed strain et déformation des mèches

i=1 K^{i Tot}_αu J^T₀Γ^T_i u (3.138) avec : K^Tot_αα =K^Cont_αα + N

∑

K^{i Tot}_αu =K^iCont_αu +

N

∑

m=1

K^{i m SD}_αu (3.140)

Soit pour la rigidité globale dans la base matérielle des modes hourglass Ki (équation 3.114) : Ki= 4

∑

K^{i j Tot}_uu − K^{i Tot}_αu
T

K^Tot_αα
−1 K^{i Tot}_αu ⁱJ^T₀Γ^T_j (3.141) avec : K^{i j Tot}_uu =K^{i jCont}_uu + N

∑

Il est à noter qu’à la différence de l’élément développé par Puso, l’élément semi-discret à intégration réduite et stabilisation enhanced des modes hourglass n’est pas forcément constitué d’un seul point d’intégration. Un seul point d’intégration au centre de l’élément parent est nécessaire pour la partie continue et un au centre de chaque mèche présente pour la partie discrète. Cependant, si le centre de la mèche ne se situe pas au milieu du domaine isoparamétrique, un point d’intégration supplémentaire est nécessaire pour cette mèche.

3.5 Élément enhanced assumed strain et déformation des

mèches

Les formulations enhanced permettent la suppression des déformations hourglass dans les directions de forte anisotropie, celle des mèches dans notre cas. Afin d’étudier l’in-fluence de la formulation enhanced assumed strain introduite, le calcul de la déformation dans la direction des mèches est effectuée dans des cas simples. Tout d’abord avec un élément fini classique à interpolation linéaire. Ensuite avec un élément possédant une for-mulation enrichie par des variables internes. L’objectif est de comparer les valeurs des déformations dans les directions de mèches dans ces deux cas et d’étudier l’influence

de différentes variables. On se place encore en deux dimensions pour simplifier les cal-culs. L’élément fini utilisé pour effectuer ces comparaisons est pris arbitrairement de taille 10 × 10. Les différentes variables étudiées sont les suivantes :

— L’amplitude du champ de déplacement hourglass imposé, qu’il soit uniquement horizontal, vertical ou une combinaison des deux ;

— L’emplacement dans le domaine isoparamétrique du point où l’on va calculer la déformation ;

— L’angle d’orientation de la mèche étudié par rapport aux côtés de l’élément et donc par rapport au repère global (figure 3.11) ;

— Les valeurs du module de cisaillement plan et de rigidité en tension des mèches, plus particulièrement le rapport entre les deux.

Afin de mieux comprendre l’influence de l’ensemble de ces variables, le calcul de la dé-formation dans la direction souhaitée est effectué à la fois avec un logiciel de calcul formel (Maple^TM) et de calcul numérique (MATLAB R). La valeur test permettant de détermi-ner la qualité de la formulation élément fini utilisée sera le ratio des déformations dans la direction d’une mèche pour la formulation classique sur sa valeur dans la formulation enhanced.

ratio = ^ε

classique m

ε^enhanced_m (3.143)

où ε^classiquem est la déformation dans la direction de la mèche pour une formulation à

inter-polation linéaire et ε^enhanced_m cette même déformation quand la formulation est enrichie de variables internes enhanced. Ainsi, tout en mettant en exergue le fait que la déformation est surévaluée pour une formulation classique, on confirmera que la formulation enhanced réduit ces déformations parasites. Après analyse de ces calculs, les conclusions suivantes peuvent être tirées sur la déformation dans la direction des mèches :

— L’amplitude du champ de déplacement hourglass imposé n’a pas d’influence sur le ratio trouvé. Si un champ de la forme suivant est utilisé :

ux= ah (3.144)

uy= bh (3.145)

alors toutes les valeurs possibles de a et b donneront un ratio identique

— L’emplacement du point du domaine isoparamétrique où l’on va calculer le ra-tio n’a aussi pas d’influence. Cela signifie que la déformara-tion dans la direcra-tion des mèches en tout point de l’élément est identique. La déformation est rendue homogène dans l’ensemble de l’élément pour n’importe qu’elle combinaison de modes de déplacement hourglass : la non-constance problématique de ces modes est corrigée.

— L’angle d’orientation de la mèche par rapport aux côtés de l’élément est évidem-ment important dans le calcul du ratio. Celui-ci est défini comme indiqué figure 3.11. La mèche est supposée passer au centre de l’élément mais, comme vu au point précédent, l’emplacement du point du domaine isoparamétrique pour calculer le

ratio des déformations n’a pas d’influence. Elle pourrait donc se situer à n’importe quel emplacement dans l’élément fini. Seule son orientation est importante. Pre-nons le cas de la figure 3.12 (dénommé cas 1). Cette figure montre l’évolution du ratio en fonction de l’orientation de la mèche par rapport aux côtés de l’élément. Pour ce cas le module de cisaillement plan est choisi tel que G = 1GPa et la ri-gidité des mèches telle que E1= E₂= 100GPa. La courbe présente deux minima en 0^◦ et 90^◦ et un maximum à 45^◦. Les minima ont une valeur de ratio de 1 et correspondent aux cas où les mèches sont alignées avec les côtés de l’élément. La formulation enhanced introduite ne modifie pas la valeur de la déformation dans le sens des mèches dans ce cas. Aucun verrouillage n’apparaissant dans le cas où mèches et côtés des éléments sont alignés, il est cohérent de trouver un ratio de 1. Le maximum de la courbe correspond à l’orientation pour laquelle la mèche est la plus éloignées des côtés de l’élément. C’est bien pour cette orientation que la dé-formation dans la direction de la mèche est le plus surévaluée. La courbe est aussi strictement supérieure à 1 sur l’ensemble du domaine, confirmant la surévaluation de la déformation dans la formulation classique.

Figure 3.11 – Orientation d’une mèche dans l’élément fini à tester

— En ce qui concerne l’influence du ratio entre module de cisaillement et rigidité de tension, deux autres cas ont été testés. Dans le cas 2, la valeur de G est identique au cas 1 mais la rigidité de tension est de 10GPa. Pour le cas 3, la rigidité de ten-sion est de 1000GPa. Le tableau 3.1 rappelle les différents cas. Ces trois courbes (figures 3.12, 3.13 et3.14) ont en commun leur forme, qui est identique pour les trois cas. Seule l’amplitude de la courbe varie. L’amplitude du ratio de déformation dans les sens des mèches est donc directement dépendante du ratio entre module de cisaillement et rigidité de tension. La déformation dans le sens des mèches pour un élément fini classique étant la même peu importe ce ratio, cela signifie que plus le ratio E_i/G augmente, plus les déformations parasites dans le sens des mèches sont supprimées par la formulation enhanced.

Cas G(GPa) E₁(GPa) E₂(GPa)

1 1 100 100

2 1 10 10

3 1 1000 1000

Tableau 3.1 – Tableau récapitulant les différentes rigidités pour les 3 cas testés

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1 5 10 15 20 25 30

Angle d’orientation de la mèche dans l’élément

Ratio des déformations

Cas 1

Figure 3.12 – Ratio déformation dans le sens de la mèche standard/déformation avec

élément enhanced en fonction de l’angle d’orientation de la mèche dans l’élément pour le cas 1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Angle d’orientation de la mèche dans l’élément

Ratio des déformations

Cas 2

Figure 3.13 – Ratio déformation dans le sens de la mèche standard/déformation avec

élément enhanced en fonction de l’angle d’orientation de la mèche dans l’élément pour le cas 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1 50 100 150 200 250 300

Angle d’orientation de la mèche dans l’élément

Ratio des déformations

Cas 3

Figure 3.14 – Ratio déformation dans le sens de la mèche standard/déformation avec

élément enhanced en fonction de l’angle d’orientation de la mèche dans l’élément pour le cas 3

3.6 Performances des éléments pour le verrouillage en