Approche semi-discrète hyperélastique du comporte- comporte-ment des renforts épais

Comme évoqué section 2.1.3, il est possible de simuler macroscopiquement le com-portement de renforts tissés épais de composite par des méthodes dites semi-discrètes. L’approche est lagrangienne, signifiant qu’il n’y a pas de transfert de matière, et scinde en deux parties les différentes contributions à l’énergie de déformation interne de l’élément. Une partie discrète assure la simulation du comportement des mèches en élongation tan-dis que la partie continue assure la modélisation des autres contributions (cisaillements, compression transverse, frottements et réorganisation de mèches). La contribution dis-crète est dite de premier ordre, car représentant les fortes rigidités en traction des mèches, tandis que la partie continue est dite de second ordre.

Le travail présenté par ce manuscrit a été principalement réalisé avec une approche continue, mais certains développements ont été effectués pour un élément semi-discret. Nous allons donc détailler rapidement la formulation de l’élément proposé par de Luycker [LUY 09a] puis enrichi par Orliac [ORL 12] en se basant sur les travaux d’hyperélasticité de Charmetant [CHA 12].

Ces éléments sont des briques à huit nœuds à interpolation trilinéaire. Les mèches traversent les éléments et une même mèche ne peut apparaitre que dans un seul élément, comme figure 2.25. L’interpolation est lagrangienne, ce qui signifie que chaque mèche est fixée cinématiquement et matériellement à l’élément qui la contient. Cela implique une absence de glissements entre les mèches. Cette hypothèse forte est observée expérimenta-lement et est à la base de la construction de l’élément. Si des grands mouvements relatifs entre les mèches étaient mis en lumière, des méthodes eulérienne ou ALE devraient être mise en place. Les mèches ne doivent pas être considérées comme l’insertion d’éléments discrets dans un maillage d’éléments finis volumiques. Telles qu’elles apparaissent figure 2.25, elles ne sont que la visualisation de l’orientation de la contribution en tension et permettent d’observer plus facilement les directions fortes d’anisotropie.

Figure 2.25 – Élément semi-discret avec ses mèches

Dans le cadre du principe des travaux virtuels, le travail des forces internes de tension dû à la partie discrète et le travail dû aux autres contributions sont dissociés :

δW_int= δW_int^SD+ δW_int^Cont (2.82)

avec W_int^SD le travail des forces internes de tension et W_int^Cont le travail des autres contri-butions. Le travail des autres contributions est calculé avec la loi hyperélastique macro-scopique détaillée section 2.2. La seule différence est que les contributions énergiques en tension des mèches ne sont plus nécessaires, étant maintenant remplacées par la partie discrète. W_int^Cont est donc calculé de la manière suivante :

W_int^Cont =

Z

Ω0

wdΩ (2.83)

où w est la densité d’énergie de déformation calculée en se basant sur l’équation 2.43 :

w= w_comp(I_comp) + w_cp(I_cp) + w_ct1(I_ct1) + w_ct2(I_ct2) (2.84) Il reste à calculer la contribution de la partie discrète. Pour ce faire, il existe plusieurs manières d’exprimer le travail virtuel, que l’on se place dans la configuration matérielle ou eulérienne. Le travail virtuel interne peut être écrit comme suit [BAS 00] :

δW_int =

Z

Ω

σ : εdΩ (2.85)

La tension et la déformation dans les mèches doivent maintenant être exprimées. Soit une mèche m, notons h_m le vecteur normé tangent à cette mèche dans le repère eulérien et Hmle vecteur normé tangent dans le repère matériel. La déformation de la mèche peut alors être calculée dans ces deux configurations :

E_m= H_m· E · H_m (2.86) ε_m= h_m· ε · h_m (2.87)

avec Emles déformations exprimées dans le repère matériel et εmles déformations dans le repère eulérien. Pour en revenir au travail virtuel, étant donnée l’unique direction privilé-giée, il s’exprime pour chaque mèche présente dans l’élément, en s’appuyant sur 2.85 :

δW_int^m =

Z

lm

T_mε_mdl (2.88)

avec lm la longueur courante de la mèche et Tm la tension dans une mèche. Soit pour un élément à N mèches : δW_int^SD= N

∑

m=1 δW_int^m = N

∑

m=1 Z lm T_me_mdl (2.89)

Afin de simplifier la notation pour l’expression des déformations de la mèche en no-tation de Voigt, l’équation 2.87 est reformulée :

ε_m= h_m· ε · h_m = hⁱ_m· ε_{i j}· h_m^j

=hmε (2.90)

où ε est écrit grâce aux notations de Voigt usuelles, et :

hm=                h¹_mh¹_m h²_mh²_m h³_mh³_m h¹_mh²_m h²_mh³_m h³_mh¹_m                (2.91)

On peut alors obtenir les forces internes de tension dues aux mèches dans un élément semi-discret : F^SD_int = N

∑

m=1 Z lm h^T_mT_mdl (2.92)

La relation entre la tension Tmdans la mèche et les déformations dans le repère maté-riel Emest exprimée par choix :

T_m=

R

E_m (2.93)

avec

R

la rigidité bipoint de la mèche mesurée expérimentalement.

R

relie les efforts sur la géométrie courante aux déformations exprimées dans la configuration initiale. Cette rigidité peut être prise constante où variable, en fonction du comportement voulu pour la mèche. Cela permet notamment de considérer le comportement des mèches de deux façons suivant l’embuvage. Si le comportement des mèches en traction est généralement considéré comme linéaire, celui des tissés, lui, est non linéaire à la fois par son embuvage et par le comportement transverse rigidifiant des mèches [BUE 98, BOI 01, BAD 08a]. Pour prendre en compte ceci dans notre modèle, deux approches sont envisagées, figure 2.26 :

— Une première méthode est d’utiliser un maillage de mèches ondulées. Dans ce cas, le comportement des mèches est pris linéaire en fonction de la déformation de Hencky, figure 2.26b, et

R

est constant ;

— Une autre solution utilisable dans des structures trop complexes pour être maillées finement, est d’introduire dans notre maillage des mèches droites, mais possédant un comportement non linéaire (plus souple au départ), figure 2.26c, et

R

est non linéaire.

(a) Discrétisation d’une mèche embuvée

structu-rellement (bleue) ou numériquement (rouge)

(b) Embuvage structurel (c) Embuvage numérique

Dans le document Modélisation du comportement mécanique lors du procédé de mise en forme et pyrolyse des interlocks CMC (Page 111-115)