Un problème de rencontre

 Là encore, c’est un problème classique que la TI-Nspire peut facilement simuler, grâce aux nombreux outils qu’elle propose.

C’est une histoire par exemple de chapeau sur la tête, quand on est étourdi et qu’on risque de prendre au hasard un autre chapeau que le sien.

Plus précisément, n personnes déposent leur chapeau dans un vestiaire. À la sortie, chacune de ces personnes prend un chapeau au hasard. On se pose la question de déterminer la probabilité pn pour qu’au moins une personne récupère son chapeau. On dira dans ce cas qu’il y a eu rencontre²⁵.

On peut supposer par exemple que les personnes sont numérotées de 1 à n, de la même façon que leur chapeau. Comme elles reprennent leur chapeau au hasard, il y a autant de façon de le faire que de permutations d’un ensemble à n éléments, la loi étant équirépartie sur cet ensemble. Ainsi avec 5 personnes numérotées de 1 à 5, la permutation (5,3,1,2,4) signifierait que la personne numéro 1 repartirait avec le chapeau numéro 5, la 2 avec le chapeau 3, etc. Ici d’ailleurs chacun s’en irait avec le chapeau d’un autre.

Tout revient à dénombrer parmi les permutions de l’ensemble {1,2,…,n} celles qui ont au moins un point fixe.

On peut faire une simulation de ce problème dans l’application Tableur & listes. Une fonction de la TI-Nspire peut être utilisée à cette occasion. Il s’agit de randperm(n) qui figure dans la bibliothèque numtheory, qui génère une permutation au hasard de l’ensemble {1, 2, … ,n}.

La feuille de calcul suivante permet de simuler le problème :

25 Entre le chapeau et son propriétaire…

On remarquera tout particulièrement l’instruction =cc-bb qui permet de comparer terme à terme les deux listes, celle des numéros de personnes en B et celle des chapeaux en C. Il y a rencontre lorsque 0 figure dans l’un des résultats de cette liste, c’est-à-dire lorsque le produit des éléments de la liste est égal à 0.

Par cette procédure on évite complètement la recopie vers le bas d’une formule ; si l’on change la valeur de n, les calculs vont s’adapter à la taille de la colonne B²⁶.

La capture du résultat peut alors être organisée : on ajoute dans E2 la valeur rand()/10^8 ;

on capture la variable res dans la colonne F²⁷ et on en prend la partie entière dans la colonne G ;

enfin on compte la fréquence de 1 dans la colonne G par

=((countif(simul,1))/(dim(simul)))*1.

En considérant une assemblée de 10 personnes, la simulation donne une fréquence de rencontre environ égale à 0,626 pour 1579 répétitions de l’expérience, comme le montre l’écran ci-dessous.

26 Ce que l’on ne peut pas faire dans un tableur classique.

27 Si l’on souhaite pour des raisons pédagogiques ne pas afficher cette colonne, on peut l’écrire en blanc sur fond blanc.

Une fonction peut être rapidement écrite sur la base de cette feuille de calcul :

On obtient les résultats suivants, avec des fréquences qui dans l’ensemble semblent être du même ordre de grandeur :

 Justification du résultat précédent

Deux démonstrations peuvent être proposées. La première est basée sur la formule de Poincaré, déjà rencontrée précédemment.

On rappelle que ce que l’on appelle rencontre correspond à la situation où un chapeau se retrouve sur la tête de son propriétaire.

Soit R l’événement « Il y a au moins une rencontre ». Il est clair que :

R = R1  R2  ...  Rn

En raisonnant de façon analogue, on montre que :

3

Par conséquent, la limite de p(R) lorsque n tend vers l’infini est égale à 1

1e soit environ

La convergence de ^{p R}

 

^{ 1} _{2! 3!}^{1  1 ... }

 

^{1 n}_n¹_! ^{vers 11}

e étant rapide, il n’est pas surprenant que même pour des valeurs de n assez petites, la simulation donne des résultats proches de 1 1

e. Une deuxième démonstration est possible, basée sur l’étude d’une suite récurrente. On appelle Rn

l’événement « on constate au moins une rencontre dans un groupe de n personnes » et pn la probabilité de l’événement contraire R_n.

On cherche dans cette méthode à déterminer une relation de récurrence pour la suite (pn).

Examinons d’abord quelques cas particuliers.

Si n = 1, un chapeau, une personne… et comme la vie est bien faite, la rencontre est obligatoire… en d’autres termes, p1 = 0.

Si n = 2, soit chaque personne a récupéré son chapeau, soit il y a échange de chapeaux. Par conséquent, ₂ 1

2

p .

Si n = 3, on a 6 permutations possibles, que l’on peut résumer ainsi : personne 1 personne 2 personne 3

Avec les deux dernières, et elles seulement, on n’a aucune rencontre. Par suite ₃ 1

3 p .

Considérons donc un groupe quelconque de n personnes, dans lequel nous particularisons une personne particulière, que nous appellerons Henri P²⁸.

Lorsque l’événement R_n est réalisé, aucune rencontre ne doit avoir lieu et comme Henri P n’a pas pu reprendre son chapeau, il a nécessairement récupéré celui d’une autre personne.

De deux choses l’une :

ou bien (événement E) il y a eu échange de chapeau entre Henri P et cette autre personne, autrement dit cette autre personne a récupéré le chapeau d’Henri P ;

ou bien (événement E) il n’y a pas eu échange de chapeau entre Henri P et cette autre personne, c’est-à-dire que cette autre personne a récupéré un autre chapeau que celui d’ Henri P.

En d’autres termes, on peut écrire : Rn ^



Rn^E

 

^ Rn^E



.

Calculons la probabilité de E, c’est-à-dire la probabilité qu’il y ait un échange de chapeaux entre Henri P et une autre personne du groupe.

Un dénombrement par arbre montre qu’Henri P a n – 1 possibilités pour choisir le chapeau d’une autre personne, cette autre personne n’ayant qu’une possibilité de choisir le chapeau d’Henri P. On a donc n1 cas favorables.

28 Et si elle s’appelle autrement, ce qui est fort probable, nous la rebaptiserons pour les besoins de l’exercice ainsi !

Pour le nombre de cas possibles, Henri P a n chapeaux possibles à choisir, et une deuxième personne

Calculons ensuite pE

 

Rn … on sait qu’Henri P et une autre personne se sont échangées leur chapeau.

Reste n – 2 personnes avec leurs n – 2 chapeaux, si bien que p_E

 

R_n  p_n2. Calculons maintenant pE

 

Rn …

La situation est la suivante : Henri P a pris le chapeau d’une des n – 1 autres personnes qui, elle, ne peut pas reprendre le chapeau d’Henri P (sinon il y aurait eu échange !). Faisons comme si le chapeau d’Henri P appartenait à cette infortunée personne : tout se passe comme si elle pouvait prendre tous les autres chapeaux mais pas celui-là. On est donc encore dans une situation où n – 1 personnes se

Le calcul des premiers termes de la suite peut alors être fait par le tableur :

On remarque que la probabilité qu’il n’y ait pas de rencontre semble tendre très vite vers 1/e.

Considérons la suite (un) définie par u_n p_n1p_n pour n entier naturel non nul.

Les premiers termes de la suite (un) sont :

Par conséquent, pour tout entier naturel n non nul :

   

Écrivons successivement les égalités qui en résultent :

2 1

Par addition membre à membre de toutes ces égalités, il vient :

 

C’est bien la formule précédemment obtenue. On en tire les mêmes conclusions.

Dans le document Chapitre 17. Quelques exemples de simulations 17 (Page 40-46)