Chapitre 17. Quelques exemples de simulations
3. Autres problèmes classiques
3.3 Numéros consécutifs au loto
Écrivons successivement les égalités qui en résultent :
2 1
Par addition membre à membre de toutes ces égalités, il vient :
C’est bien la formule précédemment obtenue. On en tire les mêmes conclusions.
3.3 Numéros consécutifs au loto
Autour de juin 2009, 11 tirages consécutifs du Loto29 ont donné les résultats suivant, le plus récent étant celui de la première ligne :
29 Est-il besoin de rappeler qu’un tel tirage est constitué de 6 numéros choisis entre 1 et 49, sans répétition… Les règles du jeu ont un peu changé depuis l’origine du jeu, mais nous nous intéresserons toujours à des tirages de 6 numéros.
4 16 17 21 22 1
Examinons ces résultats d’un peu plus près… non pas pour deviner quels prochains numéros sortiront la semaine prochaine (j’ai la méthode mais, pour des raisons éthiques, je ne la divulgue pas)… non, juste pour préciser une particularité étonnante que chacun a sans doute déjà remarqué auparavant… il arrive en effet très souvent que deux numéros au moins d’un tirage soient consécutifs : c’est le cas ici 7 fois sur les 11 tirages mentionnés plus haut.
Or quand on choisit aussi peu que 6 nombres parmi 49, l’intuition voudrait qu’on laisse en général de grands vides entre les numéros choisis.
Qu’en est-il exactement ? Une simulation à la calculatrice doit permettre de clarifier ce point.
Analyse du problème et mise en œuvre sur la calculatrice TI-Nspire
On sait que la calculatrice simule le tirage d’un nombre entier au hasard entre 1 et 49 avec l’instruction randInt(1,49). On peut donc imaginer de mettre dans une liste 6 appels successifs à la fonction précédente… mais des précautions doivent être prises ! Un numéro donné ne peut pas apparaître plusieurs fois dans un tirage du loto.
Mais il existe une autre instruction, randSamp(l,n,0 ou 1), qui va nous permettre de résoudre le problème. Elle produit un échantillon d’un certain nombre n d’éléments d’une liste l, échantillon avec remise (0) ou sans remise (1). L’exemple suivant illustre l’utilisation de randSamp :
Dans le deuxième exemple, on constate la répétition du 7, qui est possible puisque l’échantillon est avec remise. Les trois derniers exemples conviennent parfaitement pour simuler le loto.
Cette première étape étant franchie, nous voici très rapidement avec une liste de 6 nombres simulant le tirage du loto… On peut envisager une feuille de calcul. Il reste à tester si cette liste contient des numéros consécutifs ou pas.
Le plus simple consiste d’abord à trier la liste, en utilisant la fonction sort_asc de tri croissant de liste qui se trouve dans la librairie numtheory… sortA (ou sortD) ne pouvant pas être utilisé dans le tableur puis à utiliser deltalist qui donne la liste des différences premières de la liste considérée. Les différences premières sont égales à 1 au moment où on rencontre deux termes consécutifs ; en retirant 1 à ces différences premières, les produit des éléments de cette nouvelle liste fait 0 lorsque l’on rencontre au moins une fois deux numéros consécutifs.
On peut ensuite capturer les résultats des tirages successsifs, selon le procédé habituel :
On arrive à une fréquence légèrement inférieure à 1
2, ce qui semble surprenant a priori.
Une fonction peut être écrite en suivant exactement le principe de cette feuille de calcul.
Pour aller plus loin : le calcul de la probabilité
La simulation donne une réponse simple, avec peu de moyens, et permet de se convaincre de l’ordre de grandeur du résultat. Reste la justification mathématique, trop délicate pour être présentée à des élèves (même de terminale S) mais qui donnera au professeur la satisfaction d’avoir un peu mieux cerné le problème.
Tout d’abord, un résultat classique, et bien connu : le nombre de grilles possibles quand on joue au loto est égal au nombre de façons de choisir 6 numéros parmi 49 soit 49
6
ou 13 983 816.
Nombre énorme certes, qui montre à qui l’aurait oublié la très faible probabilité qu’il y a de gagner le gros lot à ce jeu…
Mais il nous faut nous intéresser aux écarts entre deux numéros, ce qui justifie le changement de point de vue qui suit. Examinons par exemple le tirage (fictif ou à venir !) suivant :
6 12 24 27 41 42
Ordonnons 49 boules (non numérotées) dans une « boîte » rectangulaire de 49 cases, dont chacune est numérotée de la gauche vers la droite de 1 à 49 :
Insistons sur le fait que la boule n’est pas numérotée, contrairement aux boules du loto : ce qui compte ici, c’est le rang qu’elle occupe dans la boîte rectangulaire.
Remplaçons les 6 boules gagnantes de notre tirage (6-12-24-27-41-42) par 6 « parois », qui vont délimiter 7 « boîtes » de B1 à B7.
Les 43 boules restantes (49 6) se trouvent donc réparties dans 7 petites boîtes, certaines de ces boîtes pouvant être vides. Ici la boîte B6 est vide car les 5e et 6e numéros du tirage sont consécutifs :
Remarquons aussi que les boîtes extrêmes B1 et B7 sont vides lorsque le tirage commence par 1 ou finit par 49 (ce qui n’est pas le cas ici !).
Réciproquement, en procédant de manière inverse, une répartition de 43 boules non distinguables dans 7 boites différentes peut s’interpréter comme un tirage du loto. Ainsi si les boîtes B1 à B7 contiennent dans cet ordre les nombres suivants de boules :
3 12 4 6 15 0 3
le tirage qui correspond serait
4 17 22 29 45 46
En d’autres termes, il y a correspondance biunivoque entre un tirage du loto et une répartition de 43 boules dans 7 boîtes comme on vient de l’indiquer. Dénombrer l’un des aspects revient à dénombrer l’autre. La deuxième approche est moins connue : elle présente l’avantage de porter le regard non pas sur les numéros qui sortent, mais sur les écarts entre ces numéros…
… ce qui nous permet de dénombrer le nombre de grilles du Loto ne comportant pas de numéros boîtes. Par un raisonnement inverse de celui qui précède, ceci peut se faire de 38 6 44
6 6
façons Si bien que la probabilité que la grille ne comporte pas deux numéros consécutifs est de :
44
et la probabilité que la grille comporte au moins deux numéros consécutifs est de 0,495.
Résultats tout à fait conforme aux simulations faites précédemment…
Comme on l’a constaté lors de la simulation, c’est une probabilité bien plus grande qu’on ne pourrait l’imaginer de prime abord.
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7