Chapitre 17. Quelques exemples de simulations
3. Autres problèmes classiques
3.1 Le paradoxe des anniversaires
Est-il besoin de rappeler l’énoncé très classique de ce célèbre exercice ?
Dans une assemblée de n personnes, on demande la probabilité qu’au moins deux de ces personnes fêtent leur anniversaire le même jour.
Il est bien clair que dès lors que n > 365, cette probabilité est égale à 1 (d’après le principe des tiroirs... ou un peu de bon sens !). À l’inverse quand n = 1, on peut aussi s’attendre à ce qu’elle soit nulle.
Mais pour un effectif de 30 personnes (une classe par exemple), quelle peut bien être cette probabilité que deux élèves au moins fêtent leur anniversaire le même jour ?
Le bon sens, encore lui – mais cette fois pris en défaut – laisserait croire que cette probabilité est assez faible. Qu’en est-il exactement ?
Nous devons toutefois ajouter une hypothèse implicite pour traiter l’exercice : les naissances sont supposées uniformément réparties sur chacun des 365 jours de l’année24. Enfin nous négligerons le problème des années bissextiles.
On peut donc repérer une naissance dans l’année par un nombre entier compris entre 1 et 365.
Ces hypothèses étant précisées, on peut faire une première simulation au tableur, précisément pour 30 personnes.
La variable n, correspondant au nombre de personnes, est définie dans la cellule A1.
24 En réalité on peut observer un léger pic entre juillet et octobre, mais les écarts ne sont pas si importants que cela. Voir par exemple le site http://www.indices.insee.fr/bsweb/servlet/bsweb?action=BS_SERIE&ONGLET=2&BS_IDBANK=436391
Dans la colonne B, on réalise un tirage au sort, avec randInt, de n nombres entiers compris entre 1 et 365 simulant les dates de naissance équiréparties dans l’année des n personnes considérées. Cette liste est complétée jusqu’à la ligne 365 par des void.
Il reste à compter si, dans la liste des dates de naissance, figurent des doublons.
En C1, avec countif on regarde si la date de naissance correspondant à la cellule B1 apparaît à un autre endroit dans la liste :
=countif(anniv,b1).
On recopie ensuite la formule vers le bas, jusqu’à la 365e ligne. Remarquons qu’au-delà d’un nombre de lignes égal à n, la colonne C se complète avec void.
Si dans la colonne C on ne trouve que des 1 (ce qui équivaut à dire que la somme des éléments de la liste res est égale à n), c’est que toutes les dates d’anniversaire ne sont rencontrées qu’une fois et une fois seulement. En d’autres termes, les personnes sont nées à des dates différentes (D1 renvoie alors 0). Sinon, deux personnes au moins, peut-être plus, fêtent leur anniversaire à la même date (et D1 renvoie 1). D’où le test dans la cellule D1 :
=when(sum(res)=n,0,1)
On peut répéter l’expérience manuellement (Ctrl R) une vingtaine de fois pour se rendre compte que la probabilité qu’au moins deux personnes fêtent leur anniversaire le même jour est assez importante.
Une animation, avec capture de variable, peut aussi être proposée. Nous n’en donnerons que les grandes lignes car nous l’avons déjà rencontrée dans les exemples précédents :
on remplace dans D1 0 par 0+rand()/10^8 et 1 par 1+rand()/10^8 et l’on mémorise le résultat dans une variable r ;
on capture cette variable r dans la colonne F et on en prend la partie entière dans la colonne G ;
enfin on compte la fréquence de 1 dans la colonne G par
=((countif(simul,1))/(dim(simul)))*1.
Une simulation sur 1547 lancers donne alors une fréquence de 0,697.
Le calcul de cette probabilité est relativement classique. Nous nous placerons dans le cas général d’une assemblée de n personnes.
Comme on l’a vu, un résultat de cette expérience est une liste ordonnée de nombres entiers compris entre 1 et 365 : le ie nombre de cette liste donne le numéro du jour dans l’année de l’anniversaire de la ie personne. L’univers est l’ensemble de toutes ces listes ordonnées : il y en a 365n. On travaille avec la loi équirépartie sur cet univers : la probabilité d’une liste particulière est donc 1
365n .
Appelons A l’événement « dans l’assemblée de n personnes, au moins deux d’entre elles sont nées le même jour ».
Alors A est l’événement « les n personnes de l’assemblée sont toutes nées à des jours différents ».
Dénombrons donc les listes constituées de nombres deux à deux différents. De telles listes sont des arrangements de n éléments pris parmi 365. Il y en a :
365365 364 ... 365 n 1 An Si bien que
365365An n
p A .
La probabilité cherchée vaut donc
1 365 365Ann
p A .
Que donne cette formule sur notre TI-Nspire ?
Les résultats sont instructifs :
En particulier, pour n 23 personnes, on constate que la probabilité que deux d’entre elles soient nées le même jour est au moins égale à 1
2. Surprenant résultat, étant donné le petit nombre de personnes…
et c’est en cela que l’on parle de « paradoxe » des anniversaires.
Pour mieux visualiser le phénomène on peut représenter la probabilité en fonction du nombre de personnes à l’aide d’un nuage de points.
On observe la croissance très rapide de la probabilité pour les valeurs de n comprises entre 1 et 50 (pour n égal à 50, la probabilité vaut 0,97 c’est-à-dire une quasi-certitude).
Enfin, pour terminer, observons que :
1 365 1 365 364 ... 365 1 1 1 1 1 ... 1 1365 365 365 365 365 365
n n
A n n
f n
On sait que pour x suffisamment proche de 0 :
1 ex x.
Par conséquent, on peut alors remplacer dans f(n) 1
365k
par 365
k
e … en toute rigueur pour k assez petit. On obtient alors :
1 1 1 ... 1 1 1 3651 3652 ... 3651 1 36511 2 ... 1 1 2 365 1365 365
n n n
n n
f n e e e e e
Vérifions la qualité de cette approximation :
On constate que l’approximation proposée est excellente. Elle s’éloigne au maximum d’un peu plus d’un centième du résultat exact. Graphiquement, l’écart entre la fonction g et le nuage de points précédents est imperceptible.
On peut même se contenter de la fonction h définie par