Chapitre 17. Quelques exemples de simulations
4. Des probabilités géométriques
4.3 Le jeu de franc-carreau
C’est un exemple de probabilité géométrique que l’on aborde bien souvent la classe de troisième.
Voilà ce qu’en dit l’Encyclopédie de Diderot et d’Alembert juste après l’article Carreau
Franc-Carreau, sorte de jeu dont M. de Buffon a donné le calcul en 1733, avant que d'être de l'Académie des Sciences. Voici l'extrait qu'on trouve de son mémoire sur ce sujet, dans le volume de l'Académie pour cette année-là.
Dans une chambre carrelée de carreaux égaux, & supposés réguliers, on jette en l'air un louis ou un écu, & on demande combien il y a à parier que la pièce ne tombera que sur un seul carreau, ou franchement.
Nous nous proposons d’abord de réaliser une simulation de ce jeu.
Nous partageons au préalable l’écran en deux parties, un partie supérieure avec l’application Graphiques et une partie inférieure avec l’application Géométrie dans laquelle nous plaçons comme ci-dessus un curseur pour définir une variable n qui servira à relancer l’expérience (variation par pas de 1).
Dans l’application Graphiques, on s’appuie sur un repère orthonormé pour réaliser le quadrillage ci-dessus : en gros de –6 à 6 sur l’axe des abscisses et de –4 à 4 sur l’axe des ordonnées36. On trace les droites perpendiculaires aux axes et passant par les points des axes dont les coordonnées sont entières, points qu’il faut avoir au préalable placés sur chacun des axes. On allonge si nécessaire les droites pour qu’elles atteignent le bord de l’écran. On masque ensuite les extrémités des axes, on cache la graduation et tout ce qui est inutile, pour arriver simplement au dessin qui précède.
Il faut préparer maintenant le tracé du cercle, dont les paramètres vont être définis dans l’application Tableur & listes.
En A2, on saisit une variable a, qui sera l’abscisse du centre, décrivant la loi uniforme sur l’intervalle [–6 ; 6] :
=12.rand() – 6 +0.’n
36 Mais cela dépend de la résolution de l’écran. En tout état de cause, on place les droites sur l’ensemble de l’écran visible.
puis en B2 une variable b, qui sera l’ordonnée du centre, décrivant la loi uniforme sur l’intervalle [–4 ; 4] :
=8.rand() – 4 +0.’n
enfin en A5 une variable rayon, avec la valeur 0,25 pour commencer.
Le terme en apparence inutile 0.’n a pour rôle de relancer le calcul – et donc de modifier les coordonnées du centre du cercle – à chaque fois que l’on modifie la valeur de n, c’est-à-dire à chaque fois que l’on touche au curseur. En conséquence, le cercle va se déplacer dans le plan.
Dans l’écran Graphiques, on fait afficher la valeur de la variable rayon : menu Texte, on saisit rayon, puis avec Calculer, on en demande la valeur.
On trace ensuite un cercle de centre quelconque, en faisant apparaître ses coordonnées, et de rayon la valeur rayon que l’on vient de faire apparaître. On lie l’abscisse du centre à la variable a et son ordonnée à la variable b.
Comment savoir s’il coupe ou non le quadrillage ?
On s’appuie sur le fait que le quadrillage repose sur une graduation entière. Le cercle ne coupera pas le quadrillage lorsque chacune de ses deux coordonnées aura sa partie décimale37 comprise entre r et 1– r.
On peut ensuite démarre l’opération de capture :
on ajoute rand()/108 à la variable noncoupe pour la modifier à tous les coups et en permettre la capture…
… capture que l’on demande dans la colonne D…
… dans la colonne E, on prend la partie entière de la colonne qui précède pour rétablir les valeurs correctes et annuler l’effet du rand()/108
37 On utilise x – int(x) car fpart(x) renvoie des résultats qui ne conviennent pas lorsque x est négatif.
Laissons tourner quelque temps la simulation :
On obtient une fréquence proche de 0,25.
Le résultat peut être facilement justifié. Regardons ce qu’en dit la célèbre Encyclopédie.
Supposons que le carreau donné soit quarré; dans ce quarré inscrivons-en un autre qui en soit distant partout de la longueur du demi-diamètre de la pièce; il est évident que toutes les fois que le centre de la pièce tombera sur le petit quarré ou sur sa circonférence, la pièce tombera franchement; & qu'au contraire elle ne tombera pas franchement, si le centre de la pièce tombe hors du quarré inscrit: donc la probabilité que la pièce tombera franchement, est à la probabilité contraire, comme l'aire du petit quarré est à la différence de l'aire des deux quarrés.
Le dessin ci-dessous illustre les explications de l’Encyclopédie :
Le grand carré a pour côté 1. Le carré grisé est construit à une distance r des bords du grand carré. Il a donc une aire de
1 2r
2.À chaque fois que le centre est situé à l’intérieur du carré grisé, le cercle est franc-carreau, c’est-à-dire qu’il ne coupe pas les bords du grand carré (figure de droite) ; si le centre n’est pas à l’intérieur du grand carré, le cercle coupe les bords du grand carré.
La probabilité d’être franc-carreau est alors une probabilité géométrique.
Elle vaut :
2aire du carré grisé
aire du grand carré 1 2 r avec r compris entre 0 et 1 2. Avec r = 0,25, on trouve bien une probabilité égale à 0,25.
Quand r vaut 0, la probabilité est égale à 1 tandis que quand r vaut 1
2, la probabilité vaut 0, ce que l’on peut comprendre intuitivement. On peut, par exemple, déterminer le rayon du cercle pour que la probabilité soit égale à 1
2 :
La représentation graphique de la fonction p qui à x associe
1 2x
2 est donnée ci-après :La fonction est bien sûr décroissante quand le rayon augmente.
ANNEXE : dénombrer les surjections
Définition
Soient E et F deux ensembles respectivement de cardinaux n et p. On note S(n,p) le nombre de surjections de E dans F.
Si p est strictement supérieur à n, il est clair que S(n,p) = 0.
On suppose donc dans la suite que n est supérieur ou égal à p.
Se donner une surjection de E sur F équivaut :
d’abord se donner une partition de E en p sous-ensembles, formées des éléments qui vont avoir tous la même image par la surjection ;
enfin établir une bijection entre ces p sous-ensembles et F.
On en déduit la définition et les résultats qui suivent.
Définition
Soient E de cardinal n.
On appelle p-partition de E toute partition en p sous-ensembles non vides.
Théorème
Si on note Snp le nombre de p-partitions de E, on peut écrire : S n p
,
p S! np. DéfinitionLes nombres Snp sont appelés nombres de Stirling de deuxième espèce.
Il nous reste à dénombrer le nombre de p-partitions ensemble E à n éléments.
Relations de récurrence
Considérons un ensemble E de cardinal n + 1 :
1, 2,..., n 1
E x x x .
Cherchons le nombre de p-partitions de E.
On peut répartir ces p-partitions en deux catégories :
celles qui contiennent le singleton
xn1 comme sous-ensemble de cette partition : il y en aEn multipliant par p!, on peut écrire :
1
! np1 ! np ! np p S p S p pS
soit S n
1,p
p S n p
, 1
p S n p
,
p S n p
, 1
S n p,
.On a donc :
1,
, 1
,
S n p p S n p S n p pour n et p entiers naturels, n étant supérieur ou égal à p.
À l’aide de ces formules de récurrence, nous pouvons lister dans une feuille de calcul les premiers
p
Sn , nombres de Stirling de deuxième espèce :
et S n p
,
, nombre de surjections d’un ensemble à n éléments vers un ensemble à p éléments Calcul explicite de S(n,p)
Tentons de dénombrer directement le nombre de surjections de E dans F, en conservant les notations précédentes.
Posons F
y y1, 2,...,yp
.Soit NS l’ensemble de toutes les applications de E dans F qui ne sont pas des surjections, ensemble que nous allons chercher à dénombrer.
Nous poserons : dénombrement de la formule de Poincaré en probabilité :
Chacun des termes peut facilement être évalué :
38 Appelée parfois formule de Sylvester.