Chapitre 17. Quelques exemples de simulations
4. Des probabilités géométriques
4.2 Calcul approché de par une méthode de Monte-Carlo
Considérons un carré OABC de côté 1 construit comme ci-dessous sur un repère orthonormé
O i j; ,
.À l’intérieur de ce carré est tracé le quart de cercle de rayon 1 et de centre O. La construction peut être faite dans l’application Graphiques, car nous en aurons besoin pour l’illustration géométrique.
Tirons au hasard un point à l’intérieur du carré. De deux choses l’une : ou bien le point tombe à l’intérieur du disque ;
ou bien il tombe à l’extérieur.
On a affaire là à des probabilités continues. Comme le tir est au hasard (le tireur ne cherche pas à viser…), il s’agit d’une loi uniforme à l’intérieur du carré, et la probabilité que le tireur tombe à l’intérieur du disque est égale au rapport de l’aire du disque sur l’aire du carré, soit
4
.
Par conséquent, quand on répète l’expérience n fois, le rapport du nombre de points tombés à l’intérieur du disque sur le nombre total de points doit donner une valeur approchée de
4
.
C’est le principe de ce que l’on appelle les méthodes de Monte-Carlo de calcul approché d’aire30 : elles ne donnent pas des résultats d’une très grande précision, mais, compte tenu des moyens simples mis en œuvre, un ordre de grandeur tout à fait intéressant.
Premier problème à résoudre : comment peut-on tirer au sort un point dans le carré OABC ?
Il est clair que cela revient à choisir son abscisse, puis son ordonnée, toutes les deux comprises entre 0 et 1.
La fonction rand(), qui simule une loi uniforme sur [0 ; 1[ convient tout à fait : nous l’appliquerons une première fois pour déterminer l’abscisse a du point M, une deuxième pour son ordonnée b.
Deuxième problème : le point est-il dans le carré ? Il suffit de montrer que OM2 1, soit que a2 + b2 131.
De quoi déjà utiliser le tableur…
On peut remarquer la syntaxe de l’instruction de la colonne D : toutes les colonnes, y compris le test, s’ajustent à la valeur de n choisie au départ.
30 Nous verrons l’extension de cette méthode à l’estimation de l’intégrale d’une fonction positive.
31 Il importe peu de prendre le quart de disque ouvert ou fermé. Dans cette situation, les probabilités s’interprètent comme des quotients d’aires et l’on sait bien que l’aire d’une ligne est nulle. Autrement dit, la probabilité d’avoir un point exactement situé sur le quart de cercle est nulle.
Pas de commentaire particulier sur les deux colonnes B et C, sauf à rappeler que rand(1000) génère une liste de 1000 nombres aléatoires… peut-être beaucoup d’ailleurs pour la calculatrice.
Dans la colonne C, on teste pour savoir si le point qu’on a fabriqué est situé dans le quart de disque (1) ou non (0) : remarquer la syntaxe particulière qui permet d’éviter la recopie d’une instruction vers le bas.
Evidemment la fréquence de 1 donne une valeur approchée de 4
. D’où la formule saisie en E1 pour avoir une valeur approchée de : =4.sum(d[])/n.
On peut relancer plusieurs fois la simulation par CTRL R, éventuellement changer la valeur de n, pour constater que la valeur renvoyée de est tout à fait honorable.
Reste l’affichage graphique… qui n’est pas un problème avec la TI-Nspire…
On peut d’abord visualiser le nuage de points dont les abscisses sont x et les ordonnées y. Un curseur permet de piloter le nombre total de points n, mais tout est recalculé à chaque fois que la valeur de n change.
Pour avoir un nuage sur lequel on peut faire varier le nombre de points, on définit tout d’abord en H1 une variable k que l’on initialise à 10 par exemple. Dans les colonnes F et G, ce sont les k premières valeurs des listes x et y que nous allons recopier.
Nommons xx et yy ces deux listes : ce sont elles que nous représenterons en nuage de points.
On peut aussi piloter la variable k avec un curseur.
Enfin ajoutons le calcul de la valeur approchée de qui correspond à la valeur de k en cours : dans la cellule H6 du tableur, on calcule 4.sum(mid(r,1,k))/k après avoir appelé r la liste des résultats et on stocke le résultat dans une variable res.
Enfin,dans l’application Graphiques, on saisit avec l’outil texte p, dont on demande le calcul. On affiche à côté la valeur obtenue.
La valeur approchée obtenue de , sans être catastrophique, n’en est pas moins grossière.
On peut se poser la question de la qualité de cette approximation en fonction du nombre n d’essais.
Un retour aux probabilités s’impose.
Le choix du point n°i peut être interprété comme une loi de Bernoulli Xi, pour laquelle le succès, 1 quand le point tombe dans le disque, a une probabilité de
4
et l’échec, 0, 1 4
. L’espérance d’une
telle loi est 4
et son écart-type 1 0,41
4 4
.
Quand on répète l’expérience n fois, de façon indépendante, on sait d’après le théorème central limite, que la moyenne M des Xi suit approximativement une loi normale d’espérance
4
et d’écart-type n
.
Reprenons notre exemple où n vaut 1462. La valeur obtenue pour est 3,12, donc pour 4
Ce que l’on peut aussi formuler en disant que 4
, en supposant que l’on ne connaisse pas sa valeur et qu’on cherche à l’approcher, a 95 % de chances de se trouver dans un intervalle
La méthode n’est donc pas précise : elle le devient si n augmente... car l’écart-type diminue.
Calcul d’une intégrale par la méthode de Monte-Carlo.
Le même principe que celui que nous venons de voir peut être appliqué au calcul approché d’une intégrale34. Dans un souci de simplification, nous nous placerons dans le cas où l’on cherche à calculer l’intégrale35 I
01f t dt
où f est une fonction vérifiant pour tout x de [0 ; 1], 0 f(x) 1.On peut procéder de la même façon :
d’abord un tirage d’un point au hasard dans le carré [0 ; 1] [0 ; 1], un premier appel de rand() donnant l’abscisse de ce point, et un second appel donnant son ordonnée ;
ensuite on regarde si le point est sous la courbe représentive de f (la probabilité qu’il le soit est I) ou au dessus (probabilité 1 – I) ;
on répète l’expérience un grand nombre n de fois pour obtenir une valeur approchée de I...
Comme avec le disque, le choix du point n°i sous la courbe, ou pas, peut être interprété comme une loi de Bernoulli Xi, pour laquelle le succès, ou 1, (le point tombe sous la courbe) a une probabilité de I et l’échec, ou 0, 1 – I.
L’espérance d’une telle loi est I et son écart-type I I
1
.Si on réalise l’expérience n fois, on sait que la moyenne M des Xi a pour espérance I et pour écart-type
1
I I n
.
32 Donc à l’extérieur de l’intervalle dans 5% des cas...
33 Comme on connaît , on sait que c’est bien le cas...
34 Si pour une intégrale simple, ce n’est pas probant par rapport aux autres méthodes classiques, en revanche, pour une intégrale multiple, cela peut donner efficacement un ordre de grandeur d’un résultat dont on n’a bien souvent pas idée.
35 Qui donc existe...