Un cas d’´ecole : l’application logistique

X

_n+1

+δ ~X

_n+1

=f^~(X^~

_n

+δ ~X

_n

) (B.27)

En faisant un d´eveloppement en s´erie de Taylor au premier ordre, on obtient

~

X

_n+1

+δ ~X

_n+1

=f^~(X^~

_n

) + [J

_n

]δ ~X

_n

=

n

Y

m=0

[J

_m

]

!

δ ~X

_o

(B.28)

o`u les matrices carr´ees [J

_m

] sont les matrices jacobiennes de l’application f^~. En prenant

l’´evaluation de l’´ecart entre la position du syst`eme `a l’instant initial et celle `a l’instantt

_n+1

,

on arrive `a

|δ ~X

_n+1|²

=δ ~X

_o^t

. [J

_o

]

^t

[J

₁

]

^t

....[J

_n

]

^t

[J

_n

]....[J

₁

][J

_o

]

. ~X

_o

(B.29)

Dans ce genre de processus, on peut chercher `a obtenir le facteur d’´ecartement des trajectoires

(une ´evolution g´eom´etrique de raisonγ) d´efini tel que

γ = lim

n→∞ 2n

s

δX

_n+1

δX

_o

= lim

n→∞ 2n

s

δ ~X

t o

.([J

_o

]

t

[J

₁

]

t

....[J

_n

]

t

[J

_n

]....[J

₁

][J

_o

]).δ ~X

_o

δ ~X

t o

.δ ~X

_o

^(B.30)

Apr`es tous ces calculs, on arrive `a l’exposant de Lyapunov λ en posant λ = logγ. Dans la

pratique, cette limite est atteinte pour un nombren

_c

suffisamment grand et on obtient pour

toutn > n

_c

δX

_n

=δX

_o

exp(λn) (B.31)

Il y dilatation dans les directions sous-tendues parλ > 0 et contraction dans les directions

sous-tendues parλ <0. Pour illustrer ce ph´enom`ene, je vais pr´esenter un exemple tr`es simple

de mapping.

B.3.3 Un cas d’´ecole : l’application logistique

L’application logistique est une application qui, sous certaines conditions, peut devenir

chaotique. Son expression est

y

_n+1

=ry

_n

(1−y

_n

) (B.32)

Pour calculer son exposant de Lyapunov, il nous faut calculer son jacobien qui se r´eduit

`

a un scalaire dans notre cas (c’est simplement la d´eriv´ee de l’application). On obtient tr`es

facilement que [J

_n

]≡f

_n⁰

=r(1−y

_n

).

En ´ecrivant un petit programme qui calcule la limite d´efinie par la relation (B.30) en

faisant varier le param`etrer, on obtient les diff´erentes valeurs de l’exposant de Lyapunov en

fonction der (figure B.1).

180 B.3 Caract´erisation du chaos

Fig. B.1– Valeur de l’exposant de Lyapunov de l’application logistique obtenu pourn= 104

et avec un ´ecart initialyo= 0.1. Pour des valeursr >3.52, l’exposant de Lyapunov est positif, ce qui indique des trajectoires divergentes exponentielles.

Diffusion dans une faible turbulence

magn´etique

Sommaire

B.1 Fonction de distribution . . . 173 B.2 Evolution de la fonction de distribution . . . 175^´ B.3 Caract´erisation du chaos . . . 178

Dans cette annexe, je vais pr´esenter la seule th´eorie qui jusque l`a ´etait capable de

don-ner une estimation des coefficients de transports spatial et angulaire. Cette application a

´et´e initi´ee par Jokipii (1966, 1968); Hasselmann & Wibberenz (1970) au cours des ann´ees

soixante dans le cadre de la th´eorie quasi-lin´eaire . Dans ce cadre d’´etude, deux hypoth`eses

fondamentales sont faites :

– La turbulence est faible (η 1), on peut donc approximer `a l’ordre le plus bas que

la trajectoire, dans le plan perpendiculaire au champ moyen, est un cercle de rayon

r

L. Le temps de corr´elation de la force est suppos´e tr`es court par rapport au temps de

diffusion ;

– La seconde hypoth`ese porte sur l’amplitude des sauts angulaires provoqu´es par la

dif-fusion. Ces sauts sont suppos´es tr`es faibles. Cette hypoth`ese permet d’appliquer une

´equation de Fokker-Planck au probl`eme.

Pour plus de simplicit´e dans les calculs pr´esent´es ici, supposons un champ magn´etique statique

et homog`ene (mais le principe reste valide pour un champ magn´etique variable), parall`ele `a

une directionz et sujet `a des perturbations d’Alfv´en dont on pose le vecteur d’onde comme

parall`ele au champ. L’hypoth`ese de tr`es faible turbulence permet de n´egliger les effets de la

composante suivant z du champ turbulent par rapport `a B

_o

. Le mod`ele ainsi consid´er´e sera

unidimensionnel. Dans ce cadre, la diffusion spatiale parall`element au champ `a grande ´echelle

est engendr´ee par les composantes transverses au champ moyen du champ turbulent.

Ces perturbations peuvent ˆetre d´ecompos´ees en une somme de Fourier de perturbations

circulaires droites et gauches (ε

_c

= 1 ou −1) affect´ees de phases initiales al´eatoires et ne

d´ependant que de la position z, car on ne consid`ere que les composantes transverses du

182 C.1 Diffusion angulaire

champ turbulent mais pas de propagation oblique).

ε

_p

δB^~ =~e

_x

Z

∧

B

k

cos(kz+ϕ

_k

)^dk

2π ^+~e

^y

Z

∧

B

k

sin(kz+ϕ

_k

)^dk

2π ^(C.1)

o`u les vecteurs ~e

x

et~e

y

sont des vecteurs unitaires transverses au champ et perpendiculaires

entre eux. La coordonn´eezd’une particule en tir balistique peut ˆetre approxim´ee parz=vµt.

L’estimation de z est justifi´ee par le faible niveau de turbulence o`u l’on suppose qu’`a l’ordre

le plus bas, l’angle α (µ = cosα) entre la vitesse et le champ magn´etique moyen n’est que

tr`es l´eg`erement modifi´e. En d´efinissant la fr´equence de diffusion comme ν

_α

=<∆α

2

> /∆t,

on peut ´ecrire, dans cette hypoth`ese

<∆µ

²

>

∆t '(1−µ

²

)ν

_α

(C.2)

o`u la relation ∆µµest impos´ee par les hypoth`eses de la th´eorie quasi-lin´eaire.

C.1 Diffusion angulaire

La force appliqu´ee le long du champ magn´etique `a une particule se d´epla¸cant `a une vitesse

~vpeut s’´ecrire

δF

_k

=Zq(~v×B^~).~e

_z

(C.3)

ce qui donne, en n´egligeant les perturbations magn´etiques parall`eles au champ moyen, une

vitesse dans le plan transverse (ε

_q

est le signe de la charge Zqde la particule)

~v

_⊥

=v

_⊥

(~e

_x

cos(ω

_g

t+ψ) +ε

_q

~e

_y

sin(ω

_g

t+ψ)) (C.4)

La force s’exer¸cant sur une particule le long de z sera donc (apr`es quelques manipulations

alg´ebriques)

δF

_k

=Zqv

_⊥

Z

∧

B

k

cos(Ω

_k

t+ϕ

_k

−ε

_c

ε

_q

ψ)^dk

2π ^(C.5)

o`u la pulsation Ω

_k

= kvµ −ε

c

ε

q

ω

g

. Si on fait une moyenne temporelle de cette force, la

pr´esence du cosinus annulera automatiquement la valeur moyenne de la force, mˆeme si la

force rencontre des r´esonances gyro-synchrotron (d´efinies par Ω

_k

= 0), car les phases du

champ magn´etique sont r´eparties uniform´ement sur un intervalle de 2π. On peut donc

auto-matiquement en d´eduire que < ∆p

_z

>∝ R

δF

_k

dt = 0 `a cet ordre. A l’oppos´e, le coefficient

de diffusion de la quantit´e de mouvement selon z ne sera pas nul. Pour voir cela, ´ecrivons sa

d´efinition

Γ

_k

= ^<∆p

2 z

>

2∆t ⁼

1

2∆t ^<

Z

to+∆t to

δF

_k

(t

⁰

)dt

⁰

Z

to+∆t to

δF

_k

(t

⁰⁰

)dt

⁰⁰

> (C.6)

ce qui par un changement de variable peut aussi s’´ecrire

Γ

_k

=

Z

∆t

0

En utilisant la relation (C.5) (qui est la transform´ee de Fourier de la force parall`ele par rapport

`

a la pulsation Ω

_k

) et les propri´et´es du produit de convolution par rapport `a la transform´ee

de Fourier, on obtient alors simplement que

Γ

_k

= ^Z

2

e

2

v

2 ⊥

2

Z

∆t −∆t

Z

|B

^∧ 2 k

|cos(Ω

_k

τ)^dk

2π^{dτ (C.8)}

Le temps ∆t´etant tr`es grand par rapport au temps de corr´elation de la force, on peut ´etendre

les bornes de l’int´egrale temporelle jusqu’`a l’infini, sachant que

1

2

Z

∞ −∞

cos(Ω

_k

τ)dτ =πδ(Ω

_k

) (C.9)

on obtient l’expression de Γ

_k

Γ

_k

=Z

²

e

²

v

_⊥²

Z

S(k)πδ(Ω

_k

)^dk

2π ^=Z

2

e

²

v

²

(1−µ

²

)

Z

S(k)πδ(Ω

_k

)^dk

2π ^(C.10)

La valeur de ce coefficient de diffusion peut ˆetre obtenue beaucoup plus rapidement dans le

contexte de la th´eorie quasi-lin´eaire. En sachant que l’´energie de la particule est conserv´ee,

on a ∆(p

_z

)

²

=p

²

(∆µ)

²

'p

²

(1−µ

²

)∆α

²

. Ce coefficient de diffusion s’´ecrira alors

Γ

_k

'p

²

(1−µ

²

)^ν

^α

2 ^(C.11)

ce qui permet d’avoir une expression de la fr´equence de diffusion angulaire ν

_α

dans le cadre

d’une turbulence de Kolmogorov

ν

α

ω

_g

'2π(β−1)η|µ|

^β−1

ρ

^β−1

1 (C.12)

o`u j’ai pos´e la vitesse des particules comme ´etant celle de la lumi`ere dans le cas des rayons

cosmiques et o j’ai aussi n´eglig´e la contribution de k

_M

dans l’expression de S

_o

(´equation

9.7). L’hypoth`ese de tr`es faible turbulence permet `a la particule de conserver la m´emoire de

l’angleµinitial. Il parat ´evident que, outre les hypothses faites sur le niveau de turbulence et

l’amplitude des sauts angulaires ∆µ, une autre hypoth`ese est n´ecessaire pour la validit´e des

r´esultats pr´esent´es pr´ec´edemment : l’angle initial de la particule doit diff´erer suffisamment de

π/2. Il est important de noter que la relation (C.12) n’est valable que si la rigidit´e r´eduiteρ

de la particule est comprise entre deux valeurs correspondant aux bornes du domaine inertiel

de la turbulence. En effet, le spectre de la turbulence dans notre cadre d’´etude est tel que

(

S(k) =S

_o

k

^−β

pour 2π/L

_M

< k <2π/l

S(k) = 0 pour k <2π/L

_M

ouk >2π/l

Appliqu´ee `a la relation (C.10), cette contrainte nous indique que la fr´equence angulaire est

nulle en dehors du domaine de r´esonance. Ceci peut aussi se traduire en termes de rayons de

Larmor de la particule commel≤r

_L

≤L

_M

.

Dans le document Du lancement de jets MHD aux rayons cosmiques: La fonction de la turbulence magnetique (Page 192-197)