Mesure des coefficients de diffusion

Le programme informatique que j’ai utilis´e ici int`egre la trajectoire d’une particule lanc´ee

`

a une position al´eatoirement tir´ee dans la grille tri-dimensionnelle, en utilisant un sch´ema

d’int´egration implicite en temps de type Burlisch-Stoer. L’angle initial est impos´e

arbitrai-rement et il est le mˆeme pour toutes les particules. Les particules sont des particules tests,

ind´ependantes les unes des autres. Ainsi les param`etres libres que l’on fixe `a chaque lanc de

particules sont :

– Le niveau de turbulenceη

– Le rayon de Larmor r

– L’angle initial µ

– La dynamique de la turbulence, c’est `a dire le nombre de cellules pavant la bote (il est

en fait plus ou moins contraint par la puissance informatique).

Pour un jeu de valeur des param`etres ci-dessus, on a les trajectoires des diverses particules

lanc´ees (30 `a chaque rayon de Larmor). Pour pouvoir calculer les coefficients de diffusion

spatiale, il faut utiliser la d´efinition de ces derniers. En effet, ces coefficients sont la moyenne

des ´ecarts entre deux positions rep´er´ees par des temps s´epar´es d’un intervalle ∆t. Pour un

intervalle donn´e, le principe consiste donc `a additionner un grand nombre de ces intervalles

138 9.3 Diffusion dans un champ magn´etique chaotique

Fig. 9.2– Courbes de coefficients de diffusion en fonction de l’intervalle de temps sur lequel ils sont calcul´es, pour divers niveaux de turbulence (le temps est normalis´e en p´eriode de LarmortL=ω−1

g ). La valeur du plateau donne la valeur du coefficient de diffusion car le plateau repr´esente un r´egime de diffusion o`u le coefficient associ´e est ind´ependant du temps ∆t sur lequel il est mesur´e.

(chacun calcul´e `a des positions diff´erentes sur la trajectoire) et `a les diviser par le nombre

d’intervalles. La moyenne ´etant r´ealis´ee, il ne reste plus qu’`a diviser cette moyenne par

l’in-tervalle de temps pour obtenir D

et D

. Le r´egime n’est pas atteint pour des intervalles

∆ttrop petits (condition d’application de Fokker-Planck). En repr´esentant ces coefficients en

fonction de l’intervalle de temps ∆t, le r´egime de diffusion (la valeur “r´eelle” du coefficient

de diffusion) sera obtenu ds que le coefficient sera ind´ependant du temps ∆t.

Sur la figure (9.2), j’ai repr´esent´e ces coefficients pour une rigidit´e donn´ee pour divers

niveaux de turbulence. Le plateau obtenu donne la valeur de ce coefficient dans le r´egime

de diffusion. En regardant cette figure, on remarque tout de suite que la diffusion parall`ele

au champ est syst´ematiquement plus forte que dans la direction transverse. On voit ici une

traduction de l’action du champ magn´etique `a grande ´echelle qui s’estompe quand η tend

vers l’unit´e (η = 1, plus de champ B

). Quand η est ´egal `a l’unit´e (cas non repr´esent´e ici),

les coefficients de diffusion D

et D

calcul´es dans mes simulations deviennent ´egaux. Une

autre information nous provient de la figure (9.2) : plus le niveau de chaos est faible, plus le

temps n´ecessaire pour atteindre le plateau de diffusion est long. Le temps de corr´elation du

Fig. 9.3 – Fonctions de corr´elation du cosinus de l’angle d’attaque pour diverses rigidit´es r´eduites (ρ= 0.072,0.118,0.193,0.316,0.518,0.848). Le temps est normalis´e en p´eriode de LarmorTg= 2πωg. Plus la particule a un grand rayon de Larmor et plus le temps de d´ecorr´elationτsest petit.

cosinus de l’angle d’attaque ´etant plus long quand le niveau de chaos baisse, ceci est logique

connaissant le lien reliant D

et ν

temps d’int´egration pour obtenir les divers coefficients de diffusion du syst`eme. En effet, les

niveaux de tr`es bas chaos n´ecessitent des temps d’int´egration qu’il ne m’a pas ´et´e possible

d’obtenir. A titre d’exemple, le temps n´ecessaire pour obtenir la courbe associ´ee `a η = 0.1

sur la figure (9.2) et pour un rayon de Larmor est de plusieurs heures.

La mesure de la fr´equence angulaire d´efinie comme ´etant l’inverse du temps de corr´elation

τ

de l’angle d’attaque, peut s’obtenir de plusieurs fa¸cons. La premi`ere est tout simplement

de consid´erer la valeur de D

et en utilisant le relation (C.20) d’obtenir ν

. La deuxi`eme

m´ethode consiste `a calculer la fonction de corr´elation de l’angle d’attaque puis `a l’int´egrer

de 0 `a ∆t. En repr´esentant cette int´egrale en fonction de ∆t, on observe alors un plateau

qui nous donne la valeur de τ

et donc ν

plus complexe `a r´ealiser. Cette approche consiste `a consid´erer une population concentr´ee de

particules (et dont on connat alors la fonction de distribution) et de les faire ´evoluer dans

la bote. En ´etudiant l’´evolution de cette fonction de distribution et en utilisant la relation

(C.13), on peut remonter `a la fr´equence de diffusion angulaire (voir annexe A de Giacalone

140 9.3 Diffusion dans un champ magn´etique chaotique

& Jokipii (1999)). J’ai utilis´e la deuxi`eme m´ethode, `a la fois parce que c’est la plus simple et

la plus stable. Toutefois, pour valider ces calculs, on peut toujours comparer les valeurs de la

fr´equence obtenus par cette m´ethode avec les valeurs donn´ees par les coefficients de diffusion

D

, en supposant que ce dernier varie comme v

/3ν

.

Je concluerai ce paragraphe en disant un mot sur le calcul de la fonction de corr´elation du

cosinus de l’angle d’attaque de chaque particule. Cet angle est connu le long de la trajectoire

de chaque particule, on peut donc appliquer la mˆeme m´ethode de moyennisation que celle de

D

etD

`a la diff´erence qu’il faut consid´erer le produit de l’angle d’attaque pris `a un moment

t et ce mˆeme angle d’attaque pris `a un temps t+τ. La moyennisation consiste `a prendre un

grand nombre de valeurs de µ`a des tempstdiff´erents et `a les multiplier `a chaque fois par les

valeurs de µpris au tempst+τ. La fonction de corr´elation deτ ne d´ependra ainsi que de τ.

J’ai repr´esent´e sur la figure (9.3) des fonctions de corr´elation du cosinus de l’angle d’attaque

pour diff´erentes rigidit´es r´eduites `a un niveau de turbulence donn´e. La figure montre que le

temps caract´eristique de d´ecorr´elation τ

d´ecrot quand la rigidit´e crot. Ce r´esultat semble

nous indiquer que la diffusion parall`ele au champ crot avec la rigidit´e, d’apr`es sa d´efinition

(C.20).

Les incertitudes sur les r´esultats ne seront report´ees sur les figures pr´esent´ees ici que pour

des raisons de lisibilit´e. L’ordre de grandeur de ces incertitudes varie selon le domaine de

rayons de Larmor rencontr´es. En effet, pourρ > ρ

, les valeurs num´eriques trouv´ees le sont

assez proprement avec des incertitudes ne d´epassant pas 10%. Par contre, pour ρ < ρ

le r´egime de diffusion peine `a se mettre en place, `a cause d’un manque de r´esonances. Les

grandeurs trouv´ees sont alors plus difficiles voire impossibles `a estimer quand le r´egime devient

subdiffusif. Dans cet intervalle de ρ, les incertitudes sont diff´erentes entre chaque point et

peuvent aller jusqu’`a ∼50%.