Type Icône

25% 30% 35% 87:10 87+10 87-10 87x10 8x10 9x10 P ré se n ce d es 6 f ro m es ( % ) Non-Réu Réu CM2-2003 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 87:10 87+10 87-10 87x10 8x10 9x10 P ré se n ce d es 6 f ro m es ( % ) Non-Réu Réu

Graphique 19 : Évolution par année de la présence des 6 formes les plus fréquentes du type

« Relation numérique »

Bien que déjà présente dès le CE2, ce n’est qu’au CM2 que la trace 87 :10 est accompagnée de réussite. Cela peut être interprété comme l’indice d’un niveau de compétence plus élevé en CM2 fondé sur une meilleure maîtrise de la technique opératoire de la division.

Si nous considérons le groupe des élèves ayant eu recours aux formes : 87+10, 87x10, 87-10, il ressort que, parmi celui-ci, c’est la non-réussite qui prédomine.

En revanche, nous constatons que la réussite qui accompagne les traces (8x10) et (9x10) augmente du CE1 au CM2. Les élèves semblent avoir procédé par une approche du résultat par encadrement, approximation sans entrer explicitement dans la technique opératoire de la division. Cependant, le recours à ces encadrements par 8x10 et 9x10 reste peu fréquent.

Les opérations les plus fréquemment retenues sont celles qui correspondent aux opérations étudiées au cours de l’année de passation. L’échec massif en CE1 et en CE2 peut s’expliquer par la prégnance des algorithmes d’addition et de soustraction qui sont les opérations étudiées lors de ces deux années de scolarité. Les élèves modélisent d’abord ce qu’ils viennent d’étudier en étendant de façon abusive le champ d’application.

2.2.4.4.6. Type Icône

2.2.4.4.6.1. Inventaire des traces élémentaires de type Icône

Le tableau 45 fournit la répartition des productions de la catégorie Icône en tant que trace élémentaire.

Année Enseignant

n° ^{Effectif ayant recours à} la production d'icônes ^{Effectif des} élèves de la cohorte

Taux d'élèves ayant recours à la production d'icônes 4 11 17 64,71 5 1 12 8,33 7 1 12 8,33 8 2 15 13,33 CE1-2000 9 1 4 25,00

Année Enseignant

n° ^{Effectif ayant recours à} la production d'icônes ^{Effectif des} élèves de la cohorte

Taux d'élèves ayant recours à la production d'icônes 7 1 3 33,33 10 1 9 11,11 13 2 5 40,00 CE2-2001 19 1 14 7,14 18 2 13 15,38 22 2 21 9,52 CM1-2002 25 1 15 6,67 CM2-2003 ^{31 2 18 11,11}

Tableau 45 : Répartition des effectifs des productions comportant des traces élémentaires de type

« Icône » par classe et par année

Seuls les élèves de la cohorte ont été comptabilisés ici.

La production importante de la classe de l’enseignant n°4 contraste avec celle des autres classes. Sur un effectif de 17 élèves, 11 élèves de cette classe de l’enseignant n°4 ont produit une trace élémentaire de type icône ce qui représente plus de la moitié de l’effectif de la classe.

2.2.4.4.6.2. Production d’icônes et réussite dans la classe de l’enseignant n°4

Le tableau 46 montre la relation entre la production d’icônes et la réussite au sein de la classe de l’enseignant n°4.

Individu

n° ^{Type de} trace n° réponse n° ^{Type de Performance Libellé de la réponse}

005 7a 1 R+ 019 23a 1 R+ 045 7a 1 R+ 071 86a 1 R+ 122 111a 1 R+ 150 7a 1 R+

9 carnets ou 9 carnets de 10 timbres ou 9 carnets de timbres

027 38a 7 R-a

029 7a 7 R-a ^{9 paquets ou 9 paquets de 10 timbres ou 9} paquets de timbres ou 9 paquets de 10

025 33b 21 E 97 carnets ou 97 carnets de 10 timbres ou

97 carnets de timbres

041 7a 23 E 90 carnets de timbres ou 90 carnets ou 90

carnets de 10

148 129c 25 E 77 carnets ou 77 carnets de timbres ou 77

carnets de 10 timbres

Tableau 46 : Icônes et degré de performance

On notera que 8 élèves sur 11 ont réussi à résoudre le problème et pourtant ils ne sont qu’en CE1.

Trace n°007 a Trace n°023 a Trace n°086 a Trace n°111 a Trace n°038 a Trace n°033 a b Trace n°129 c b a

Figure 58 : Production des icônes dans la classe de l’enseignant n°4 (CE1)

On peut constater un lien dans cette classe de CE1 entre la production d’icônes et le degré de réussite. Cependant, on ne peut pas pour autant associer la réussite à la production d’icônes. Les élèves ont-ils réussi le problème parce qu’ils ont produit des icônes ou bien parce qu’ils avaient déjà activé mentalement une procédure avant la production de ces icônes ?

2.2.4.5 Discussion

Les données construites à propos de la résolution d’un problème numérique à partir d’une cohorte de 105 élèves observés sur 4 années du CE1 au CM2 ont été analysées finement en prenant en compte les différents degrés de performance (allant de la réussite forte à l’échec par erreur et l’échec par non-réponse), les traces écrites (brouillons) et la formulation de la réponse à la question du problème (solution).

L’analyse minutieuse de ces données révèle que la présence des traces écrites intermédiaires ne dépend pas significativement du niveau de scolarité.

Quand ces traces écrites intermédiaires apparaissent, on pourrait penser qu’elles étayent la résolution du problème et favorisent la réussite. Ce n’est pas ce qui est ressorti de notre analyse où les tableaux de contingence croisant la variable binaire Traces écrites intermédiaires (présence, absence) et la variable binaire Performance (Réussite, Non-réussite), font ressortir un lien significatif en CE2, CM1 et CM2 avec une attirance entre les

modalités Présence et Non-réussite et une répulsion entre les modalités Présence et Réussite et vice-versa.

Faut-il en déduire que ces traces écrites intermédiaires ne sont pas adaptées à la résolution du problème demandé ?

L’analyse du contenu de ces traces écrites intermédiaires révèle une présence majoritaire de traces du type Opérations (75,90% en CE1, 85,88% en CE2, 82,47% en CM1 et 86,87% en CM2) qui sont en grande partie celles dont la technique opératoire a été étudiée lors de l’année de passation. Ainsi, la production d’additions est majoritaire au CE1 (55,56% vs 17,81% pour le CE2 à la deuxième place), la production de soustractions est également majoritaire au CE1 avec 23,81% suivi de près par le taux du CE2 avec 15,07% en second rang, la production de multiplications est majoritaire au CM1 avec 51,25% devant le CM2 (46,51%) et enfin la production de divisions est majoritaire au CM2 avec 31,40% devant le CM1 en second rang avec 26,25%.

Nous pouvons interpréter ce phénomène dans le cadre du contrat didactique (Brousseau, 1988a). Les élèves mobilisent avant tout ce qui est enseigné dans le moment au niveau de la classe. Face à cette tâche de résolution de problèmes, pour laquelle le contexte scolaire induit l’idée qu’il va falloir utiliser des opérations, les élèves mobilisent en priorité celles qu’ils connaissent sans prendre la distance critique nécessaire pour juger de l’adéquation du modèle mathématique mis en œuvre pour résoudre le problème. Quand un élève recourt à 87 + 10 = 97, il se met dans la situation décrite par l’âge du capitaine. Le résultat de l’opération est exact mais le modèle additif est inadapté. Il y a comme un obstacle posé par une extension abusive de l’espace de validité du modèle additif au sens de Bachelard. La connaissance de l’addition empêche de penser une autre façon d’aborder le problème et de le modéliser pour le résoudre.

L’étude des productions des élèves ayant recouru à des représentations iconiques a mis en évidence un phénomène intéressant. C’est en CE1 que la présence de traces élémentaires de type Icône est la plus fréquente. Mais une analyse plus fine a révélé que ce recours était tout particulièrement observable dans une classe (classe de l’enseignante n°4). Nous observons que, dans cette classe, sur les 11 élèves qui ont eu recours à une représentation iconique, 8 ont réussi à résoudre le problème. À ce niveau de scolarité, nous serions tentée d’y voir l’efficacité d’un mode de représentation pour le traitement de l’information utile à la résolution du problème.

Mais il y a peut-être une interprétation excessive car la réussite de résolution de problème ne peut être réduite au seul recours à la représentation iconique. Ainsi, nous observons que, dans chacune des traces écrites intermédiaires de ces élèves, apparaît le tracé des dizaines représentées par des blocs, certains renfermant l’écriture 10, d’autres renfermant un ensemble de 10 jetons dessinés.

La fréquence et l’homogénéité des représentations iconiques dans cette classe suggèrent un effet d’enseignement. Il faudrait compléter par un entretien avec l’enseignant. Le recours à

des représentations iconiques en CE1 peut aussi se comprendre par le fait que les élèves disposent de moins de représentations symboliques en usage dans le champ des mathématiques.