Effet des opérations

De nombreux travaux (cités in Brousseau, 2004) montrent l’effet de la taille des nombres présents dans l’énoncé sur les performances à résoudre le problème.

Les élèves sont capables de résoudre des problèmes comportant des nombres de petites tailles avant d’avoir reçu un enseignement sur la technique opératoire en jeu. Pour ce faire, ils recourent par exemple à l’utilisation de leurs doigts ou d’autre matériel ou tracent une représentation donnée.

Ainsi, la taille des nombres présents dans l’énoncé constitue une variable didactique pour la résolution de problèmes.

Fagnant (2005) montre elle aussi que la maîtrise des techniques opératoires ne constitue nullement un préalable à la capacité à résoudre des problèmes et que c’est au contraire par une confrontation précoce à la résolution de problème que les élèves donneront du sens au symbolisme mathématique. Elle déplore un enseignement rigide qui contraint les élèves à

privilégier d’emblée l’utilisation de calculs standards92 qui concourt au développement de stratégies qu’elle qualifie de superficielles, tandis que les élèves manifestent une forte propension à utiliser des calculs qui prennent plutôt en compte les relations93 décrites dans les situations. L’enseignement dispensé devrait au contraire articuler les stratégies informelles des élèves et l’utilisation de calculs relationnels.

4.4. Conclusion du chapitre

Dans les définitions que les psychologues donnent du concept de problème, on retrouve le point de vue, de nature épistémologique, développé par Bachelard (1938) à propos de la connaissance. Un problème renvoie à la fois à l’idée d’absence initiale de solution et à la construction de cette solution par le sujet.

Trois principales théories de l’apprentissage, présentées dans ce chapitre, permettent de mieux comprendre les processus cognitifs mis en œuvre dans la résolution de problèmes. Elles sont complétées par l’approche développée par Duval (1995) sur les concepts de registres de représentation.

Dès lors qu’un sujet doit résoudre un problème, plusieurs cas peuvent se présenter : • Si le sujet a déjà rencontré cette catégorie de problème, il peut alors rappeler en mémoire de travail le schéma du problème, c’est-à-dire un ensemble de connaissances abstraites stockées en mémoire à long terme sous la forme de bloc structuré et correspondant aux traces laissées en mémoire par les situations rencontrées précédemment. Ce bloc structuré, appelé schéma, comporterait des places vides que le sujet instancierait avec les données fournies dans l’énoncé du problème qu’il a à résoudre. Le problème serait alors résolu. Ainsi, le schéma s’enrichirait au fur et à mesure que le sujet rencontrerait différentes situations et dégagerait des invariants spécifiques à chaque catégorie de problème. Cette théorie du schéma a notamment été développée par Kintsch et Greeno (1985). Elle permettrait d’expliquer l’effet facilitateur du placement de la question au début de l’énoncé (Fayol et Abdi, 1986 ; Devidal, 1996 ; Devidal, Fayol et Barrouillet, 1997).

• Si le sujet n’a pas rencontré ce type de problème, ou du moins pas un nombre suffisant de fois pour avoir un schéma en mémoire à long terme, alors il doit s’engager dans une procédure pas à pas et construire dans sa mémoire de travail une représentation mentale de la situation. Cette représentation analogique de la situation serait stockée temporairement en mémoire de travail. La théorie basée sur la construction d’un modèle mental a été développée par Johnson-Laird (1993) et porte le nom de théorie des modèles mentaux. Des travaux de recherches liées à la résolution de problèmes se réfèrent à cette théorie des modèles mentaux (Thévenot, 2000 ; Novotnà, 2002)

92 Par exemple : du type a-b = c.

Vergnaud (1990) base sa théorie de l’apprentissage sur la conceptualisation du réel qu’il considère comme centrale dans la résolution de problème. Conceptualiser, c’est, selon Vergnaud, identifier les objets du monde, leurs propriétés et leurs relations. La formation d’un concept nécessite que le sujet soit confronté à une diversité de situations ou de formes langagières. Vergnaud nomme champs conceptuels les regroupements de situations, de concepts et de représentations symboliques. Il considère deux grands ensembles : le champ conceptuel des structures additives et le champ conceptuel des structures multiplicatives. En effet, selon Vergnaud un problème ne peut pas se réduire à l’opération mise en jeu lors de sa résolution. Vergnaud souligne l’importance de l’activité de l’enseignant qu’il considère d’ailleurs comme un expert irremplaçable. Il établit une classification purement conceptuelle.

Duval (1995) base son approche théorique sur le rôle essentiel qu’il attribue aux changements de registres de représentation, dans la construction des concepts mathématiques. Il considère en effet que la particularité des mathématiques réside à la fois dans l’inaccessibilité des objets et dans la diversité des représentations sémiotiques. L’essentiel de l’activité mathématique consiste, selon Duval, non seulement à recourir à des registres de représentation différents, mais aussi à mobiliser simultanément au moins deux registres de représentation. Il distingue deux types de transformations : le traitement qui s’effectue au sein d’un même registre et la conversion qui consiste à changer de registre tout en conservant les mêmes objets. Les réussites sont très souvent des réussites monoregistres. Dès qu’un changement de registre est nécessaire ou que la mobilisation de deux registres en même temps doit s’opérer, le nombre d’échecs ou de blocages des élèves augmente et ce, à tous les niveaux d’enseignement.

De nombreuses études relevant des psychologies de l’apprentissage ou de l’éducation traitent de l’impact des caractéristiques des problèmes sur les performances des élèves à résoudre ces problèmes. En effet, avant les années 1980, le calcul constituait quasiment l’unique facteur mis en avant pour expliquer les difficultés inhérentes à la résolution du problème. Depuis, de nombreux travaux ont porté sur l’impact des caractéristiques des problèmes sur les performances des élèves placés en situation de résoudre ces problèmes. En d’autres termes, les obstacles sont recherchés ailleurs que dans les calculs.

En bref, les recherches portent sur deux grands types de caractéristiques : • les caractéristiques conceptuelles et sémantiques :

On s’intéresse alors aux relations en jeu. De nombreuses recherches portent sur les problèmes à structure additive et ont donné lieu à des classifications. Celle de Riley, Greeno et Heller (1983) montre que les niveaux de difficulté des problèmes impliquant la même opération arithmétique varient : (i) en fonction de l’appartenance du problème à telle ou telle catégorie sémantique ; (ii) en fonction de la nature de l’inconnue (Fayol, 1986).

Les recherches portant sur les problèmes à structure multiplicative sont moins nombreuses que les précédentes. Levain (1992) a montré que le taux de réussite à des problèmes du type 4^ème proportionnelle était inférieur au taux de réussite global de l’ensemble des problèmes multiplicatifs qu’il proposait. Barrouillet et Camos (2002) ont montré que des

problèmes mettant en jeu des quantités et des groupes égaux étaient plus faciles à résoudre que ceux impliquant des produits cartésiens.

• les caractéristiques rédactionnelles :

Des recherches ont montré l’effet des facteurs suivants sur les performances à résoudre des problèmes :

la forme stéréotypée et épurée des énoncés (Nesher, 1980)

l’organisation textuelle des énoncés (Nesher, Greeno et Riley, 1982 ; Gerovski, 1996)

la simplification et l’expansion des énoncés (Nesher, 1980)

la part d’implicite dans les énoncés (Nesher, 1980 ; De Corte et Verschaffel, 1985) l’effet de l’ordre d’énonciation (Coquin-Viennot, 2000)

le lexique : notamment les termes relationnels présents dans l’énoncé (Hudson, 1983 ; Davis-Dorsey, Rosse & Morrison, 1991.

Arrivée au terme de ces investigations, nous allons maintenant présenter le cadre théorique que nous retenons pour notre recherche.