!P 410;3: (3-6) Puisque ce rapport est bien plus petit que l'unite, le parametre de relaxation n'induit sur"[i] un e et signi catif qu'aux frequences pour lesquelles cette permittiviteest tres superieure a l'unite,c'est-a-dire lorsque les miroirs metalliquesse comportent quasiment commedes re ecteurs parfaits. L'in uence de la relaxation sera donc faible sur la valeur de la force de Casimir, comme on le verra par la suite.
A.3 Les transitions inter-bandes
Le modele de Drude ne permet pas d'expliquer le comportement optique d'un metal reel sur tout le spectre de frequence. Pour les frequences optiques, typiquement avec une energie de l'ordre de quelques eV, la lumiere excite des transitions inter-bandes et la seule contribution des electrons de conduction n'est plus susante pour decrire les proprietes optiques du milieu [123]. Il existe bien s^ur des approches theoriques qui
A Reponse optique des metaux 69
permettent de de nir des permittivites metalliques plus realistes [124]. Nous ne nous engagerons pas dans la discussion de ces methodes et nous contentons de decrire la re-ponse optique des metaux directementa partir des donnees optiques tabulees [125, 126]. Ces donnees permettent de \reconstruire" une permittiviterealiste decrivant la reponse optique des metaux de maniere realiste.
La fonction de reponse"[!] donnee sur l'axe des frequences reelles peut se decompo-ser en une partie reelle"0et une partie imaginaire"00. Ces deux parties sont directement connectees par des relations de Kramers-Kronig [93]
"[!] = "0[!] + "0 0[!] "0[!];1 = 2P 1 Z 0 dx x"0 0[x] x2;!2; (3-7)
P designant la valeur principale au sens de Cauchy. Ces relations expriment la causa-lite de la reponse, autrement dit le fait deja discute que la fonction "[!] est analytique dans le demi-plan Im(!) > 0.
Il est important de remarquer que ces relations ne sont pas absolument generales. Par exemple, le modele plasma ne veri e certainement pas cette relation puisque la partie dissipative de " est nulle alors que la partie dispersive ne se reduit pas a 1. Dans ce cas, il faut ecrire des relations de dispersion avec \soustractions" qui, elles, sont tout a fait generales [83, 127]. Pour les metaux reels toutefois, les relations de Kramers-Kronig sont e ectivement veri ees, pourvu que la dissipation soit traitee de maniere correcte. Ceci signi e en particulier que la frequence plasma est alors liee a la partie dissipative de la permittivite par des regles de somme [123, 124].
On deduit alors une expression de la permittivite"[i] pour les frequences imagi-naires en fonction de la partie dissipative de la permittivite "0 0[!] pour les frequences reelles "[i];1 = 2 1 Z 0 dx x"0 0[x] x2+2: (3-8) Comme on l'a deja dit, "[i] est alors reel et positif pour tout reel, c'est aussi une fonction qui decroit de la valeur 1 pour = 0 jusqu'a la valeur 1 pour = 1 (voir [93]).
Comme toujours quand il s'agit de discuter des proprietes optiques, les frequences seront mesurees commedes pulsations, en rad:s;1, mais les discussions seront exprimees en eV, avec la relation de conversion
Dans la pratique, on commence par evaluer la fonction"0 0[!] pour les frequences reelles a partir des donnees tabulees [118]. Ce travail doit ^etre menede facon tres soignee, faute de quoi des resultats peu ables peuvent ^etre obtenus [50, 128, 129].
1012 1013 1014 1015 1016 1017 ω[rad/s] 10-2 10-1 100 101 102 103 104 105 106 ε ’’( ω ) Al Au Cu
Fig. 3.1 { Partie imaginaire "
00[!] de la permittivite en fonction de la frequence reelle pour les trois metaux Al, Cu et Au.
On remonte ensuite a"[i] a l'aide de (3-8). La encore, ce travail demande du soin, a la fois pour extrapoler les donnees optiques au domaine des basses frequences, d'autre part pour ma^triser les problemes de precision numerique. Ici, nous suivons exactement la procedure proposee en [118], procedure qui fonde d'ailleurs le traitement actuel et systematique des corrections de conductivite sur la force de Casimir [52, 53, 54, 55].
Pour la gure 3.1, les donnees sont issues de [119] sur une largeur de spectre de 0:04 - 1000 eV pour Al et de 0:1 - 1000 eV pour Au et Cu. Si l'interpolation ne pose aucun probleme, la densite des points de donnees etant susante, il faut en revanche extrapoler ces donnees a basse frequence pour augmenter le domaine sur lequel les inte-grations seront e ectuees. Cette extrapolation est faite par ajustement avec un modele de Drude. Les parametres ajustables du modele, i.e. la frequence plasma et le para-metre de relaxation, se deduisent des donnees dans le cas de l'aluminium directement depuis les points de donnees. On trouve ainsi pour Al !P= 11:5 eV et ; = 5010;3
eV. Pour Au et Cu en revanche, ces parametres ne peuvent ^etre determines separement a partir des donnees optiques, en trop petit nombre. On utilise alors les connaissances de la physique du solide [123] pour determiner la frequence plasma.
On a vu, dans l'introduction de ce chapitre, que cette quantite se calcule en fonction de la masse e ective m des electrons de conduction. Nous choisissons pour la masse e ective des electrons de conduction les valeurs m
m ' 1 pour Au et m
m ' 1:45 pour Cu [125, 126]. On obtient alors quasiment la m^eme frequence plasma pour Au et Cu,
B Discussion des modeles 71
!P = 0:9 eV, ce qui correspond a une longueur plasma P = 136 nm. Cette simili-tude des longueurs plasma pour Au et Cu expliquent une identite des valeurs pour la force et l'energie de Casimir entre miroirs d'or et de cuivre initialement non comprise [50, 118]. Les donnees optiques nous permettent alors de deduire le parametre ; du modele de Drude a choisir pour l'extrapolation. Nous obtenons ainsi ; = 35 meV pour Au et ; = 30 meV pour Cu. Ces valeurs correspondent respectivement aux rapports
;
!P = 3:8 10;3 et ;
!P = 3:310;3. Ils sont du m^eme ordre de grandeur que celui pour Al: ;
!P = 4:410;3. La permittiviteevaluee sur l'axe imaginaire"[i] est ensuite obtenue par l'integration (3-8) et le resultat est presente sur la gure 3.2.
1012 1013 1014 1015 1016 1017 ξ[rad/s] 100 101 102 103 104 105 106 107 ε (i ξ ) Al Au Cu
Fig. 3.2 { Permittivite complete "[i] evaluee sur les frequences imaginaires pour les trois metaux Al, Cu et Au.
Notons que les longueurs de cavite typiquement etudiees dans les experiences sont comprises entre 0:1 et 10 m, et correspondent donc essentiellement a des frequences dans un domaine spectral s'etendant de 0:1 a 10 eV. Pour obtenir des valeurs ables de la force, il faut disposer des valeurs de "[i] sur un intervalle largement superieur, typiquement de 10;4 a 103 eV. Ceci necessite de partir de valeurs de "0 0[!] sur un intervalle encore plus grand, de l'ordre de 10;5 a 104 eV. Il est clair que ces contraintes peuvent entra^ner des imprecisions dans le calcul de la force, d'autant plus qu'une grande exactitude sera visee. Nous y reviendrons.
B Discussion des modeles
Comme nous l'avons deja dit, le modele plasma souleve des dicultes speci ques que nous discutons maintenant. Nous montrons que ces dicultes se resolvent et que la
force de Casimir garde en fait une expression formellement identique a celle demontree dans le chapitre 2 dans le cadre des hypotheses pour les miroirs dielectriques.