Modele plasma et plasmons

Un premier probleme est associe au lien etroit qui existe entre le modele plasma et les plasmons de surface. Ceux-ci sont des excitations qui se propagent librement en l'absence de relaxation, a l'interface videjmetal. Dans notre point de vue, on les obtient immediatement en etudiant l'amplitude de re exion sur une interface videjmetal en polarisation TM rTM k [i] = 1;zTM 1 +zTM ; zTM = "[i]q 2 c2 +

k

2 q "[i] 2 c2 +

k

2: (3-9) On voit immediatement que cette amplitude diverge quand zTM = ;1, ce qui cor-respond a la denition des plasmons de surface. On note egalement qu'elle s'annule pour zTM = +1, ce qui correspond a l'angle de Brewster. Les deux situations sont rassemblees dans l'equation

;

zTM
2 = 1: (3-10) Pour le modele plasma, c'est une equation du second degre pour !2

!4

;!2;

!_P2 + 2c2

k

2

+!_P2c2

k

2 = 0: (3-11) On obtient aisement la racine correspondant a zTM=;1

!2 = !2P+ 2c2

k

2; p

!4P+ 4c4

k

4

2 ^(3-12)

et celle correspondant a l'angle de Brewster !2 = !2P+ 2c2

k

2+p

!4P+ 4c4

k

4

2 : (3-13)

La condition (3-12) est la relation de dispersion bien connue pour les plasmons de surface (voir equation (2:46) dans [121]). Cette relation est souvent ecrite dans la limite des incidences rasantes

k

2

B Discussion des modeles 73

Elle prend alors une forme plus simple !2s = !2P

2 : ^(3-15)

Par suite des deux relations precedentes, cette solution tombe evidemmment dans le secteur evanescent, ce qui correspond a une propriete bien connue des plasmons de surface. Ces resultats signient que des excitations collectives existent pour des frequences reelles. Comme c'est toujours le cas dans la theorie de la diusion, ces excitations correspondent a des divergences des amplitudes de diusion quand on ne prend pas en compte les phenomenes de relaxation, ce qui est le cas pour le modele plasma. Si on inclut l'eet de la relaxation, le p^ole de rp

k est deplace de l'axe reel dans le demi-plan Im(!) < 0 et la divergence devient une resonance.

Cette discussion montre de facon evidente que le module derp

kne peut certainement pas rester plus petit que 1 pour les miroirs metalliques.En fait, il diverge pour le modele plasma et cette divergence est regularisee par la prise en compte de la relaxation. Comme ce parametre obeit a la relation (3-6), cette resonance va toujours depasser la valeur 1 pour le module de rp

k. C'est donc une diculte vis-a-vis de l'hypothese qu'on a faite au chapitre precedent sur le module derp

k. Il est interessant de remarquer que pour tout type de miroir, la structure des amplitudes de re exion aux interfaces (voir (1-68) au chapitre 1), garantit que la condition (2-48) du chapitre 2 est toujours vraie en polarisation TE quelque soit le modele de " considere. C'est uniquement en polarisation TM que se posent les problemes. Ceci correspond au fait bien connu que les plasmons n'existent que polarises TM.

Malgre cette diculte, on pourra encore obtenir l'expression de la force de Casimir et celle-ci sera en fait formellement identique a celle que nous avons ecrite dans le cadre de notre hypothese. Pour le voir, reprenons la demonstration faite en section C.2 au chapitre 2, en nous interdisant de supposer que le module de rp

k soit plus petit que 1. Nous rappelons la forme de la fonction de reponse a partir de laquelle nous avons pu calculer la force de Casimir

fk[!] = X p=TE;TM p k[!] 1;p k[!] ^{avec p}k[!]rp k 1[!]rp k2[!]e2ikzL: (3-16) C'est exactement la fonction de reponse d'une boucle de contre-reaction construite avec un gain en boucle ouverte mesure par l'amplitudep

k[!]. La conditionjp

k[!]j< 1 implique certainement que la boucle de contre-reaction ne peut jamais se mettre a osciller; autrement dit, il n'y a pas de p^ole de fk[!] dans le demi-plan Im(!) > 0. Mais on sait aussi que cette condition jp

necessaire: on peut depasser jp

k[!]j = 1 sans atteindre le seuil d'oscillation pourvu que ce soit avec une phase non adaptee a l'oscillation.

La condition qui est indispensable dans notre raisonnement est la \stabilite" du systeme forme par la cavite et le champ. Elle s'exprime par le fait que fk[!] n'a pas de p^ole dans le demi-plan Im(!) > 0 et est en fait une fonction analytique dans ce domaine. Sous cette seule condition, on demontre que la contribution des ondes evanescentes est donnee par le prolongement analytique de la fonction fk[!] sur le secteur evanescent.

Pour preciser ces idees, considerons le modele plasma dans le regime particulier ou les frequences ! sont inferieures ou de l'ordre de la frequence plasma !  !P, alors que le vecteur d'onde transverse est suppose beaucoup plus grand. Dans ce regime, les equations generales pour les amplitudes de re exion sur l'interface se simplient beaucoup rTE k [!] = 0 rTM k [!] = 1;"[!] 1 +"[!] = 2!2^!;^2P!_2P^{: (3-17)} Non seulement rTM

k a alors un module plus grand que 1 pour 0  !  !P mais, de plus, il diverge pour !2 = !2s = ^!2

P

2 . Ceci correspond eectivement a la frequence !s

des plasmons de surface, dans la limite des incidences rasantes (3-14,3-15).

Dans ce cas particulier, il est aise d'ecrire que la fonction de boucle fk[!] a des p^oles correspondant a l'equation

TM

k [!] = 1: (3-18) Pour des frequences reelles dans le secteur evanescent, deux p^oles sont identies

!2

 =!2s;

1e;L

;  =j

k

j: (3-19) Cette equation a une interpretation physique simple. Elle signie que les plasmons de surface correspondant aux deux miroirs sont couples par les ondes evanescentes se trouvant dans la cavite; le facteur e;L represente l'amplitude relative de ce couplage et l'equation (3-19) decrit le deplacement des frequences plasmon d^u a ce couplage.

Le raisonnement a ete fait pour le moment avec le modele plasma, c'est-a-dire en negligeant toute dissipation. Si on tient compte de la dissipation, les deux p^oles!vont ^etre deplaces de l'axe reel vers le demi-plan Im(!) < 0. Les p^oles qui se trouvaient sur la frontiere du domaine d'analyticite Im(!) > 0 vont donc ^etre repousses au-dela de

B Discussion des modeles 75

cette frontiere, ce qui garantit la stabilite de la cavite. Par exemple, pour le modele de Drude, le m^eme calcul montre que les p^oles sont deplaces en

! =

r

!_2s(1e;L);

;2

4 ;i;2: (3-20)

A contrario, l'instabilite, c'est-a-dire le declenchement d'une oscillation spontanee du systeme, correspondrait au deplacement d'un p^ole de l'axe reel Im(!) = 0 vers le domaine Im(!) > 0. Ceci est bien s^ur impossible physiquement en l'absence de tout mecanisme susceptible de fournir l'energie necessaire a cette oscillation.

Dans ces conditions, les raisonnements faits dans le chapitre precedent pour les miroirs dielectriques peuvent maintenant ^etre etendus au cas des miroirs metalliques, la fonction fk[!] etant analytique dans le demi-plan Im(!) > 0. On trouve alors le m^eme resultat que dans le chapitre 2

F (L) = ~A 43 X p Z d2

k

1 Z 0 d  ^pk[i] 1;p k[i] p k[i] = rp k 1[i]rp k2[i]e;2L: (3-21) Comme on l'a deja vu, les amplitudes de re exion evaluees sur l'axe imaginaire sont toujours plus petites que l'unite

 reel ! jrp

k[i]j< 1: (3-22) Ceci assure que la force est une expression reguliere pour tous les miroirs veriant les proprietes physiques que nous avons utilisees: causalite, stabilite, transparence a haute frequence.

Remarquons que, dans le cas particulier du modele plasma, les p^oles de fk[!] se trouvent sur la frontiere du domaine Im(!) > 0. Pour valider notre raisonnement, il faudra donc contourner ces p^oles pour rester dans le domaine d'analyticite de fk[!]. C'est ce que represente le contour dessine sur la gure 3.3.

Cette subtilite n'est pas necessaire des que la dissipation est prise en compte.

Nous allons voir plus loin que la force de Casimir peut egalement se comprendre comme une interaction de Van der Waals entre les excitations elementaires dans les miroirs. Ceci est tout a fait analogue a l'interaction de Van der Waals entre deux atomes [27] qui peut se comprendre en etudiant les amplitudes des diusions sur le systemea deux atomes [130, 131] ou, alternativement,l'interactionentre les uctuations elementaires dans les deux atomes [132, 133]. Nous ferons ce calcul dans le cas du

+ ₊ k| | c Reξ Imω = Imξ ω Re ondes evanescentes ω = −

Fig. 3.3 { Prolongement analytique pour la fonction de reponse retardee en tenant compte des singularites dans le secteur evanescent, pour le cas particulier du modele plasma.

modele plasma a la limite d'une distance courte pour laquelle on peut se contenter de l'interaction instantanee de Coulomb. Nous verrons alors que le calcul de type Van der Waals donne le m^eme resultat que la formule ecrite ci-dessus [134].

Dans le document La force de Casimir entre deux miroirs métalliques à température non nulle (Page 76-80)