On peut donner encore une interpretation di erente de cette formule. Pour cela, on commence par integrer l'expression (2-70) par parties. Avec les conditions deja utilisees pour en demontrer l'analyticite, on voit que le terme de bord correspondant s'annule
( ln[1;p
k[i]])1
0 = 0: (2-73) On en deduit que l'energie de Casimir peut s'ecrire sous la forme
E (L) =; ~A 2 X p Z d2
k
42 1 Z 0 d @(p k[i]): (2-74) En isolant dans l'integrande la densite spectrale ~ des uctuations du vide, il nous reste un temps de Wigner de ni en derivant le dephasage par rapport a la frequencek[i] = @(p
k[i]): (2-75) Dans ce point de vue, l'energie de Casimir est due au fait que les uctuations qui arrivent en permanence sur la cavite sont stockees pendant un certain temps [76]. Dans cette interpretation dynamique [113], une energie de liaison signi e que ce sont les temps de Wigner negatifs qui en determinent le signe. Autrement dit, ce sont les modes hors resonance, ceux pour lesquels le temps de Wigner est negatif, qui de nissent le caractere liant de l'energie de Casimir. Cette interpretation est coherente avec la discussion analogue de la force de Casimir [91].
En e et, les parties resonnantes du spectre correspondent a une energie plus grande dans la cavite qu'a l'exterieur (gm > 1 dans l'equation (2-37)). Elles contribuent donc a une force repulsive pour les deux miroirs. Par contre, les parties anti-resonnantes du spectre correspondent a une energie moins grande dans la cavite qu'a l'exterieur (gm < 1) et contribuent donc a une force attractive. Le fait que la force soit nalement attractive montre que ce sont les parties anti-resonnantes du spectre qui imposent leur signe [91].
65
Chapitre 3
Cas des miroirs metalliques
Comme nous l'avons brievement presente dans l'introduction, les experiences re-centes de mesure de la force de Casimir s'e ectuent entre des miroirs metalliques. Comme il sera clair a la n de ce chapitre, ce choix est en grande partie justi e par les bonnes re ectivites qu'on peut atteindre avec les metaux. Dans le chapitre 2, nous avons montre comment calculer la force de Casimir a partir des amplitudes de re exion pour des miroirs dielectriques. Ces amplitudes introduisent tout naturellement l'e et de la reponse optique dans l'evaluation de la force et cette formulation est donc parti-culierement adaptee a l'etude des corrections liees a la conductivite des metaux [118]. Les miroirs metalliques, comme n'importe quel type de miroirs physiques, ne sont pas parfaitement re echissants a toutes les frequences du champ incident. Nous ex-plicitons en premier lieu di erents modeles de reponse optique utiles pour discuter ce probleme, le modele plasma et le modele de Drude. En n, nous traitons le cas des metaux reels a partir des donnees optiques tabulees [119].
Nous discuterons plusieurs problemes lies a la description par un modele plasma. Nous verrons comment retrouver, en les generalisant, des resultats anterieurs bases sur la prise en compte explicite des modes plasmons caracteristiques d'un metal. Nous ferons le lien entre notre formulation et ce point de vue. Nous devrons presenter les dicultes analytiques que la reponse metallique peut induire, en particulier au niveau du prolongement aux ondes evanescentes. Nous discuterons en n de l'approximation qui consiste a negliger les e ets de la dispersion spatiale dans le calcul de la force de Casimir. Nous montrerons comment tous ces problemes se resolvent en conduisant a une expression de la force formellement identique a celle obtenue dans le chapitre pre-cedent pour les miroirs dielectriques.
in-duites sur la force de Casimir par la conductivite nie des miroirs metalliques. Nous de nirons des facteurs correctifs adaptes a l'analyse de ces e ets et les calculerons pour les di erents types de reponses consideres. La temperature sera prise nulle dans tout ce chapitre. Nous verrons au chapitre suivant comment prendre en compte la correction supplementaire engendree par la pression de radiation des uctuations thermiques du champ.
A Reponse optique des metaux
Par rapport aux dielectriques, les metaux sont caracterises par la presence de charges libres, les electrons de conduction. Il y a donc au sein du metal une conduc-tivite non nulle qui genere une reponse au champ incident delocalisee sur le metal. Il est pourtant possible de decrire la reponse optique d'un metal par une permittivite " comme pour un dielectrique [120]. On a alors les m^emes formes pour les amplitudes de di usion d'un miroir metallique que celles que nous avons presentees au chapitre 1 pour les dielectriques.
Il est important de noter une propriete generique des permittivites metalliques [123] directement liee a la presence d'electrons libres
"[!]
0
;i! !1 pour ! !0: (3-1) Dans cette equation,0represente la conductivitequasistatique, c'est-a-dire la limitede a frequence nulle. A cette m^emelimitequasistatique, la permittivited'un dielectrique est nie. Nous verrons dans la suite les consequences importantes de la presence d'un tel p^ole a frequence nulle pour les metaux.
A haute frequence, les miroirs sont transparents et l'intensite de la force est reduite en consequence. Nous analyserons en detail dans ce chapitre ces comportements. Il est important cependant de noter tout de suite que l'e et de ltrage de la cavite selectionne les domaines de frequence par la condition !L
c . 1. En d'autres termes, les grandes distances entre miroirs correspondent typiquement aux basses frequences et les courtes distances aux hautes frequences.
Dans le cas des metaux, les longueurs de cavite seront rapportees a une longueur caracteristique, la longueur plasma P, qui depend explicitement des proprietes des electrons de conduction. Cette longueur est equivalente a une frequence plasma
A Reponse optique des metaux 67
de nie a partir des proprietes du milieu. On a ainsi !2P = 4Nem 2 = Nq"0m2
N = ZNa; (3-3)
ou N est le nombre d'electrons de conduction par unite de volume, c'est-a-dire egale-ment le produit du nombre Z d'electrons par atome et de la densite atomique Na; q represente la charge elementaire et m est la masse e ective d'un electron de conduc-tion. Cette masse est di erente de la masse d'un electron libre en raison des interactions avec les ions constituant le reseau metallique, les autres electrons...
Les longueurs de cavite tres grandes devant la longueur plasma correspondront au regime de saturation de la reponse des miroirs pour lequel les miroirs tendent a se comporter comme des re ecteurs parfaits et la force de Casimir tend vers la formule ideale. En revanche, pour des frequences plus elevees que !P, les miroirs deviennent de mauvais re ecteurs. Cet argument est important puisqu'il conduit au fait que la force est une quantite naturellement convergente. Ceci implique aussi que la force est inferieure a la force ideale pour des distances entre miroirs inferieures a la longueur d'onde plasma ou du m^eme ordre. Typiquement pour les metaux, la valeur de P est de l'ordre du dixieme de micrometre (P 0:1m). Nous reviendrons sur ce point plus en detail dans la suite de ce chapitre.