Pour des miroirs parfaitement re echissants, on a pour les amplitudes de re exion rTE
k [in] = ;1 et rTM
k [in] =;1; (5-18) uniformement pour tout n. On peut alors directement evaluer la contribution qua-sistatique et donner le comportement haute temperature de la force par l'expression suivante
T Te ! Fparfait'
kBTA
4L3 (3): (5-19) On parle pour cette limite haute temperature de la limite \classique" de la force de Casimir, l'expression etant independante de ~.
B.2 Le modele plasma
Dans le cadre du modele plasma, les amplitudes de re exion en polarisation TM et TE sont, a la limite quasistatique,
rTE k [0] = j
k
j; q !2 P c2 +k
2 jk
j+q !2 P c2 +k
2 et rTM k [0] =;1: (5-20) A partir de ces expressions, nous donnons en appendice l'expression du termen = 0. Pour le comportement a grandes distances, on pourra considerer la limitejk
j !0 de la formule precedente pour lequelrTE
k [0] = ;1 et rTM
k [0] =;1: (5-21) Nous deduisons alors que la limite haute temperature concide avec le resultat (5-19) obtenu dans la limite du miroir parfait.
B Limite haute temperature 117
B.3 Le modele de Drude
Le modele de Drude, en revanche, ne permet pas de retrouver cette limite du miroir parfait a partir de la limite haute temperature. A la limite quasistatique n = 0, les amplitudes de re exion sont en e et donnees par
rTE
k [0] = 0 et rTM
k [0] =;1: (5-22) Ceci est dicute en detail dans l'appendice C.
Cette perte de la contribution des modes TE a pour consequence immediate de reduire d'un facteur 2 l'expression du terme quasistatique. On obtient alors a haute temperature
T Te ) FDrude'
kBTA
8L3 (3); (5-23) Cette limite ne concide pas avec celle de nie pour les miroirs parfaits ou les miroirs de type plasma. De plus, on ne retrouve pas le resultat correspondant au modele plasma, dans la limite de dissipation nulle ; ! 0. A cette limite pourtant, la permittivite du modele de Drude tend bien vers celle du modele plasma. Pour ces raisons, le modele de Drude a souvent ete considere comme problematique [151]. Il est pourtant clair que ce modele, qui prend en compte la relaxation des electrons de conduction, est une description de la reponse metallique plus realiste que le modele plasma (voir la section C.1).
Autrement dit, avec le modele de Drude, les limites haute temperature et miroirs parfaits ne commutent pas alors qu'elle commutent si l'on utilise un modele plasma. Schwinger [56] est le premier a avoir remarque cette non-commutativite. Pour recupe-rer le comportement (5-19), Schwinger a impose la prescription consistant a prendre la limite des miroirs parfaits avant de considerer la limite haute temperature. Cette pres-cription permet evidemment de retrouver (5-19) pour tous modeles de metaux. Mais n'expliquant rien, elle ne dit pas pourquoi un certain ordre est impose pour prendre les limites. En n, en prenant d'abord la limite du miroir parfait, la prescription de Schwinger renonce au probleme le plus important. Il est clair en e et que si la limite du miroir parfait est prise en premier lieu, il n'est plus question de discuter de l'e et sur la force de la prise en compte des proprietes reelles des miroirs utilises dans les experiences!
C La polemique recente
Les discussions que nous venons de presenter ont ete developpees recemment [145, 146]. Elles insistent toutes sur la di erence de traitement entre le modele plasma et le modele de Drude. Elles se heurtent a des resultats contradictoires (5-19,5-23) qui auraient des implications physiques considerables s'ils etaient vrais.
Ainsi, Bostrom conclut a la disparition dans la limite quasistatique de la contri-bution des modes polarises TE pour la force et l'energie de Casimir calculees par un modele de Drude [145]. Une manifestation spectaculaire de cette perte de contribution est le comportement (5-23) de la force et de l'energie, reduites d'un facteur 2 par rap-port aux force et energie calculees entre des miroirs decrits par un modele plasma. Ce resultat engendre dans le m^eme temps des predictions thermodynamiques suspectes, comme par exemple l'existence d'une gamme de longueur de cavite sur laquelle l'en-tropie du systeme est negative [151].
Alors que le calcul de Bostrom est celui auquel on aboutit si l'on suit delement, comme en B.3, les etapes du calcul depuis la formule initiale de Lifshitz, un autre point de vue a ete parallelement developpe [146]. Mathematiquement, cette \version" est encore plus problematique: elle engendre en e et une contribution lineaire en tempera-ture a courte distance, alors que nous avons demontre que les corrections thermiques a courtes distances sont echelonnees enO
T Te
3
. En fait, ces resultats reposent sur des erreurs de calculs identi ables.
Analysant ces resultats problematiques, Klimchitskayaet al.ont introduit une pres-cription de type Schwinger \generalisee" au sens ou elle selectionne les termes du calcul de Lifshitz a conserver pour retrouver dans le cadre du modele de Drude des resultats de m^eme forme que ceux donnes par le modele plasma [151, 152]. La encore, cette prescription n'explique rien vis-a-vis des problemes prescrits. Elle joue le r^ole d'un ar-gumentad hoc dans le contexte polemique qui ne conduit a aucune conclusion precise hors de ce contexte. Par ailleurs, le modele plasma prend un statut privilegie dans cette prescription puisqu'il ne pose pas de probleme. Les auteurs deduisent de leur analyse que la description de l'e et Casimir a temperature non nulle est mal de nie pour les systemes dissipatifs. Cette conclusion, deja formulee par Bostrom, est basee sur le fait qu'il n'est pas possible de retrouver la situation du modele plasma a partir de la for-mule de Lifshitz donnee pour un modele de Drude dans la limite de dissipation nulle. Cette conclusion est poussee encore plus loin en [151, 152] et devient une critique du point de vue de la theorie de la di usion en presence de dissipation [57].
C La polemique recente 119
Dans la suite de cette section, nous montrons que ces armations sont tout a fait exagerees. Le point de vue developpe dans le present memoire permet de resoudre toutes ces dicultes sans necessiter la moindre hypothese ad hoc.
Nous remarquons que le modele de Drude a pour consequence de de nir un coef- cient de re exion TE discontinu. Cette discontinuite a des consequences importantes sur la possibilite m^eme d'utiliser la formulation de Lifshitz. Les consequences aber-rantes de la formule de Lifshitz sont ainsi directement liees a des defauts d'analyticite des amplitudes de re exion TE dans le secteur quasistatique !0.
Nous montrons en n que notre formulation resiste au probleme pose par ces discon-tinuites. Nous explicitons le resultat prevu par notre methode pour le modele de Drude et montrons qu'il est similaire a celui obtenu pour un modele plasma. La dissipation n'induit aucune \catastrophe" et la limite de faible dissipation est tout a fait reguliere quand on la discute sur l'expression nale de la force.