LES CAS DE VALIDATION DU CODE
2. TRANSITION DE LA CONVECTION NATURELLE
2.1. INTRODUCTION
La fente infinie présente physiquement deux phénomènes différents, selon que le gradient vertical de la température est nul (on obtient alors une "solution de conduction"), ou lorsque le gradient de température est non nul et positif (on obtient alors une famille de solutions appelées "double couche limite").
L'utilisation d'un code tridimensionnel en différences finies colocalisé, d'ordre 2 en temps et d'ordre 4 en espace nommé "Pégase" [Annexe A], a été notre premier outil numérique pour essayer d'observer le régime transitoire et turbulent, dans la configuration en question. L'utilisation de ce code s'est heurtée à quelques difficultés fait de problèmes numériques dus au traitement de la pression, et cela malgré quelques modifications apportées à la résolution itérative de la pression. Nous avons été finalement contraints à abandonner cet algorithme et d'opter à réalisation d'un code de simulation directe, dont la méthode numérique est détaillée dans le premier chapitre de cette.
La représentation suivante explique schématiquement la configuration géométrique étudiée :
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' X
g
-y
W_ in
0 Lz z
Fig 7: représentation géométrique
2.2. RÉGIME DE CONDUCTION
2.2.1. MODELE NUMERIQUE
Nous considérons un écoulement de convection naturelle entre deux plaques verticales de longueur infinie distantes de D et portées l'une à Tc = &Q+1I2 , l'autre à Tf=S0-ll2.
De façon classique, nous choisissons de résoudre les équations du mouvement perturbé. Soit (u, v, w, p,6) la perturbation par rapport à la solution de base
) , 0, 0, P(x),0(z)) :
2)
sachant que les grandeurs de référence sont D pour la longueur, g(5ATL2/v pour la vitesse, ( &-&0)IAT pour la température :
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On fixe la longueur du domaine d'intégration dans la direction x à la longueur d'onde du mode le plus instable ac = 2.80 donné par la théorie de stabilité [4, 17, 35]. Le domaine de résolution s'étend de -112 à 1/2 dans la direction z (direction de plaque à plaque) et de 0 à la longueur d'onde critique, Lx = 2n/ac = 2.24, dans la direction x , pour une profondeur de Ly = 0.1, dans l'espoir de n'obtenir qu'un écoulement bidimensionnel.
2.2.2. CHOIX DE L'ORDRE EN TEMPS
Pour ce problème, deux algorithmes ont été comparés. Le premier : ordre 1 en temps avec une convection traitée par la formulation faible (Annexe B), et le deuxième : ordre 2 en temps avec une formulation mixte pour la convection (Chapitre 1-Partie B).
Le cas de validation repose sur une étude de la transition de l'écoulement de convection naturelle en régime de conduction présenté précédemment, pour un nombre de Rayleigh de Ra=6035 , qui est une valeur légèrement au dessus du nombre de Rayleigh critique Rac= 5706 . Le choix de ce nombre de Rayleigh découle des résultats de Chait & Korpela (1989) [7]. Par une étude de stabilité linéaire bidimensionnelle, Chait & Korpela ont cherché à retrouver les instabilités qui régissent ces écoulements pour deux nombres de Rayleigh, Ra=6035 et Ra=8520 . Nous nous limiterons, pour le moment, à valider le code pour ce phénomène au nombre de Rayleigh indiqué ci-dessus.
Les dimension géométriques de la boite ainsi que le maillage dans la direction x et z sont identiques à l'étude de Korpela, ce dernier est composé de 18 points en x, 6 points en y et 17 points en z avec un maillage régulier et Lx=2.5, Ly-0.1 et Lz=1.0 pour les dimensions de la boite.
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Les échantillons temporels (Fig 8, Fig 10) obtenus, avec les différentes écritures de convection ainsi que les différents ordres en temps, restent bidimensionnels ( la vitesse transversale v reste nulle).
Les deux formulations du terme de convection, la formulation faible et la formulation mixte, donnent des solutions asymptotiques stationnaires (Fig 8, Fig 10). Cependant, ces solutions temporelles présentent une différence sur les solutions asymptotiques, alors une seconde comparaison serait très bien accueillie. Chait & Korpela ont conclu que le logarithme népérien des spectres d'énergie cinétique et de variance de température sont linéaires aux nombres d'onde de la résolution spatiale sur la direction de l'écoulement.
La convection mixte donne des spectres d'énergie semblable aux résultats de l'étude de stabilité, de Chait & Korpela (Fig 11). On note toute fois un décrochement des spectres sur le dernier mode. La convection faible présente quant à elle des spectres d'énergie complètement aplatis sur l'ensemble des modes, qui révèle un grave défaut de comportement de cet algorithme dans la simulation de croissance de perturbations (Fig 9).
La formulation faible, à l'ordre 1 en temps, présente une anomalie de comportement, par rapport à la formulation mixte. Son implantation à l'ordre 2 en temps la rendra très coûteuse en temps CPU et en mémoire.
Pour un même maillage, la version à l'ordre 2 en temps donne des pentes, fi, décroissantes de spectres d'énergie, de la variance de température, de l'ordre de P=3.36 , ce qui est, en bon accord avec les résultats de Chait & Korpela (Tab 1), et ceci sans aucun décrochement de spectre (résultats de la version ordre 1 en temps). Ce qui semble indiquer que ce défaut observé à l'ordre 1 en temps était lié à la discrétisation temporelle.
En conclusion, nous retenons la discrétisation temporelle à l'ordre 2 en temps avec une formulation mixte pour le traitement de la convection.
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2.2.4. REGIME STATIONNAIRE
Dans le cadre de validation du code, sachant qu'on a retenu la formulation mixte pour la convection, discrétisée à l'ordre 2 en temps, plusieurs nombres de Rayleigh, variant de Ra - 7100 à Ra - 14200, ont été testés.
Nous avons bien obtenu des résultats stationnaires en temps et bidimensionnels pour les différents nombres de Rayleigh (Fig 12). Deux maillages différents ont été proposés selon les nombres de Rayleigh étudiés, ceci pour éviter les décrochements des spectres d'énergie sur les plus hauts modes. Ces résultats sont rassemblés dans le tableau suivant sachant que (5 est la pente des spectres de la variance de température (Fig 12):
Ra
Tab 1: Les résultats stationnaires du régime de conduction, pour