LES CONTRAINTES TURBULENTES

3.2.1. LES CONTRAINTES DE REYNOLDS

Les contraintes de Reynolds diagonales seront représentées en écart type qu'on notera urms, vrms et wrms.

U ~ Siliîlrms »

w = ^

Elles nous renseignent sur le niveau de la turbulence dans l'écoulement. En comparant les écarts types des contraintes de Reynolds diagonales des trois composantes de vitesse u, v et w pour les différents nombres de Rayleigh, nous constatons que la composante u^rms est plus importante (au centre c'est du au cisaillement présent sur la vitesse moyenne U) que les composantes v^^ et w ^ (Fig 75). Ces contraintes présentent une similitude avec les résultats d'un écoulement de Poiseuille dans un canal plan sur les valeurs de leurs maxima. A Ra=5.4 10⁵, le maximum de u^rms diminue, mais celui de v^rffW et w ^ j augmente et on observe un retour à l'isotropie bien développé au centre du canal sur les composantes normale et transversale :

Vrms ~ ^Wrms

La contrainte de cisaillement uw est positive et importante au centre de l'écoulement (Fig 75). A Ra=5.4 10⁵, cette contrainte grandit d'environ 33% par rapport au cas à Ra=l 10⁵. La positivité de la contrainte de cisaillement montre que les résultats issus des modèles de turbulence du type K-E seront incapables de modéliser correctement ce type de comportement. En effet, la contrainte de cisaillement est modélisée en K-e par une loi de premier gradient :

— BUuw = - vr •--- avec vT > 0 oz

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CHAPITRE III : LA SIMULATION DIRECTE TURBULENTE DE LA CONVECTION NATURELLE

Comme le gradient de la vitesse moyenne — présente des changements de 3z

signe alors le modèle de la contrainte de cisaillement présentera aussi un profil changeant de signe, ce qui est en contradiction avec notre résultat.

3.2.2. L'ÉNERGIE CINÉTIQUE TURBULENTE ET LE TAUX DE DISSIPATION

L'énergie cinétique turbulente est donnée par :

K = i

Comme la composante urms présente une contribution plus importante que les autres composantes, vrms et wrms> le profil de l'énergie cinétique ressemblera à celui de la composante urms. A Ra=l 105 (Fig 75), l'énergie cinétique a son maximum proche de la paroi et a une allure décroissante en s'approchant du centre du canal (profil similaire à urms). Par contre à Ra=5.4 10s (Fig 75), le maximum de l'énergie cinétique est localisé au centre du canal, ce qui diffère du comportement de Urms- L'explication tient à l'évolution des variables vrms et Wrms qui ont leurs maxima au centre du canal et proche du maximum de urms. Cependant, au centre les écarts types de vitesse tendent vers une isotropie, donc vrms et Wrms prennent de l'importance agissant directement sur l'énergie cinétique K.

Le taux de dissipation de l'énergie cinétique est proportionnel à la somme des carrés des dérivées des composantes de vitesse fluctuante.

e =

La figure (Fig 75) présente un fort taux de dissipation à la paroi de l'ordre de 0275 pour les deux nombres de Rayleigh (valeur deux fois plus grande que celle donnée par les résultats d'un écoulement de Poiseuille Emax^O.lT). Lee profils du taux de dissipation passent par un même minimum, qui de l'ordre de

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emin=0.09 8. Le minimum se rapproche de la paroi avec des nombres de Rayleigh qui augmentent.

3.2.3. LE CHAMP DE VORTICITÉ

Tous les écoulements turbulents sont caractérisés par de forts niveaux de fluctuation de rotationnel. La raison tient au fait que tout mouvement isovolume et permanent d'un fluide visqueux dans un domaine présentant une paroi solide fixe est nécessairement rotationnel.

Le champ de vorticité donné par la figure (Fig 75) prouve que le maillage prend bien en compte les gradients des composantes fluctuantes de vitesse. On capte bien le phénomène tourbillonnaire des petites structures à la paroi pour les deux nombres de Rayleigh. Les vorticités des fluctuations de vitesse sont définies comme suit :

A la paroi et pour les deux nombres de Rayleigh, la direction privilégiée de la vorticité des petites structures est la direction transversale. La composante de vorticité normale aux parois est nulle à la paroi, croit et devient maximale en s'approchant du centre. Ce comportement prouve que le phénomène turbulent est tridimensionnel et qu'un calcul bidimensionnel est à déconseiller.

Au centre du canal, le retour à l'isotropie des petites structures est bien prononcé pour les trois composantes de vorticités kRa=5.4 JO5:

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3.2.4. LES FLUX THERMIQUES

Les flux thermiques représentent l'interaction du champ turbulent de vitesse et du champ turbulent thermique. Dans la figure (Fig 76), la composante du flux thermique transversal est nul. La composante du flux thermique longitudinal est la plus importante (surtout à la paroi), ce qui prouve une seconde fois qu'un modèle de viscosité turbulente9 de type premier gradient est en complet désaccord avec nos simulations :

vJd = -KT •--- comme i = 1 alors uB = 0

L'évaluation du niveau de turbulence par un modèle de turbulence peut jouer un rôle capital sur l'évaluation des transferts de chaleur.

Le gradient de la température moyenne est défini seulement dans la direction normale aux parois, alors le modèle de gradient donne une valeur nulle pour le flux thermique longitudinal.

En développant l'équation non normalisée10du champ moyen de température, on arrive à:

d^ë

dz3 dz => ' K>0

IF

Pour trouver la constante, on résout l'équation précédente à z-0

comme wQ] = 0 alors d =K-^A =U*6*

ce qui donne en normalisant par la vitesse de frottement u* et de la température de frottement 0*:

'Modèle de viscosité turbulente est aussi appelle modèle K-e

10par rapport à la température de frottement 0*

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K-9 0

dz w6

u*e* u*e*

de __

sachant que : K—— ——— est le flux thermique total normalisé par la vitesse

u*6* u*6*

de frottement et la température de frottement.

Le transfert thermique au centre est entièrement dû à la turbulence. Alors la figure (Fig 76) montre bien qu'on a atteint un équilibre des flux thermiques car le flux total tend bien vers la valeur 1 pour les deux nombres de Rayleigh.

3.2.5. LA VARIANCE DE TEMPÉRATURE

La variance de température est représentée dans la figure (Fig 76) sous la forme d'un écart-type.

d^ =

Les fluctuations de la température sont surtout localisées dans une zone proche de la paroi. Le maximum d'agitation turbulente de fluctuations thermiques se situe, pour les deux nombres de Rayleigh, autour de la valeur 2 mais à des abscisses différentes, car, en augmentant le nombre de Rayleigh, le gradient de la température fluctuante s'aplatit sur la paroi.

En Rapprochant du centre, 6rms évolue en décroissant et converge vers des valeurs différentes pour les deux nombres de Rayleigh. A Ra=5.4 lu, la valeur de l'écart type de la température fluctuante au centre diminue de 20% par rapport à la valeur correspondant à Ra=l 105.

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3.2.6. LES INTENSITÉS TURBULENTES

Les intensités turbulentes sont définies comme suite

_ uw

On trouve que l'intensité turbulente thermique maximale (Fig 77) est de l'ordre de 23% pour les deux nombres de Rayleigh et qu'elle tende vers une valeur constante de l'ordre de 17% (Tab 18).

Ra