Transferts de chaleur dans un film - Transfert de chaleur d’une impulsion localis´ee

5.4 Transfert de chaleur d’une impulsion localis´ee

5.4.3 Transferts de chaleur dans un film

La construction d’un film, pour les études cross-plane, a été réalisé en posantρ = 0, autrement

dit on assimile la réflexion à la paroi cylindrique comme un miroir parfait. Dans le cas d’une impulsion localisée, la paroi chaude n’est plus isotherme à tout instant. Ainsi, fixerρ = 0 revient

à ce que le chauffage s’effectue sur des anneaux concentriques au cylindre ou sur plusieurs surfaces circulaires autour de ce même cylindre (Fig.5.32. Il est difficile de concevoir la réelle représentation de ce chauffage. Aussi, dans la partie qui suit, fixons-nousρ = 0 pour le même

cylindre (D = L = 1 µm) avec la mˆeme discr´etisation, afin d’observer la progression des

phonons sans qu’il y ait un phénomène résistif de la part des parois. Les résultats obtenus sont utilisés pour comprendre davantage les conséquences de la quadratureS8 que les phénomènes

physiques d´ecoulant d’une telle structure.

0 1 2 3 4 5 x 10−7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 z(m) T(K)−10K 1ps 10ps 20ps 40ps

FIG. 5.36: Profil de température de l’axe pendant les premières picosecondes, dans un micro- cylindre (D = L = 1 µm), initialisé à 10 K, chauffé par une impulsion de 15 K pendant 10 ps,

sur une surface de0.5 µm de diam`etre concentrique au cylindre, en fonction de z, avec ρ = 0,

`a diff´erents temps.

En premier lieu, nous cherchons à comparer la température de l’axe du cylindre. Les figures 5.36 et 5.37 représentent l’évolution de la température sur l’axe du film. On remarque que la température au niveau de la paroi chaude diminue avec le temps, pour _{t ≤ 40 ps, jusqu’à} une température proche de0. Pour t > 40 ps, aucune nouvelle variation de température n’est

5.4 TRANSFERT DE CHALEUR D’UNE IMPULSION LOCALISEE´ 123 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 10−6 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 z(m) T(K)−10K 75 ps 80 ps 100 ps 140 ps 200 ps 300 ps 400 ps

FIG. 5.37: Profil de température de l’axe, dans un micro-cylindre (D = L = 1 µm), initialisé à

10 K, chauff´e par une impulsion de 15 K pendant 10 ps, sur une surface de 0.5 µm de diam`etre

cocentrique au cylindre, en fonction dez, avec ρ = 0, `a diff´erents temps.

Par conséquent, c’est la paroi cylindrique diffuse qui est totalement responsable de l’évolution de la température suivant les z négatifs dans le cas oùρ = 1 (Fig.5.33).

Dans un second temps, nous effectuons une analyse des champs de température dans le cylindre. La différence des champs de température obtenus àt = 75 ps entre ρ = 0 et ρ = 1 n’est pas

visible à l’oeil nu, c’est pourquoi le champ de température àt = 75 ps, pour ρ = 0 ne figure pas

sur ce travail. Par contre, l’annexe E permet d’observer l’évolution des champs de température dans le cylindre avecρ = 0. À l’aide de cette annexe, on observe que les zones chaudes évoluent régulièrement suivant les z positifs, contrairement aux évolutions obtenues avecρ = 1. On peut

également distinguer les quatre zones chaudes appartenant aux directions des quatre différentes valeur de ξ. Ces représentations confirment que la quadrature choisie ne discrétise pas suffi-

sament l’espace angulaire et que la paroi diffuse est responsable de l’évolution des phonons suivant les z négatifs. Afin de vérifier les conséquences d’une réflexion spéculaire, une analyse analytique est proposée en suivant.

La figure 5.38 représente les différents parcours des phonons suivant chacune des quatre directions de la quadrature utilisée. Les lignes fléchées délimitent la propagation des phonons suivant ces quatre directions. On comprend ainsi que les phonons se séparent au fur et à mesure du temps. Il est également montré les zones de présence des phonons parcourant ces quatre directions avec une vitesse de groupeVg = 8000 m/s, à l’instant t = 75 ps. On observe que la

FIG. 5.38: Repr´esentation de la position des phonons en suivant les directions de la quadrature

S8(6), ayant une vitesse de groupe de8000 m/s, `a l’instant t = 75 ps, dans un film (ρ = 0) d’un

micromètre d’épaisseur, chauffé pendant10 ps.

zone chaudeM observée dans le cylindre. La position des phonons est différenciée par trois

couleurs :

1. Le jaune indique que les phonons proviennent d’une propagation directe suivant les r positifs.

2. Le orange rosé rappelle que les phonons ont subi une réflexion spéculaire sur la paroi cylindrique. Les particules se propagent, en conséquence, suivant les r négatifs.

3. La couleur orange foncé montre que la présence des phonons est double. Autrement dit, il existe, pour un même cosinus directeurξ, des phonons dont le cosinus directeur µ est

positif et d’autres dontµ < 0.

Ainsi, autour du pointP , la pr´esence des phonons, ayant Vg = 8000 m/s, est double `a l’instant

t = 75 ps. La zone hachurée indique qu’aux temps précédents, la présence des phonons est

tripl´ee. Les phonons proviennent de la direction ξ ∼ 0.9710 avec µ = ±p1 − ξ2 _{et de la}

direction_{ξ ∼ 0.7988 avec µ > 0. La forme de cette zone révèle que le point chaud se déplace} en s’écartant de l’axe. En effet, lorsque les phonons arrivent sur cette zone, le point chaud est guidé vers la paroi cylindrique puis, une fois la zone hachurée passée, le point chaud revient vers l’axe.

Cette dernière illustration montre qu’aucune interprétation physique ne peut être déduite lors d’une impulsion localisée, si ce n’est qu’une partie des phonons se déplace suivant les z négatifs, lorsque la rugosité de l’échantillon est importante.

5.4 TRANSFERT DE CHALEUR D’UNE IMPULSION LOCALISEE´ 125

FIG. 5.39: Repr´esentation de la position des phonons en suivant les directions de la quadrature

S12 (6), ayant une vitesse de groupe de 8000 m/s, `a l’instant t = 75 ps, dans un film (ρ = 0)

d’un micromètre d’épaisseur, chauffé pendant10 ps.

FIG. 5.40: Repr´esentation de la position r´eelle des phonons, ayant une vitesse de groupe de

8000 m/s, à l’instant t = 75 ps, dans un film (ρ = 0) d’un micromètre d’épaisseur, chauffé

Afin de réduire les artefacts de la quadrature, la résolution de l’équation de Boltzmann avec une quadrature comportant plus de directions est envisageable. Néanmoins, la figure 5.39 représente, de la même manière que pour la quadrature S8, la position des phonons ayant une vitesse de

groupe de8000 m.s−1 _{suivant les}_{6 directions de la quadrature S}

12 propos´ee par Balsara (6),

`at = 75 ps, pour un chauffage de 10 ps. On observe que les artefacts sont toujours pr´esents.

Autrement dit, la distribution num´erique des phonons dans l’espace n’est pas isotrope. En com- paraison, la figure 5.40 montre la position r´eelle des phonons, ayant une vitesse de groupe de

8000 m.s−1 _{et `a} _{t = 75 ps, lorsque l’origine de l’impulsion est une distribution isotrope des}

intensités des phonons. Remarquons que dans cette dernière représentation, il n’est caractérisé que les positions possibles où peuvent se trouver les phonons ayant une vitesse de groupe de

8000 m.s−1_{, `a}_{t = 75 ps.}

A vrai dire, les artefacts sont propres aux quadratures multidimensionnelles dans des milieux peu diffusant et sont couramment appelées effet de rayons. Ils correspondent à la distribution inégale des scalaires du flux (69). D’ailleurs, l’augmentation du nombre de directions diminue l’amplitude de la fluctuation des scalaires du flux mais, en contre partie, augmente la fréquence d’oscillation. On aura, par conséquent, toujours des points du cylindre où la distribution des phonons n’est pas correctement évaluée. C’est pourquoi, l’utilisation de la méthode des ordonnées discrètes ne nous permettra pas de déterminer proprement l’existance d’une fluctuation de la température au niveau de la paroi chaude due à la physique des phonons. Une autre solution de résolution de l’équation de Boltzmann est à envisager pour la simulation d’une impulsion localisée comme, par exemple, l’utilisation des harmoniques sphériques.

CHAPITRE

6 C

ONCLUSION

6.1 R´ecapitulatif

L

Ebut de cette thèse a été d’approfondir les connaissances des propriétés thermiques des na-

nostructures semiconductrices, de silicium et de germanium, que l’on trouve fréquemment dans l’industrie électronique. Pour cela, il a été construit un programme de résolution de l’équation de Boltzmann par la méthode des ordonnées discrètes et avec l’intensité des phonons comme fonction de distribution. Rappelons que l’équation de Boltzmann est largement utilisée en rayon- nement pour simuler les transferts radiatifs (39; 68; 80). Elle est également appliquée pour les études des transferts de chaleur dans des solides à des échelles de temps et d’espace ultra- courtes (62; 75; 90; 110; 114). Notons aussi que la méthode des ordonnées discrètes a déjà été utilisée pour la résolution de l’équation de Boltzmann (39; 51; 67; 115). Elle se présente ainsi comme une méthode confirmée de la résolution de l’équation de Boltzmann dans la prédiction des transferts de chaleur à petites échelles de temps et d’espace.

Par rapport aux études déjà réalisées, l’innovation principale de ce travail a été d’introduire les dépendances spectrales des vitesses dans l’équation de Boltzmann. Pour cela, nous nous sommes appuyés sur des relations de dispersion réelles des phonons, pour le silicium (87) et pour le germanium (82). Ceci constitue une amélioration des travaux publiés auparavant dans la littérature où sont utilisées des relations de dispersion linéaires (3; 115; 116) ou linéaires par section (47; 97; 73). Ces dernières présentent l’avantage d’approcher ou de moyenner les vitesses des phonons. Ces hypothèses simplifient la résolution de l’équation de Boltzmann et permettent de prédire rapidement les propriétés thermiques des semiconducteurs. Néanmoins, ces modèles ne s’appliquent que pour des échantillons bien définis (115; 116) et/ou ne permettent pas une analyse temporelle fine, du fait que les vitesses des phonons sont moyennées. De plus, la méthode des ordonnées discrètes permet l’étude des propriétés thermiques dans toutes les directions de l’espace, contrairement à la méthode de Monte Carlo.

Par ailleurs, l’introduction des dispersions réelles dans l’équation de Boltzmann a nécessité la détermination de nouveaux paramètres des temps de relaxation. En effet, le terme de collision de l’équation de Boltzmann a été écrit dans l’approximation du temps de relaxation. Nous avons repris, pour l’écriture de ces termes, les expressions des temps de relaxation utilisés par Holland (47). En appliquant ces expressions de temps de relaxation avec une relation de dispersion différente de celle donnée par Holland, on obtient une différence (31) entre les propriétés thermiques mesurées (41; 47; 98) et calculées. Nous avons, par conséquent, proposé de nouveaux paramètres pour les formulations des temps de relaxation de Holland qui permettent de retrouver les propriétés thermiques du silicium et du germanium massif sur une large gamme de température.

Les nouveaux paramétres des temps de relaxation étant déterminés, la résolution de l’équation de Boltzmann a d’abord été faite en régime stationnaire (_∂t∂ = 0), pour des micro/nanofilms

et nanofils de silicium. Les études sur le germanium ont été moins approfondies, car lors des calculs des nouveaux paramètres des temps de relaxation, nous nous sommes rendus compte que les propriétés de ce matériau sont très sensibles aux variations des paramètres. Cette sen- sibilité provient de la relation de dispersion du germanium qui est très aplatie et à la sensibi- lité des propriétés du matériau à la présence d’impuretés qui a été confirmée par des mesures expérimentales (3; 40; 41; 47; 97; 98).

Ainsi, le travail réalisé sur les propriétés thermiques cross-plane des films de silicium a montré les limites des systèmes macroscopiques. En effet, on a constaté que le régime de Fourier ne peut s’appliquer qu’à des films dont l’épaisseur est supérieure au micromètre, quelle que soit la température du milieu. Les calculs des propriétés in-plane des films ont validé le modèle numérique, où l’on a observé un accord entre nos valeurs et les mesures expérimentales. Ces résultats ont révélé une anisotropie des propriétés thermiques. En effet, ces dernières varient en fonction de la direction d’étude du film.

Les résultats obtenus pour des nanofils de silicium, avec la méthode présentée dans ce travail, sont en accord avec les valeurs expérimentales (71). On montre également, à travers les champs de températures, que le régime décrivant les transferts de chaleur au sein des nanofils, à la différence des films, est le régime de Fourier, quelle que soit la température. Pour les analyses des fils et des films crossplane, l’équation de Boltzmann a été écrite en coordonnées cylin- driques. L’écriture en coordonnées cartésiennes a permis de prédire les propriétés thermiques in-plane dans les films de silicium.

Enfin, en régime stationnaire, l’importance de la dépendance spectrale est vérifiée par la com- paraison de notre modèle avec un modèle simplifié (114; 115). Ce dernier est caractérisé par une relation de dispersion linéaire et par une seule valeur de libre parcours moyen. Le modèle réalisé ici, définit un libre parcours moyen dépendant de la polarisation, de la fréquence et de la température dans le milieu étudié. Les différences obtenues se sont parfois élevées jusqu’à30%.

La résolution de l’équation de Boltzmann avec les nouveaux paramètres de temps de relaxation permet, contrairement aux modèles simplifiés, de prédire les propriétés thermiques à n’importe quelle température et pour n’importe quelle structure dont les dimensions sont supérieures à40

nm. En-deça, nous ne savons si les résultats approchent correctement la physique induite, car la relation de dispersion correspond aux modes du silicium massif et les résultats obtenus pour des fils de diamètre infèrieur à37 nm s’écartent des valeurs expérimentales.

Après avoir montré différents résultats en régime stationnaire, la programmation a été également développée en régime instationnaire pour permettre l’analyse des transferts de chaleur en fonction du temps. La première simulation a été d’établir un échelon (step en anglais) de température dans les nanofilms et les nanofils. Celui-ci a permis de décrire le transfert de chaleur en début de chauffage d’une nanostructure. Il a permis également d’évaluer le temps nécessaire jusqu’à l’obtention d’un régime établi.

Pour les films, à basse température, on a montré que le régime obtenu est proche du régime balistique, où le déplacement des phonons se différencie en fonction de leur polarisation. En effet, la vitesse de groupe des phonons longitudinaux est plus élevée, pour une même fréquence ou un même vecteur d’onde, que celle des particules transverses. Deux vagues de propagation

6.2 PERSPECTIVES 129

se dissocient avec celle des phonons longitudinaux se déplaçant plus rapidement. À température ambiante, les transferts de chaleur dans le film sont proches du régime de Fourier. À l’opposé d’une évolution à basse température, il reste, dans ce cas, des phonons qui traversent le film sans aucune interaction résistive. C’est pourquoi, un saut de température a été observé aux interfaces du film. Ces simulations de réponse à un échelon à basse et à température ambiante ont été faites sur des fils. On a obtenu, dans tous les cas, le régime de Fourier et on a constaté que l’évolution de la température est beaucoup plus lente dans un fil à basse température que dans un film, de même longueur, à température ambiante.

De la même manière, nous avons réalisé des simulations dans lesquelles les films et les fils sont soumis à des impulsions de température. Ces simulations de réponse à une impulsion ont été faites à basse et à température ambiante. Dans le film de deux micromètres d’épaisseur, on a montré qu’à basse température, les polarisations des phonons jouent un rôle sur leur propagation. Dans les autres cas, l’impulsion est similaire au régime diffusif, où la variation de la température est beaucoup plus lente. De plus, on a remarqué que sur des petites échelles de temps, les phonons n’ont pas le temps de parcourir une grande distance. En effet, l’équation de Boltzmann prend en compte la vitesse des particules qui nécessitent un certain intervalle de temps pour parcourir une distance définie. Autrement dit, la température évolue que si les phonons ont pu se propager dans le système. Cette dernière observation n’est pas réalisable lorsque l’on résoud l’équation de la chaleur qui considére que la vitesse des particules est infinie. Enfin, pour simuler un chauffage par laser, la zone de l’impulsion a été localisée et la distribution des phonons due au chauffage sur la surface noire a été prise comme nulle pour les phonons transverses. Nous avons considérons que le laser femtoseconde, en chauffant orthogonalement la paroi, ne crée que des phonons longitudinaux, en z = 0. Malheureusement, les résultats

obtenus ont montré que quelle que soit la quadrature choisie des effets de rayon apparaˆıssent en régime balistique. En effet, les quadratures multidirectionnelles ne distribue pas de façon isotrope l’intensité d’un corps noir. Néanmoins, nous avons constaté que la propagation des phonons n’est plus entièrement suivant les z positifs. Certains phonons, après collision avec la paroi adiabatique et diffuse, reviennent sur la surface d’où l’impulsion a pris naissance.

6.2 Perspectives

Dans ce travail, plusieurs hypothèses sont toujours présentes. En premier lieu, les structures des semiconducteurs ont été établies comme isotropes. L’utilisation des relations de dispersion en fonction de la direction de propagation peut donner de nouveaux résultats. En effet, il a été montré que la relation de dispersion jouait un rôle majeur dans les transferts de chaleur aux petites échelles. Il est possible qu’également la relaxation des particules n’ait plus les mêmes paramètres, voire les mêmes formes de temps, car la description des processus Normaux et Umklapp est basée sur l’hypothèse d’un milieu isotrope. La propagation temporelle aurait alors un autre comportement que dans le modèle étudié ici.

En second lieu, l’influence des modes optiques a été négligée, alors que leurs relations de dispersion réelles pourraient être implantées (87). L’insertion des phonons optiques, dans ce problème, permettrait d’analyser plus correctement le comportement thermique des semiconducteurs à très haute température. Nous pourrions vérifier si leur présence est négligeable et

peut-être déterminer un seuil de température où leur abscence ne serait plus négligeable. Leur prise en compte introduirait de nouveaux paramètres pour les relaxations de ces particules (17). D’autre part, lors des analyses des propriétés thermiques des nanostructures, nous avons proposé des résultats pour des dimensions inférieures à40 nm. Or, la relation de dispersion mise en pra-

tique dans ce travail est établie pour du silicium massif. Ces résultats ne sont présentés que pour montrer l’évolution mathématique de la résolution de l’équation de Boltzmann. Ainsi, calculer les relations de dispersion pour des faibles dimensions permettrait de réduire les échelles spa- tiales et d’obtenir des résultats plus représentatifs de la réalité. Nous pourrions alors déterminer si les valeurs des propriétés thermiques obtenues correspondent au comportement physique des petites nanostructures. De plus, à ces très petites échelles, les effets ondulatoires peuvent ap- paraˆıtre. Aussi, existe-t-il, dans le cas où la résolution de l’équation de Boltzmann n’est plus

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