4.2 Nouveaux temps de relaxations
4.2.1 Silicium
4.2.1.1 Coefficients des temps de relaxation
Dans chacun des termeskT,kT UetkL, les contributions des phonons rentrant en contact avec les
parois et avec les impuret´es sont pr´esentes. C’est pourquoi, nous cherchons d’abord `a red´efinir les coefficientsF et A appartenant aux relaxations d´ecrivant respectivement ces ph´enom`enes.
La figure 4.1 repr´esente les valeurs des conductivit´es `a obtenir avec les diff´erentes contribu- tions de kT, kT U et kL. Pour des faibles temp´eratures, les ph´enom`enes anharmoniques sont
n´egligeables devant les impuret´es et les parois (45; 47; 60; 99). Par cons´equent, les param`etres
F et A sont ajust´es `a faible temp´erature.
Apr`es avoir obtenuF et A, il reste `a d´eterminer le dernier coefficient (BT) qui intervient dans
la conductivit´ekT. La valeur deBT est ajust´ee aux alentours de20 K, maximum de la conduc-
tivit´e totale et ´egalement de la conductivit´e due aux phonons transverses ayant des processus Normaux. `A l’inverse, le facteurBT Uest calcul´e `a haute temp´erature, o`u les processus Umklapp
sont dominants. La r´epartition des conductivit´es obtenues avec la m´ethode de Holland (Fig.4.1) r´ev`ele, `a haute temp´erature, une plus grande contribution des modes transverses par rapport aux modes longitudinaux. Ceci s’explique par le nombre plus important de phonons transverses,
enclins aux processus Umklapp (∼ 2.37 1029 phonons par unit´e de volume), que de phonons longitudinaux (∼ 4.77 1028 phonons par unit´e de volume). Les nombres de phonons ont ´et´e calcul´es , `aT = 1000 K, par l’´equation suivante :
N = Z ω(Kmax) ω(Kmax/2) D(ω) 1 exp(k¯hω BT) − 1 dω, (4.3)
avec N le nombre de phonons par unit´e de volume sujets aux processus Umklapp, D(ω), la
densit´e d’´etat par unit´e de volume et par unit´e de fr´equence (Eqn.2.7 et Fig.2.6).
On remarque ´egalement que lorsquekT est dominant,kT U est n´egligeable et vice versa si bien
que l’ordre d’obtention des valeurs de BT et de BT U n’a pas d’importance. En revanche, la
d´etermination du termeBLest r´ealis´ee en dernier car lorsque la conductivit´e des modes longi-
tudinaux est au plus ´elev´ee, la contribution des modes transversaux n’est pas n´egligeable. Ce dernier coefficient est ajust´e aux alentours de100 K.
Les valeurs des coefficients F , A, BL, BT et BU obtenus sont donn´ees dans le tableau 4.1.
Les ordres de grandeur des diff´erents param`etresA et BT sont similaires. PourBT U etBL, ils
sont moiti´es moins ´elev´es que les valeurs de Holland. Ce qui implique que τT U−1 et τL−1 dimi- nuent, c’est-`a-dire que leurs temps de collision respectifs augmentent. Dans notre mod`ele, en comparaison avec celui de Holland, le nombre de collisions des phonons est plus faible.
Holland Travail pr´esent
F 0.8 0.66
A (s3) 1.32 10−45 1.498 10−45
BT (K−3) 9.3 10−13 8.708 10−13
BT U (s) 5.5 10−18 2.890 10−18
BL(K−3) 2.0 10−24 1.180 10−24
TAB. 4.1: Param`etres pour les temps de relaxation du silicium.
Rappel : Les modes optiques ne sont pas consid´er´es dans ce travail. Par cons´equent, la d´etermination du coefficient BT U est r´ealis´ee de mani`ere `a approcher les propri´et´es thermiques `a tr`es haute
temp´erature. Le mod`ele r´ealis´e ici ne d´ecrit pas enti`erement la physique mise en jeu.
4.2.1.2 Validation des param`etres
La validation des nouveaux coefficients devrait se faire sur des structures massives. Nous faisons alors l’hypoth`ese que la dimension de l’´echantillon de silicium de 7.16 mm est suffisamment
grande pour que l’on puisse consid´erer le mat´eriau comme massif (appel´e ”bulk” en anglais). Les r´esultats obtenus par la m´ethode propos´ee par Holland ainsi que les valeurs exp´erimentales de C. Glassbrenner (41) servent d’objectif `a atteindre.
Un premier relev´e de donn´ees est calcul´e sur un film (cross-plane) d’´epaisseur 7.16 mm. La
condition aux limites sur les parois adiabatiques est choisie en imposant le coefficient de r´eflexion diffuse (ρ) ´egale `a 0. On rappelle que le param`etre F n’intervient pas dans la r´esolution de
4.2 NOUVEAUX TEMPS DE RELAXATIONS 55
figure 4.5 montre que pour des temp´eratures plus grandes que100 K, les conductivit´es obtenues
correspondent aux valeurs exp´erimentales ainsi qu’au mod`ele de Holland. LorsqueT < 100 K,
la conductivit´ek est l´eg`erement plus ´elev´ee. Cependant, dans ce r´egime, un grand nombre de
phonons sont balistiques ce qui fait que l’on sort du r´egime de diffusion dans lequel la loi de Fourier est valable. L’existence mˆeme du concept de conductivit´e peut ˆetre questionn´ee.
100 101 102 103 101 102 103 T (K) k (W/(m.K)) Holland
Holland et dispersion de Pop Terris (fil)
Terris (film) Glassbrenner
FIG. 4.5: ´Etude des propri´et´es thermiques d’une structure de silicium de dimension ca- ract´eristique ´egale `a 7.16 mm. La ligne continue est la conductivit´e calcul´ee par le mod`ele
de Holland, avec les temps de relaxation et la relation de dispersion associ´es. Les pointill´es repr´esentent la conductivit´e obtenue par le mod`ele de Holland, avec ses temps de relaxation mais avec la relation de dispersion r´eelle (87). Les anneaux (◦) et les points pleins (•) sont les conductivit´es d´etermin´ees par la r´esolution de la BTE avec les nouveaux param`etres des temps de relaxation associ´es `a la dispersion r´eelle. Les anneaux (◦) d´efinissent les valeurs du film (cross-plane) avecρ = 0. Les points pleins (•) sont les r´esultats obtenus pour le fil avec ρ = 1. Enfin, les croix (+) sont les mesures des conductivit´es exp´erimentales de Glassbrenner.
En r´esolvant la BTE pour des films en cross-plane, les collisions des phonons avec les parois peuvent ˆetre consid´er´ees comme nulles car une r´eflexion sp´eculaire conserve le moment suivant
z. L’application de la BTE sur un fil introduit les collisions, manquantes, avec les fronti`eres. La
dimension caract´eristique de l’´echantillon correspond alors au diam`etre du fil. Le coefficientρ
est initialis´e `a1. La figure 4.5 montre que pour un fil de dimensions D = L = 7.16 mm, les
conductivit´es obtenues pour des temp´eratures≥ 100 K sont similaires aux valeurs souhait´ees. PourT < 100 K, nous observons des conductivit´es plus faibles que celle du mod`ele de Holland.
Cependant, la validation des nouveaux param`etres pour le silicium est r´ealisable, car pour toute temp´erature il existe un coefficient de r´eflexion diffuse compris entre0 et 1 (0 ≤ ρ ≤ 1), telle que la conductivit´e calcul´ee par la BTE soit proche des valeurs exp´erimentales.