Transfert de chaleur `a basse temp´erature

5.2 Evolution temporelle des structures soumises à un échelon de température

5.2.1 Film

5.2.1.1 Transfert de chaleur `a basse temp´erature

Une première analyse à basse température (Fig.5.4), permet de révéler le comportement du transfert de chaleur en régime balistique (Fig.4.13 et Fig.4.15).

On remarque l’évolution de deux vagues de température au sein du film. Ces vagues représentent la propagation de l’énergie due aux phonons longitudinaux et aux phonons transversaux. Pour une même fréquence ou pour un même vecteur d’onde, la vitesse de groupe des phonons longitudinaux est toujours plus élevée que celle des phonons transversaux. C’est pourquoi la vague la plus rapide correspond à la polarisation longitudinale.

A 300 ps, la température près de la paroi froide augmente. Ceci montre qu’une quantité de

phonons longitudinaux a traversé le film. Si l’on regarde la première bande spectrale des phonons longitudinaux, la vitesse de groupe correspondante, qui est la plus grande du système, a pour valeur8972 m.s−1_{. Les phonons de ce paquet d’ondes peuvent traverser le film de} _{2 µm}

d’épaisseur en 223 ps. L’ordre de grandeur du temps de traversée correspond bien au résultat

obtenu. `

A t = 1.5 ns, le front montant de la vague des phonons longitudinaux a enti`erement atteint

0 0.5 1 1.5 2 x 10−6 8.4 8.6 8.8 9 9.2 9.4 9.6 9.8 10 z(m) T(K) 20ps 60ps 100ps 200ps 300ps 500ps 700ps 1ns 1.5ns 2ns 4ns

FIG. 5.4: Profil de température dans un film de 2 µm d’épaisseur, aux voisinage de 10 K, à

diff´erents temps.

quasiment nul. Or, la plus petite vitesse de groupe des phonons longitudinaux est d’environ

4421 m.s−1_{. Elle correspond `a la vitesse de groupe de la plus grande fr´equence de la polarisation}

longitudinale. De plus, pour parcourir2 µm en 1.5 ns, la vitesse de groupe doit ˆetre sup´erieure

ou égale à1333 m.s−1_{, ce qui est le cas pour les phonons longitudinaux. Néanmoins, le parcours}

des phonons n’est pas obligatoirement orthogonal au film de sorte qu’il est supérieur ou égal à 2 µm. En utilisant une quadrature S8, la plus petite valeur du cosinus directeur suivant z

est d’environ ξ = 0.1691. Dans le schéma numérique présenté ici, le plus grand chemin que

peut parcourir un phonon, de polarisation longitudinale, sans collision autre qu’une r´eflexion sp´eculaire, est de_{2/0.1691 ≃ 11.825 µm, soit pour un temps de parcours maximal de 2.675 ns.} Or, pour parcourir la distance de11.825 µm en 1.5 ns, la vitesse requise est de 7883 m.s−1_{, ce}

qui correspond `a un vecteur d’ondeKL≃ 2.82 109 m.rad−1 < Kmax/2.

La figure 5.5 montre le nombre de phonons présents par unité de volume à10 K (Eqn.4.3). La

fréquence limite séparant, dans notre modèle, les processus normaux des processus Umklapp pour la polarisation longitudinale estωL(Kmax/2) = 4.54 1013rad.s−1. On distingue qu’effec-

tivement le nombre de phonons ayant un vecteur d’onde supérieur àKmax/2 est négligeable.

De ce fait, il y a très peu de phonons longitudinaux à haute fréquence. En somme, on vérifie bien que les processus Umklapp sont négligeables pour les phonons longitudinaux et l’on peut considérer que la quantité de phonons longitudinaux traversant le film s’est stabilisé àt = 1.5

ns.

Dans la mesure où il n’y a eu aucun processus Umklapp ou Normal et sachant même que deux phonons de polarisation transverse peuvent donner un phonon de polarisation longitudinale (62; 99), à1.5 ns, il n’y aurait plus que des phonons transverses composant la deuxième vague.

5.2 EVOLUTION TEMPORELLE DES STRUCTURES SOUMISES A UN` ECHELON DE´ TEMPERATURE´ 87 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 1013 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9x 10 11 ω (rad/s)

Nombre de phonons par unité de volume

Transversal Longitudinal

FIG. 5.5: Nombre de phonons présents par unité de volume de silicium àT = 10 K.

vague de température, est négligeable. La figure 5.4 montre que le régime transitoire total se stabilise à t = 4 ns. La vitesse moyenne des derniers phonons transverses atteignant la paroi

froide est de 500 m.s−1 _{suivant z. De surcroˆıt, la plus petite vitesse des phonons, qui est pour}

la dernière bande fréquencielle de la polarisation transversale, est de44 m.s−1_{. D’un autre côté,}

la vitesse minimale suivant z pour traverser le film est suivant la direction ayant le cosinus directeur _{ξ ≃ 0.1691. Pour les phonons se propageant dans cette direction, il s’agit ainsi de} parcourir environ 11.825 µm avant d’atteindre la paroi froide sans collision, si bien que leur

vitesse de groupe doit être supérieure à 11.825 10−6_{/4 10}−9 _{≃ 2959 m.s}−1_{. Cette vitesse de}

groupe correspond, pour les modes transverses, `a un vecteur d’ondeKT ≤ 5.031 109 m.rad−1

< Kmax/2. La fr´equence s´eparant les processus normaux des processus Umklapp est, pour la

polarisation transverse, ωT(Kmax/2) = 2.27 1013 rad.s−1. On observe, sur figure 5.5, que le

nombre de phonons ayant un vecteur d’onde supérieur àKmax/2 est négligeable. On considère

que la présence des phénomènes Umklapp pour les phonons transverses peut être négligée et que la majorité des phonons transverses a bien traversé le film de 2 µm d’épaisseur en 4 ns.

On notera, cependant, qu’il existe toujours des phonons qui subissent des processus Umklapp (Fig.5.6). En revanche, leur contribution à l’évolution de la température est négligeable.

Après avoir souligné que les phonons, dans le film, à basse température, ont un vecteur d’onde plus petit queKmax/2, faisons une analyse de la température lorsque le régime instationnaire

0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 1013 10−15 10−10 10−5 100 105 1010 1015 ω (rad/s)

Nombre de phonons par unité de volume

Transversal Longitudinal

FIG. 5.6: Nombre de phonons présents par unité de volume de silicium àT = 10 K.

forme :

T_moy4 = T

f roid+ Tchaud4

2 . (5.8)

Cette expression de température du solide est proposée de façon analogue à la température équivalente obtenue en rayonnement thermique dans un milieu transparent. C’est pourquoi, dans la simulation d’un échelon à basse température dans un film, la température chaude a été fixée de manière à obtenirTmoy = 10 K avec Tf roid = 8.5 K. Pourtant, la température finale,

dans la figure 5.4 àt = 4 ns, n’est pas constante sur l’épaisseur et ne vaut pas tout à fait 10 K. En

considérant que le film, à basse température, est en régime balistique, nous faisons l’hypothèse que seule, la température des parois noires détermine le flux surfacique au sein du film. De surcroˆıt, lorsque la vitesse de phase est constante, l’intensité d’un corps noir et, par là même, le flux produit par ce corps sont proportionnels àT4 _{(Eqn.3.42). Or, ici, le flux surfacique des}

parois noires est d´efini la fac¸on suivante :

φ =X p πI0(TP) = TP4 k4 B 8π2_¯h3 X p Z xmaxp 0 x3_dx V2 p(x, T ) (ex− 1) , (5.9) avecx = _k¯hω

BT etVp(ω) devenant Vp(x, T ) (Eqn.3.42). La vitesse de phase est fonction de x, elle ne peut donc être extraite de la somme sur les polarisations et de l’intégrale sur les fréquences. Avec cette formulation (Eqn.5.9), la vitesse de phase dépend de la température, c’est pourquoi le flux n’est pas proportionnel àT4

5.2 EVOLUTION TEMPORELLE DES STRUCTURES SOUMISES A UN` ECHELON DE´ TEMPERATURE´ 89 0 0.5 1 1.5 2 x 10−6 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 z(m) 100*(T 5 −T 1 )/T 1 20ps 100ps 200ps 300ps 500ps 4ns

FIG. 5.7: Différence relative des profils de température, à différents temps, pour un échelon autour de10 K, sur l’axe du film de 2 µm d’épaisseur, entre un pas de temps fixé à 500 fs (T5)

et un pas de temps fix´e `a100 fs (T1), en fonction dez.

On remarque également sur l’évolution temporelle que la température diminue légèrement en fonction de z. Cette pente douce montre qu’il existe des phonons ayant des processus résistifs. Ainsi, pour obtenir un flux proportionnel à T4_{, il est nécessaire d’avoir une vitesse}

de phase constante. Cette hypothèse peut être considérée lorsque les phonons de moyenne et haute fréquences sont négligeables. L’omission des phonons de moyenne et haute fréquences est d’autant plus réaliste que la température est basse. En raison d’une très basse température, la valeurxmaxdevient importante si bien que l’intégration de(x3/Vp2(x, T ) (ex− 1))dx peut être

approch´ee parπ4_{/15, valeur de l’int´egrale lorsque x}

max → ∞. Ainsi, `a plus basse temp´erature,

le flux surfacique peut ˆetre proportionnel `aT4_.

Enfin, la diminution du pas de temps, en conservant le même maillage spatial, permet de vérifier la convergence de la résolution de l’équation de Boltzmann, en régime instationnaire, dans un nanofilm de2 µm d’épaisseur pour un échelon de température autour de 10 K. Le pas de temps ∆t est fixé à 100 fs. La figure 5.7 montre la différence relative entre les résultats obtenus pour

un pas de temps fixé à500 fs et un pas de temps fixé à 100 fs. On observe alors que la différence

relative n’exc`ede pas1% alors que le pas de temps est cinq fois plus petit. Ce r´esultat permet de

valider l’évolution de la température avec un pas de temps de500 fs, où les temps de calcul sont

inférieurs aux temps de calcul pour un pas de temps égal à 100 fs. On constate, d’autre part,

que la différence diminue avec le temps. En effet, lorsque le calcul numérique se rapproche du régime stabilisé, l’évolution de la température est moins importante qu’au début de la simulation où les transferts de chaleur se présentent par un front montant.

Dans le document Transfert de chaleur à échelles de temps et d'espace ultra-courtes : simulation numérique pour des nanofils et nanofilms de semiconducteur (Page 95-100)