4.3 Grandeurs caract´eristiques des phonons
4.3.1 Temps de relaxation des diff´erentes interactions
Les temps de relaxation du silicium ´etant ´etablis, nous discutons maintenant de leur variation en fonction de la fr´equence et de la polarisation, pour diff´erentes temp´eratures.
La figure 4.7 repr´esente l’inverse des temps de relaxation utilis´es lors de la r´esolution de la BTE, pour une temp´erature moyenne deT = 300 K. L’axe des abscisses d´ecrit les fr´equences
des phonons, en rad.s−1. L’axe des ordonn´ees repr´esente l’inverse des temps de relaxation,
en s−1. Les polarisations longitudinales sont repr´esent´ees par les lignes continues, les modes transversaux par les tirets. La couleur verte repr´esente les collisions avec les fronti`eres, le rouge correspond aux processus Normaux et Umklapp et enfin le bleu sch´ematise les impuret´es. Les temps de relaxation sont repr´esent´es par leurs inverses, car lorsque ces derniers augmentent, les temps diminuent, ce qui signifient que le nombre de collisions, par fr´equence, augmente. Ainsi, les inverses des temps sont repr´esentatifs du nombre de collisions des phonons en fonc- tion de leur fr´equence et ne sont compar´es qu’entre mˆemes polarisations.
4.3 GRANDEURS CARACTERISTIQUES DES PHONONS´ 59 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 1013 100 102 104 106 108 1010 1012
Fréquence des ondes (rad/s)
τ −1 (s −1 ) Processus NU (Longitudinale) Processus NU (Transversale)
Collisions aux frontières (Longitudinale) Collisions aux frontières (Transversale) Impuretés (Longitudinale)
Impuretés (Transversale)
FIG. 4.7: Repr´esentation des inverses des temps de relaxation (s−1), en fonction des fr´equences
(rad.s−1), par polarisation, pris en compte dans la r´esolution de la BTE, `a300 K. Les collisions
avec les fronti`eres sont repr´esent´ees parτBC−1 = Vg
D, avecD = 37 nm.
trait´ees par les conditions aux limites (parois adiabatiques, Eqn.3.6). Les inverses de temps
τBC−1 = Vg
D correspondent aux temps moyens des collisions des phonons avec les parois pour un
syst`eme monodimensionnel. `
A 300 K, pour les modes longitudinaux, les collisions avec les parois, si elles existent, sont
dominantes pour les basses fr´equences. Viennent ensuite les processus Normaux et enfin les impuret´es. `A hautes fr´equences, les collisions avec les fronti`eres et les processus Umklapp sont du mˆeme ordre de grandeur. Par contre, les collisions avec les impuret´es sont les moins nombreuses quelle que soit la fr´equence.
Pour la polarisation transversale, il est difficile de consid´erer, comme pour les modes longitu- dinaux, que les collisions avec les parois dominent. En effet, pour les tr`es basses fr´equences, un ordre de grandeur minore les processus Normaux des collisions aux fronti`eres. Par contre, `a partir deω > 1013rad.s−1, les processus Normaux sont du mˆeme ordre de grandeur que la
r´eflexion diffuse. D’autre part, les processsus Umklapp sont moins nombreux, par fr´equence, que les collisions avec les fronti`eres, `a l’exception faite des tr`es hautes fr´equences transverses o`u l’on observe une diminution consid´erable des r´eflexions diffuses et isotropes. En effet, la vitesse de groupe des hautes fr´equences transverses s’approche de la vitesse nulle (Fig.3.12). Enfin, et de la mˆeme fac¸on que les modes longitudinaux, les collisions avec les impuret´es sont les moins importantes sur tout le spectre.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 1013 100 102 104 106 108 1010 1012 1014
Fréquence des ondes (rad/s)
τ −1 (s −1 ) Processus NU (Longitudinale) Processus NU (Transversale)
Collisions aux frontières (Longitudinale) Collisions aux frontières (Transversale) Impuretés (Longitudinale)
Impuretés (Transversale)
FIG. 4.8: Repr´esentation des inverses des temps de relaxation (s−1), en fonction des fr´equences
(rad.s−1), par polarisation, pris en compte dans la r´esolution de la BTE, `a1500 K. Les collisions
avec les fronti`eres sont repr´esent´ees parτBC−1 = Vg
D, avecD = 37 nm.
Nous rappelons que tous les temps de relaxation ne sont pas d´ependants de la temp´erature (Tab.3.1). C’est pourquoi, le nombre de collisions avec les fronti`eres ou avec les impuret´es ne varie pas quelle que soit la temp´erature. Par contre, si l’on augmente la temp´erature au sein du syst`eme, le nombre de collisions de phonons dus aux ph´enom`enes anharmoniques s’accroˆıt. La figure 4.8 repr´esente l’inverse des temps de relaxation du silicium, en fonction de la fr´equence, pour une temp´erature de1500 K. On distingue, qu’effectivement, les collisions dues aux pro-
cessus Normaux et Umklapp ont augment´e consid´erablement par rapport `a une temp´erature de
300 K (Fig.4.7). Pour les modes longitudinaux, exception faite des basses fr´equences o`u les
ph´enom`enes r´esistifs des fronti`eres dominent, les processus anharmoniques deviennent pr´epon- d´erants `a toute autre interaction. Pour les modes transverses, les processus Normaux sont domi- nants alors que les processus Umklapp sont du mˆeme ordre de grandeur que les collisions avec les parois. Quant aux collisions avec les impuret´es, elles sont n´egligeables devant les processus anharmoniques.
A l’oppos´e, si l’on diminue la temp´erature (Fig.4.9), ce sont les r´eflexions diffuses qui sont les interactions les plus r´esistives au sein des nanofils. Les impuret´es jouent ´egalement un rˆole majeur. D’un autre cˆot´e les ph´enom`enes anharmoniques n’ont pratiquement aucune influence sur le nombre de collision, sauf peut-ˆetre dans le cas des films cross-plane, o`u les collisions `a basse fr´equence sont du mˆeme ordre de grandeur que celles dues aux impuret´es.
4.3 GRANDEURS CARACTERISTIQUES DES PHONONS´ 61 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 1013 10−2 100 102 104 106 108 1010 1012
Fréquence des ondes (rad/s)
τ −1 (s −1 ) Processus NU (Longitudinale) Processus NU (Transversale)
Collisions aux frontières (Longitudinale) Collisions aux frontières (Transversale) Impuretés (Longitudinale)
Impuretés (Transversale)
FIG. 4.9: Repr´esentation des inverses des temps de relaxation (s−1), en fonction des fr´equences (rad.s−1), par polarisation, pris en compte dans la r´esolution de la BTE, `a10 K. Les collisions
avec les fronti`eres sont repr´esent´ees parτBC−1 = Vg
D, avecD = 37 nm.
Il est `a noter que les collisions avec les parois sont sch´ematis´ees pour un nanofil de diam`etre ´egal `a37 nm. Pour un fil de 3 microns de diam`etre `a 300 K, la r´esistivit´e due aux parois est d´ej`a
inf´erieure aux processus normaux (division deτ−1par∼ 100).