Approximation de fonctions
9.1 Topologie et approximation de fonctions caractéris- caractéris-tiques
On trouvera ici des lemmes qui seront des outils utiles pour les démonstrations ultérieures. On peut se référer au livre "analyse réelle et complexe" de Rudin.
9.1.1 Intercalation d’ouverts relativement compacts entre un ou-vert et un compact
Lemme 410 SoitXun espace séparé localement compact,U un ouvert deX, etK un ensemble compact inclus dansU. Alors il existe un ouvert V deX relativement compactatel queK⊂V ⊂V ⊂U.
aC’est-à-dire d’adhérence dansXcompacte.
Le lemme d’Urysohn411se prouve facilement en utilisant ce résultat.
Démonstration : •Construisons tout d’abordV ouvert contenantK, avecV com-pact
- SoitKxun voisinage compact dex, pourx∈K - SoitVxl’intérieur deKx
- LesVxrecouvrentK, on peut donc en extraire un recouvrement fini∪x∈IVx
- la réunionV desVx, pourxdansI, convient.
•SiU =X,V convient.
•Sinon, soitFle complémentaire deU. Bien entendu il est fermé.
•Pourxdans F définissons Tx ouvert contenantKavecx 6∈ Tx. Un tel ouvert existe, par le théorème176.
•Définissons alorsKx=Tx∩F∩V (voir figure9.1.
•L’intersection desKxpourxdansFest vide, car chaquexdeFn’appartient pas àTx, donc pas à∩yTy.
•LesKxsont fermés dans un compactV. Donc par la propriété174, on peut en extraire une sous-famille(Kx)x∈Jfinie telle que l’intersection soit vide.
•Alors∩x∈JTx∩V convient (rappelons qu’un fermé d’un compact est compact,
K x Tx
9.1.2 Séparation d’un compact et d’un fermé
Lemme 411 (Lemme d’Urysohn) Soit X un espace topologique séparé localement compact,U un ouvert deX,K un compact deX inclus dansU. Alors il existe une fonctionf continue deXdans[0,1]telle que
x∈K→f(x) = 1 x6∈U →f(x) = 0
Ne pas utiliser un théorème difficile dans un cas simple : dans le cas d’un espace métrique, la fonction qui àxassocie d(x,Xd(x,X\U)
\U)+d(x,K)convient.
Dans le cas deRn, on trouvera une preuve plus simple avec le théorème413 (utilisant la convolution). En outre, la fonction construite seraC∞.
Cela revient à avoir un compact, un fermé disjoint du compact, et à définir une fonction continue égale à1sur le compact et à0sur le fermé.
Démonstration :
•Par le lemme410(appliqué deux fois), construisonsV0etV1deux ouverts relati-vement compacts1tels que
K⊂V0⊂V0⊂V1⊂V1⊂U
•Soitq0, ..., qn, ...une bijection deNsurQ∩[0,1], avecq0= 0etq1= 1.
•Supposons construits(Vqi)pouri ∈ {0,1, ...n} des ouverts relativement com-pacts tels queqi< qjimpliqueVqi ⊂Vqj pourietjdans{0,1, ...n}.
•Alors le lemme410permet de construireVqn+1.
•On construit ainsi une famille de fermés indexés par les éléments de Ratio = Q∩[0,1], avecq < p⇒Vq ⊂Vp.
1D’ adhérences compactes.
•Définissons alors, pourq ∈ Ratio,fq = (1−q)χVq, etgq = qχV
q+ (1−q) (voir figure9.2).
•Puisf =supq∈Ratiofq, etg=infq∈Ratiogq.
•Nous avons donc, par la proposition103,f semi-continue inférieurement etg semi-continue supérieurement.
1
1-p 1-p
Vp Vp
FIG. 9.2 – Graphe defq(à gauche) etgq (à droite).
•Il est clair queχK ≤getχU ≥f.
•Il suffit de montrer (par la proposition103) quef =g; ainsif, semi-continue à la fois supérieurement et inférieurement, sera continue.
•Supposons quef(x)> g(x).
- Alors∃p, q∈Ratiotels que
fp(x)> gq(x) - Doncx6∈Vq,x∈Vp, et doncq < p
- Par contre (voir figure9.2)1−p >1−q; ce qui est contradictoire avecq < p.
•Supposons maintenant quef(x)< g(x).
- Alors on peut trouver(p, q)∈Ratio2tels que f(x)<1−p <1−q < g(x) - Alors par définition du sup et de l’inf :
fp(x)<1−p <1−q < gq(x)
- On en déduit alorsx 6∈ Vp et x ∈ Vq, ce qui implique p < q, et contredit 1−p <1−q.ut
On trouvera par exemple une application dans la partie 5.6.9sur le cube de Hilbert. Les autres versions de lemmes d’Urysohn (voir lemme413) auront d’autres
9.1.3 Approximation d’un ensemble mesurable par une fonction C
∞Proposition 412 SoitEun ensemble mesurable de mesure finie deRn, et soit >0.
Alors il existe une fonctionf C∞telle que χE≤f ≤χV2(E)
avecVt(E)l’ensemble des éléments à distance< tdeE.
Démonstration :
•SoitEun tel ensemble.
•Définissonsfn=χV1/n(E)∗ρ1/n, avecρ1/nla fonction définie par le corollaire 395(de support inclus dansB(0,1/n)et d’intégrale1, étant en outre de classeC∞).
•fn est bien définie et L1, car ρ1/netχV1/n(E) sontL1 (voir propriété389 du produit de convolution).
•fnestC∞, par la propriété392.
•Tout d’abord on remarque queχE ≤fn
En effet, six∈E, alorsfn(x)est l’intégrale deρ1/nsur une boule de rayon(sur cette boule en effetχV1/n(E)vaut1- l’intégrale defny est donc égale à l’intégrale de ρ1/n, donc1).
•Ensuitefn≤χV2(E)pournassez grand.
- on le montre tout d’abord pourχV2(E)(x) = 0. Pour cela, siχV2(E)(x) = 0, on note qued(x, E)>3/2, alors si1/n≤,
fn(x) = Z
χV1/n(E)(x−y)ρ(y)dµ(y)
= Z
kyk≤1/n
χV1/n(x−y)ρ1/n(y)dµ(y)
= 0
-f est par ailleurs toujours inférieure à1. D’où le résultat, en choisissantf =fn pournassez grand.ut
9.1.4 Lemme d’Urysohn
Il ne s’agit ici d’une version dansRndu lemme d’Urysohn. On trouvera une version beaucoup plus générale (espace localement compact séparé) avec le lemme411. Mais pour des applications de la vie de tous les jours, ce théorème suffit, et peut même s’avé-rer plus puissant, puisqu’il fournit une fonctionC∞et non simplement une fonction continue.
Théorème 413 (Lemme d’Urysohn, deuxième version) SoitK un compact deRn,Ωun ouvert deRncontenantK, alors il existe une fonctionf C∞à support compact telle queχK ≤f ≤χΩ.
Il est plus élégant de se passer d’invoquer un tel théorème lorsque l’on peut construire manuellement une solution élégante. Notamment on peut construire manuellement une fonctionC∞deRN dansRcomprise entreχB(0,n)etχB(0,n+1). En effet, définissons
f|B(0,1)(x) =e−1−kxk1 2 f|B(0,1)c(x) = 0
Cette fonction estC∞, comme expliqué en271, et>0surB(0,1).
On définit alorsFn(x) =R
B(x,n)f(t)dµ(t).
FnestC∞, comme on s’en convainc en dérivant sous le signeR
l’expression sui-vante (équivalente par un simple changement de variable) Fn(x) = R
B(0,n)f(x+ t)dµ(t)(voir théorème381). Attention, pour appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme, il faut bien voir que chaque dérivéeDνf est majorée par une fonc-tionL1, ce qui n’est pas difficile en l’occurence, puisque toutes les dérivéesDνf sont continues à support compact.
Il est ensuite évident queFnest strictement>0surB(0, n), nulle surB(0, n+1)c, et comprise entre0et1partout.
On construit de même, pourΩouvert contenant la boule unité fermée, en considé-rantFn(x/n)pournassez grand, une fonction égale à1surB(0,1), et nulle en dehors deΩ.
Voir par exemple9.6.3ou les théorèmes421,414et422.
Démonstration :
• Il faut tout d’abord se rappeler que la distance entre un compact et un fermé disjoints est toujours>0(en effet la distance au fermé est continue, par la proposition 259, et donc son minimum est atteint sur le compact).
•Ensuite on applique le lemme412.ut
9.1.5 Partition C
∞de l’unité
Théorème 414 (PartitionC∞de l’unité) SoitKun compact inclus dansRn, inclus dans la réunion desΩipouri∈[1, p], avecΩiouvert.
Alors il existef1, ..., fpdes applicationsC∞telles que le support de fi soit inclus dansΩipour touti∈[1, p], avec
χK ≤ X
i∈[1,p]
fi≤1
Démonstration :
•On considère la famille(Bi)i∈I des boulesBtelles qu’il existei∈[1, p]tel que B⊂Ωi2. Etant donnéidansIon noteN um(i)un entier tel queBi⊂ΩN um(i).
•PuisqueKest compact, et puisqueKest (clairement !) réunion des(Bi)i∈I, on se restreint à une réunion finie(Bi)i∈J, recouvrantK.
•Commençons par prouver le théorème, sans se préoccuper de la contrainteP
ifi≤ 1.
2
• Pour cela, définissons U ryi, pouri ∈ J, une fonctionC∞ égale à1 sur Bi et nulle en dehors de ΩN um(i). Cela se fait par le lemme d’Urysohn, version 413, ou éventuellement par la remarque qui suit le dit lemme, qui montre que dans ce cas particulier on peut se passer du résultat général.
• On définit maintenant M etaU ryi, pour i ∈ [1, p], la somme desU ryj, pour j∈J etN um(j) =i.
• Il est clair, comme annoncé plus haut, que la famille(M etaU ryi)i, vérifie le théorème énoncé, à ceci près que la somme n’est pas nécéssairement inférieure ou égale à1.
•On se donne maintenant une fonctionf C∞comprise entreχKetχV(K)3, avec inférieur au double de la distance du compact au ferméFdéfini par son complémen-taire :
•On vérifie facilement que la famille ainsi construire convient.ut