Approximation de fonctions
9.2 Approximation de fonctions continues
Théorème 415 (Théorème de Stone) On se donneK un compact, etAune sous-algèbre unitaire de l’algèbreC0(K,R)des fonctions continues à valeurs réelles surK, munie de la normef 7→ kfk∞=supx∈K|f(x)|.
On suppose queAsépare les points deK, c’est à dire qu’étant donnéxety dansKil existefdansAtel quef(x)6=f(y).
AlorsAest dense dansC0(K,R).
Démonstration :
•On montre tout d’abord quex 7→√
xdéfinie sur[0,1]est dans l’adhérence de l’ensemble des polynômes, pour la normek.k∞. Pour cela on considère le développe-ment dex7→√
1−x; qui est bien défini sur[0,1[. Le problème est le développement en1. On observe alors que : est approchable uniformément par des polynômes sur[0,1].
• Montrons maintenant que sif est dansA, alors |f| est dansA. On se donne racinen(t)len-ième polynôme d’une suite de polynômes tendant vers√
tsur[0,1].
On suppose f comprise entre−1 et1(on peut se ramener à ce cas-là en divisantf
3V(K), dit-voisinage deK, est l’ensemble des points situés à une distance< deK.
par une constante suffisamment grande - on utilise ici le fait queAest unitaire (et donc contient les constantes)). Alors on constate que
racinen(f.f)→ |f|uniformément
•On montre maintenant que sinfonctionsf1, ..., fnsont dansA, alors
max{f1, f2, ..., fn}(resp.min{f1, f2, ..., fn}) est dans l’adhérence deA; en effet on peut toujours exprimer le max (resp. le min) d’un ensemble fini de fonctionsfipar des sommes et différences finies desfiet de|fi|(or|fi|est dans l’adhérence deApar le point ci-dessus).
•On montre maintenant qu’étant donnés deux pointsxety distincts de[0,1]et deux réelsXetY, il existe une applicationfdansAtelle quef(x) =Xetf(y) =Y...
Cela est facile en rappelant que Acontient les constantes (puisqu’elle est unitaire) et que Asépare les points.
•On se donne maintenant une fonctionf dansC0(K,R), >0etxdansK. On cherche à montrer qu’il existegdansAtelle queg(x) =f(x)etg(t)< f(t) +pour touttdansK.
Pour cela on considère, en utilisant le•démontré ci-dessus, pour touttdansKune fonctionftdeAégale àf enxet inférieure àx+/2ent. On considère alors pout touttdansKl’ouvertUtsurlequelftest inférieure àf+; lesUtrecouvrentKet on peut donc en extraire un recouvrement finiU =∪t∈EUt, avecEfini. Il ne reste alors qu’à considérer la fonctionmindes fonctionsftpourt∈E, et on a bien une fonction comme souhaitée.
•Maintenant on se donne une fonctionf dansC0(K,R), et on cherche à montrer que l’on peut approcherf uniformément par des fonctions deA; on aura ainsi conclu le théorème.
Pour cela, on se donne, et on associe à touttdansKune fonctiongtégale àf en t, inférieure àf+(grâce au•ci-dessus). On peut alors associer à touttun ouvertVt
tel quegt> f −surVt. On peut alors prendre pour fonctionglemaxdesgtpour t∈F, avecFfini tel que l’union desVtpourt∈F, et on a bienf−g < .ut
Un corollaire important est la densité de l’ensemble des polynômes trigonomé-triques dans l’ensembles des fonctions2Π-périodiques continues. Un autre corollaire est le suivant :
Corollaire 416 (Théorème de Weierstrass) L’ensemble des polynômes sur un compactK de Ret à coefficients dansRest dense dans l’ensemble des fonctions continues deKdansR, pour la norme uniformek.k∞.
Démonstration : C’est un corollaire immédiat du théorème de Stone ci-dessus.ut Il existe une autre preuve du théorème de Weierstrass, basée sur des arguments de probabilité. En fait précisément, ce corollaire est aussi un corollaire du théorème ci-dessous.
Théorème 417 Soitf une application continue de[0,1]dansR. On définitBn(x) =Pn
k=0Cnkf(kn)xk(1−x)n−k,n-ième polynôme de Bern-stein associé àf.
Alors la suiteBnconverge uniformément versf.
Démonstration : On remarque queBn(x)est précisément l’espérance def(Xn),
On utilise alors le module de continuitéw(f, δ)par w(f, δ) =sup|x−y|<δ|f(x)−f(y)| il est bien à valeurs dansRcarfest continue sur un compact.
NotonsM =sup|f|. Alors|f(x)−Bn(x)| ≤
w(f, δ)P(|X
n −x| ≤δ) +M P(X
n −x≥δ) +M P(X
n −x≤ −δ)
≤w(f, δ) + 2M 1
n2δ2V ar(X) (grâce à l’inégalité de Tchebytchev1333)
≤w(f, δ) + M 2nδ2
→0quandn→ ∞ D’où le résultat.ut
Attention ! Le théorème n’est valable que dans le cas des fonctions continues deK⊂RdansR; par exemple si l’on considère l’ensemble des fonctions continues deK ⊂CdansC, on constate que l’on ne peut pas approcherz7→zdu disque unité fermé dans le disque unité fermé, car
Z 2Π 0
f(eiθ).eiθdθ= 2Π
et donc si on suppose que la suite de polynômesPntend uniformément versz7→z, la suite d’intégrales ci-dessous tend vers2Π:
Z 2Π 0
Pn(eiθ).eiθdθ
Or toutes les intégrales de cette suite sont nulles (considérer l’intégrale monôme par monôme pour s’en convaincre !).
Pour que tout s’arrange, il faudrait des polynômes enzETz.
Théorème 418 (Stone, version complexe) On se donneA une sous-algèbre unitaire de l’ensemble des fonctions continues de K un compact à valeurs dansC, stable par passage au conjugué et séparant les points deK.
AlorsAest dense dansC(K,C)pour la normek.k∞.
Démonstration :
•Re f= (f+f)/2etIm f= (f−f)/2i; orAest stable par passage au conjugué, donc les parties réelles et imaginaires de fonctions deAsont dansA.
•la sous-algèbre des fonctions réelles deAsépare les points. En effet, soitxety distincts, il existe une fonctionfqui séparexety; soit la partie réelle def les sépare, soit la partie imaginaire def les sépare. Dans le premier cas on a bien ce qu’on veut
(une fonction réelle deAqui les sépare), dans le deuxième cas on multiplie pari(on considèrei×Im f) et cette fonction les sépare.
•en appliquant le théorème dans le cas réel, on peut donc conclure en approchant séparément la partie réelle et la partie imaginaire.ut
L’hypothèse sur la stabilité deApar passage au conjugué est indispensable ! En effet, on considère l’algèbreC[x], et l’application du disque unité fermé dans lui-même, définie parz7→zn’est pas holomorphe, et donc ne peut être dans l’adhérence deC[x](rappel : une limite uniforme de fonctions holomorphes est holomorphe).
FLEMMARD Elebeau n’y croit pas moi je crois que c’est ok