Intégration dans les espaces produits. Changement de variable

On rappelle qu’une tribu ouσ-algèbre surEest un sous-ensemble deP(E), conte-nantE, stable par passage au complémentaire et par union dénombrable (et du même coup par intersection dénombrable).

On rappelle aussi qu’un clan ou algèbre surEest un sous-ensemble deP(E)stable par passage au complémentaire et par union finie (et du même coup par intersection finie).

Définition 372 On se donneX etY deux espaces mesurables, munis respec-tivement de la tribuXet de la tribuY.

Un ensembleA×Best dit rectangle mesurable deX×Y siA∈ XetB∈ Y. On appelle tribu produit ouσ-algèbre produit deXetYet on noteX ⊗ Yla tribu engendré par les rectangles mesurables. Ce sera laσ-algèbre par défaut par la suite ; un ensemble mesurable deX×Y est en particulier un élément de cetteσ-algèbre .

Un sous-ensemble deX ×Y est dit ensemble élémentaire si il est réunion finie de rectangles mesurables.

Etant donnéEinclus dansX×Y etx∈X, on appelle première coupe sui-vantxdeEl’ensemble desydansY tels que(x, y)∈E.

Etant donnéEinclus dansX×Y ety∈Y, on appelle deuxième coupe sui-vantydeEl’ensemble desxdansXtels que(x, y)∈E.

Etant donnéesµX etµY des mesures sur(X,X)et(Y,Y)respectivement on appelle mesure produit deµXetµY une mesure sur(X×Y,X ⊗ Y)telle que la mesure d’un rectangle mesurableA×Bsoitµ_X(A).µ_Y(B).

Proposition 373 •L’ensemble des ensembles élémentaires est un clan.

•Un ensemble élémentaire peut sécrire comme réunion disjointe d’un nombre fini de rectangles mesurables.

•La première coupe suivantxd’un ensemble mesurable deX ⊗ Yest mesu-rable.

•La deuxième coupe suivantyd’un ensemble mesurable deX ⊗ Yest mesu-rable.

•PourE mesurable deX×Y, si on se donne deux mesures surX etY qui soientσ-finies, l’application deXdansRqui àxassocie la mesure de la pre-mière coupe suivantxdeEest mesurable

Démonstration : Les deux premiers•sont faciles.

•Le troisième est plus délicat : - SoitEdansX ⊗ Y etxdansX.

- SiEest un rectangle mesurable le résultat est clair.

- Il suffit donc de montrer que l’ensembles desFdansX ⊗ Ytels que la coupe suivant xdeF est mesurable est une tribu, ce qui est facile.ut

•Ce•est évidemment équivalent au précédent.

•Le cinquième•est admis.ut

Théorème 374 Etant donnés(X,X, µ_X)et(Y,Y, µ_Y)deux espaces mesurés de mesuresσ-finies, il existe une et une seule mesure produit deµ_X etµ_Y. Cette mesure produit est en outreσ-finie. On la noteµX⊗µY.

Démonstration : •On définitµ(E) =R

yµ(E_y)avecE_y la deuxième coupe sui-vantydeE.

•On montre facilement qu’il s’agit bien d’une mesure, en utilisant le cinquième•de la proposition précédente.

•Il est clair qu’elle vérifie l’hypothèse sur la mesure des rectangles élémentaires.

•Si deux mesures vérifient les propriétés demandées, alors elles coïncident sur le Π-système des rectangles mesurables, en outre les rectangles mesurables engendrent la tribu produit, et cette tribu produit est de mesureσ-finie (facile).

•On peut alors appliquer le lemme336(en l’étendant, ce qui est aisé, au cas des me-suresσ-finies).ut

Corollaire 375 Soitµla mesure produit ainsi définie ; alors µ(E) =

Z

y

µ(E_y) = Z

x

µ(E_x)

Démonstration : La première égalité est directement issue de la preuve ci-dessus ; la seconde est due à l’unicité de la solution et à la symétrie du problème.ut

Corollaire 376 Pour qu’un ensembleEde(X×Y)soit négligeable pourX ⊗ Y, il suffit que presque toutes les coupes premières deEsoient négligeables (pareil avec les coupes secondes).

Démonstration : Un tel ensemble est négligeable si et seulement si sa fonction ca-ractéristique est d’intégrale nulle, c’est à dire si sa coupe est d’intégrale nulle presque partout.ut

Corollaire 377 •La tribu des boréliens surR^p+qest la tribu produit des deux tribus de boréliens deR^pet deR^q(produit au sens desσ-algèbres et pas pro-duit cartésien).

•La mesure de Lebesgue surR^p+qest le produit de la mesure de Lebesgue sur R^pet de la mesure de Lebesgue surR^q.

Démonstration : •On procède par double inclusion.

- tout d’abord soit un pavé ouvert deR^p+q; il appartient bien à la tribu produit deR^p par R^q car c’est un rectangle mesurable. Or un ouvert de R^p+q est une réunion dé-nombrable de pavés ouverts (par exemple les pavés ouvert de coordonnées rationnelles inclus dans ce pavé). Donc les ouverts deR^p+qsont bien des mesurables pour la tribu produit, et donc les boréliens étant engendrés par les ouverts, ils sont eux-mêmes inclus dans la tribu produit.

- Soit un rectangle mesurable deR^p×R^q; il s’écritX×Y, et donc(X×R^q)∩(R^p×Y), avecXetY mesurables.Xmesurable impliqueX×R^qmesurable, carXappartient à laσ-algèbre engendrée par les ouverts, et donc X ×R^q appartient à laσ-algèbre engendrée par les ouverts deR^p+q.

• Il suffit de considérer l’unicité de la mesure surRⁿ vérifiant le fait que la mesure d’un pavé soit bien le produit des longueurs.ut

Cette propriété est valable pour les boréliens MAIS pas pour les lebesguiens.

Le théorème qui suit est un théorème fondamental en théorie de l’intégration.

Théorème 378 (Fubini) On suppose (X,X, µ_X)et (Y,Y, µ_Y)des espaces

Xf1,y(x).dxest mesurable positive, et Z

Y f_2,x(y).dyest mesurable positive. et Z

•sif est intégrable, alors pour presque toutx,f2,x est intégrable, et x 7→

R

Yf2,x(y).dyest définie presque partout et intégrable, et on a Z

•si f est intégrable, alors pour presque touty,f1,y est intégrable, ety 7→

R

Xf1,y(x).dxest définie presque partout et intégrable, et on a Z

On remarque bien sûr qu’un•sur deux est équivalent au•précédent.

Démonstration : •(pareil pour le second•) : SoitU un ouvert ;f_2,x⁻¹(U)est égal à la seconde section def⁻¹(U)eny, qui est mesurable d’après l’une des propriétés vues ci-dessus.

•(pareil pour le quatrième•) : on le montre tout d’abord pour une fonction caractéris-tique d’une partie mesurable de(X ×Y,X ⊗ Y), puis pour une fonction simple, par combinaison linéaire,puis pour une fonction mesurable positive, en utilisant le théo-rème de convergence monotone et le fait que toute fonction mesurable positive est limite de fonctions simples.

•(pareil pour le sixième•) : Il suffit d’appliquer le cas positif à la partie positive et la partie négative d’une fonction donnée.ut

Ce théorème sert dans beaucoup beaucoup de situations. Citons : - le lemme1208, utile pour le théorème de Runge.

- de nombreuses choses sur le produit de convolution, voir le théorème389, dans la partie7.

440.

- le théorème424, d’approximation de fonctionsL^ppar des fonctionsC^∞à support compact.

Corollaire 379 Sif deX×Y dansRest intégrable ou mesurable positive, alors

Z

Y

Z

X

f(x, y).dx.dy= Z

X

Z

Y

f(x, y).dy.dx

Bien noter qu’il n’est pas suffisant que l’une de ces deux expressions soit bien définie pour que le résultat soit vrai, ni même que les deux expressions soient bien dé-finies !

Je donne ci-dessous, sans démonstration (voir [3] pour une preuve complète) la formule du changement de variable dansRⁿ:

Théorème 380 (Changement de variable) SiKest un compact inclus dans Uouvert deRⁿ, siφest unC¹-difféomorphisme deUsurU⁰ouvert deRⁿ, si fest continue, alors

Z

φ(K)

f = Z

K

f◦φJ φ avecJ φle jacobien deφ.

Par exemple, cela servira à montrer la commutativité du produit de convolution.