linéaire bijective continue
6.1 σ-algèbre, mesure
6.1.2 σ-algèbre engendrée
Afin de pouvoir définir la notion deσ-algèbre engendrée, nous avons besoin d’un petit lemme (évident !) :
Lemme 317 Xensemble,(Aα)famille d’algèbres (resp. deσalgèbres), alors
∩Aαest une algèbre (resp. uneσ-algèbre.
Définition 318 X un ensemble, M ⊂ P(X) famille de parties de X, l’algèbre engendrée parM(resp. laσ-algèbre engendrée parM) est l’in-tersection de toute les algèbres (resp.σ-algèbre ) contenantM.
Xun ensemble, laσ-algèbre engendrée par une famille de fonctions deX vers des espaces mesurables est laσ-algèbre engendrée par les images réci-proques d’ensembles mesurables par ces fonctions.
C’est bien une algèbre (resp.σ-algèbre ) et c’est la plus petite qui contienneM.
laσ-algèbre engendré par l’image réciproque d’une familleF de sous-ensembles deFpar une applicationf :E→F est l’image réciproque de laσ-algèbre engendrée parF.
Exemple fondamental :
Définition 319 X muni d’une topologieT ; la σ-algèbre engendrée parT s’appelle laσ-algèbre borélienne. Ses éléments sont appelés les boréliens.
DansRouRn, c’est la plus petiteσ-algèbre contenant les boules ouvertes. C’est aussi la plus petiteσ-algèbre contenant les boules fermées.
Proposition 320 La σ-algèbre engendrée par une base d’ouverts est la σ-algèbre engendrée par la topologie ; donc lorsqu’un ensemble engendre une topologie, il engendre aussi les boréliens.
Les ensembles suivants engendrent les boréliens deR:
•les ouverts
•les fermés
•les intervalles ouverts
•les intervalles fermés
•les intervalles fermés bornés
•Les intervalles ouverts bornés
•Les[a, b[avec(a, b)∈R2
•Les]a,+∞[
•Les[a,+∞[
Les ensembles suivants engendrent les boréliens deR:
•Les[a,+∞]
•Les]a,+∞]
•Les[−∞, a[
•Les[−∞, a]
Les ensembles suivants engendrent les boréliens deRn:
•Les ouverts
•Les pavés ouverts
•Les boules ouvertes
•Les bandes ouvertes : {Ri−1×]a, b[×Rn−i}
•Les pavés compacts
•Les bandes fermées : {Ri−1×[a, b]×Rn−i}
•Les bandes comme suit : {Ri−1×]a, b]×Rn−i}
•Ou les ensembles de la forme suivante : {Ri−1×]a,+∞[×Rn−i}
Disposer de parties génératrices petites est pratique pour certaines propriétés des boréliens.
Exemple : on munitRd’une distance comme suit :
d(x, y) =|arctanx−arctany|avecarctan(∞) = Π/2etarctan(−∞) =−Π/2.
Les boréliens pour cette distance sont engendrés par les{]a,+∞], a∈R]. Toute suite monotone dansRadmet une limite, et toute suite dansRadmet une valeur d’adhérence.
6.1.3 Mesures
Définition 321 (Mesure) Etant donné(X,A)mesurable, on appelle mesure une applicationµ:A →[0,+∞]telle que :
•µ(∅) = 0
•Si lesAisont disjoints, au plus dénombrables, alorsµ(∪Ai) =P
µ(Ai)(σ additivité)
(X,A, µ)est appelé espace mesuré.
Etant donné(X,A)mesurable, on appelle mesure complexe une application µ:A →Ctelle que :
•µ(∅) = 0
•Si lesAisont disjoints, au plus dénombrables, alorsµ(∪Ai) =Pµ(Ai)(σ additivité) quel que soit l’ordre de la sommation - c’est à dire que la somme est absolument convergente.
On notera bien qu’une mesure peut prendre+∞pour valeur, et pas une mesure complexe. Une mesure complexe n’est pas un cas particulier de mesure, et une mesure n’est pas un cas particulier de mesure complexe.
On note aussi que dans le cas des mesures complexes, le deuxième•de la définition suffit à imposer le premier (pas dans le cas réel, à cause de la possibilité+∞).
Définition 322 (Propriété vraie presque partout) Une propriétéP est dite vraie presque partout si l’ensemble des éléments pour lesquels elle est fausse est inclus dans un ensemble de mesure nulle. Une partie est dite négligeable si elle est incluse dans une partie de mesure nulle, c’est à dire si sa fonction caractéristique est nulle presque partout.
Un espace mesuré est dit complet si tout ensemble négligeable est mesurable (et donc de mesure0).
Un ensemble négligeable n’est pas nécéssairement mesurable ! Une réunion dénombrable d’ensembles négligeables est négligeable.
Proposition 323 •µest finiment additive (outre qu’elle estσ-additive)
•µest croissante (Rmuni de l’ordre usuel, les ensembles mesurables munis de l’inclusion)
•La mesure d’une union dénombrable est inférieure ou égale à la somme des mesures.
•AvecAetBA-mesurables,µ(A∪B)≤µ(A) +µ(B)
•µ(Ui≤nFi)≤P
1≤i≤nµ(Fi), avecFiA-mesurable.
•Siµ(X)est finie, alorsµ(A∪B) =µ(A) +µ(B)−µ(A∩B)
• Formule d’inclusion exclusion ; avec Fi ∈ A, on a µ(∪i≤nFi) = P
i≤nµ(Fi)−P
1≤i<j≤nµ(Fi∩Fj) +P
1≤i<j<k≤nµ(Fi∩Fj∩Fk)...+ (−1)n−1µ(∩1≤i≤nFi)
Exemples :
Définition 324 •Considérons l’espace mesurable(X,P(X)).
On considère sur X la mesure de dénombrement définie pourtoutA⊂Xpar µ(A) =card(A)siAfini
µ(A) = +∞sinon
•(X,P(X)), soita∈X, on appelle mesure de dirac enala fonctionδatelle que pour toute partieAinclue dansX,δa(A) = 1sia∈Aet0sinon.
Théorème 325 Toute espace mesuré(X,A, µ)peut être remplacé par un es-pace mesuré(X,A, µ)complet, avec A ⊂ A etµ|A = µ. On peut même garantir que tout ensembleCcontenantAet inclus dansBavec(A, B)∈ A2 etB−Anégligeable appartient àA.
Démonstration : On considère l’ensemble des partiesC décrites dans le théo-rème ; on vérifie facilement qu’il s’agit bien d’uneσ-algèbre . Ensuite on montre que l’on peut définir la mesure deCcomme égale à la mesure deA, et que la définition est bien correcte.ut
Définition 326 (Lebesguiens) La tribu obtenue à partir de la tribu des bo-réliens en appliquant le théorème325 s’appelle tribu des lebesguiens. Les éléments de cette tribu sont appelés les lebesguiens.
Donc lorsque l’on travaille avec des boréliens, certains ensembles négligeables ne sont pas mesurables, alors qu’avec les lebesguiens, tous les ensembles négligeables sont mesurables.
Théorème 327 (Théorème fondamental) Il existe une unique mesure surR muni des boréliens classique telle queµ([a, b]) =b−apourb > a.µ s’ap-pelle mesure de Lebesgue surR.
Il existe une unique mesure surRn muni des boréliens classiques telle que µ(Πi[ai, bi]) = Πi(bi−ai)pourbi > ai.µs’appelle mesure de Lebesgue surRn.
La mesure de Lebesgue vérifie en outre les propriétés suivantes :
•à une constante de proportionnalité près, c’est la seule mesure sur les boré-liens invariante par translations et finie sur les intervalles bornés.
•Tout ensemble au plus dénombrable est de mesure nulle.
•Etant donnéeEune partie mesurable, la mesure deEest égale à l’inf des mesures des parties ouvertes contenantE.
•Etant donnéeEune partie mesurable, la mesure deEest égale ausupdes mesures des parties compacts inclues dansE.
Démonstration : Admise.ut
Proposition 328 (X,A, µ)espace mesuré,∀i∈NAi∈ A. i) SiAi⊂Ai+1, alorsµ(∪i∈NAi) =limi→+∞µ(Ai)
ii) SiAi+1⊂Aiet siµ(A0)<+∞alorsµ(∩Ai) =limi→+∞µ(Ai)
NB : ne pas oublier la seconde condition pour la deuxième assertion ; contre-exemple avecAi= [i,+∞[.
Démonstration :
i)B0=A0,Bi=Ai−Ai−1, suite facile.
ii)µ(D−C) =µ(D)−µ(C)siC⊂Detµ(D)<+∞ Bi=Ai−1−Ai
∩Ai=A0− ∪Bk
µ(∩Ai) =µ(A0)−µ(∪Bk) =µ(A0)−P
[µ(Ak−1)−µ(Ak)]
u t
Définition 329 (mesure finie ouσ-finie) (X,A, µ) mesuré, µ est finie si µ(X)<+∞.
(X,A, µ)mesuré,µestσ-finie si
∃(Xk ∈ A)/∪kXk =X∧µ(Xk)<∞
Siµ(X) = 1alorsµest appelée une mesure de probabilité.
Donc(R,B(R), µ)avecµla mesure de Lebesgue estσ-finie carR=∪k∈N]−k, k[
6.2 Π-systèmes, d-systèmes, et théorème de Carathéo-dory
Définition 330 (Π-systèmes) UnΠ-système surX est un sous-ensemble de P(X)stable par intersections finies.
Définition 331 (d-système, alias classe monotone) D est un d-système (on dit aussi une classe monotone si
•S∈D
•Dest stable par soustraction (A∈D,B∈D, alorsA∩Bc∈D).
•Pour toute suiteAncroissante,An∈D, alors∪An ∈D
Proposition 332 Une intersection de d-systèmes est un d-système.
Définition 333 (d-système engendré) On appelle d-système engendré par un ensemble de parties deX l’intersection de tous les d-systèmes contenant X.
Proposition 334 Un ensemble inclus dansP(X)est uneσ-algèbre si et seule-ment si c’est unΠ-système et un d-système.
Lemme 335 (Lemme de Dynkin) SoitIunΠ-système, alors laσ-algèbre en-gendrée parI, notéeσ(I), est égale au d-système engendré parI.
Démonstration : Pour le prouver il suffit de montrer qued(I)est unΠsystème, vu la proposition334. Pour cela on montre tout d’abord que le sous-ensembleD1 de d(I)constitué des éléments ded(I)dont l’intersection avec tout élément deI appar-tient àd(I), est égal àd(I). Le raisonnement est le suivant :
•d(I)⊂D1car : -I⊂D1
-D1est unΠ-système
•D1⊂d(I)trivialement
On montre ensuite que le sous-ensembleD2ded(I)constitué des éléments ded(I) dont l’intersection avec tout élément ded(I)appartient àd(I), est égal àd(I); en ef-fet :•d(I)⊂D2car
-I⊂D2carD1=d(I) -D2est un d-système
•D2⊂d(I)trivialement
Ord(I) =D2est exactement l’énoncé du fait qued(I)est unΠ-système.ut
Lemme 336 • Soitµ1 etµ2 deux mesures sur(X,A)coïncidant sur un Π-système engendrantAet telles queµ1(X)<+∞etµ2(X)<+∞. Alorsµ1
etµ2sont égales.
•La même propriété est vraie siXest de mesureσ-finie pourµ1etµ2.
Démonstration : On considère le d-système desF tels queµ1(F) = µ2(F). Il contient unΠ-système, donc il ne reste qu’à conclure via le lemme335.ut
Théorème 337 (Théorème de Carathéodory) Soit A la σ-algèbre engen-drée parB une algèbre, et µ σ-additive de B dans [0,+∞]. alors il existe une mesureµ0surAdont la restriction àBestµ. Siµ(X)<+∞, alors cette extension est unique.
Démonstration : L’existence est ici admise.
L’unicité résulte simplement de336.ut
Proposition 338 Soitµune mesure sur un espace mesurableX, etfune fonc-tion mesurable deX dansY un autre espace mesurable ; alors l’application qui à une partie mesurableEdeY associeµ(f−1(E))est une mesure surY. On noteµf cette mesure.
Démonstration : Facile.ut
•SiY =Rnmuni des boréliens, alors siµest positive on a Z
Rd
f dµf = Z
X
φ◦f dµ
•SiY =Rnet sifest à valeurs quelconques, alorsφestL1pourµfsi et seulement siφ◦f estL1pourµ, et on a alors l’égalité
Z
Rd
f dµf = Z
X
φ◦f dµ