Théorème de Dvoretzky aléatoire - Outils : Semi-groupes et méthodes d’interpolation

1.3 Outils : Semi-groupes et m´ethodes d’interpolation

2.2.2 Théorème de Dvoretzky aléatoire

Le théorème classique de Dvoretzky [75], est un résultat important de la théorie de la concentration de la mesure (cf. [126]). Celui-ci concerne le problème géométrique des sections sphériques d’un domaine convexe.

Soit K un domaine sym´etrique convexe dans Rn_{, c’est `a dire, un sous ensemble convexe compact}

d’intérieur non vide de Rn _{symétrique par rapport à l’origine. On dit que K contient}_π_presque_∫

des sections euclidiennes de dimension k, si pour tout ‘ > 0, il existe un sous espace H de dimension k et un ellipso¨ıde E dans H tel que

(1 ≠ ‘)E µ K ﬂ H µ (1 + ‘)E.

Cette description géométrique admet une formulation fonctionnelle équivalente. Un espace de Banach E (de norme Î · Î) est dit contenir un sous espace (1 + ‘)-isomorphe à l’espace euclidien Rk s’il existe des vecteurs linéairement indépendants v

1, . . . , vk dans E tels que pour tout t =

(t1, . . . , tk) œ Rk, (1 ≠ ‘)|t| Æ.. k ÿ i=1 tivi . . Æ (1 + ‘)|t|,

où |·| désigne la norme euclidienne sur Rk_{. Le théorème suivant est le célèbre résultat de Dvoretzky}

dans la th´eorie locale des espaces norm´es.

Théorème 2.2.5. Pour tout ‘ > 0 il existe ÷(‘) > 0 tel que tout espace de Banach E de dimension n contient un sous-espace (1 + ‘)-isomorphe à Rk _{avec Âk = ÷(‘) log nÊ.}

Les auteurs Schechtman [139], Paouris et al. [131] s’intéressent à une version aléatoire de ce théorème dans les espaces lp, p Ø 1. Comme indiqué par Schechtman dans son article, le

théorème de Dvoretzky classique entraine qu’une vaste majorité de sous-espace de dimension

kÆ c(‘) log n sont (1 + ‘) isomorphe `a lk

2. Le théorème de Dvoretzky aléatoire consiste à étudier

le même phénomène avec lk

p, pØ 1. Par exemple, lorsque p = Œ Schechtman obtient le th´eor`eme

Théorème 2.2.6 (Schechtman). Pour tout ‘ > 0 et tout k Ø c‘ log n, avec une probabilité strictement supérieure à 1≠eck_{la norme l}n

Œ et un multiple de la norme ln2 sont 1+‘ ´equivalentes sur un sous-espace de dimension k.

Remarque. Nous avons retranscrit le th´eor`eme de Schechtman tel qu’il apparait dans l’article

[139], nous renvoyons le lecteur vers celui-ci pour plus de détails. Signalons tout de même que la mesure de probabilité sous-jacente, dans le résultat précédent, est la loi d’un vecteur gaussien standard de Rn_.

Dans [131], les auteurs obtiennent des r´esultats tr`es fins sur la variance des normes lp, pØ 1

d’un vecteur gaussien standard dans Rn ainsi que des in´egalit´es de deviation. Ces raffinements

font partis des ingrédients utilisés par les auteurs de [131] pour obtenir un théorème de Dvoretzky aléatoire.

Soit p Ø 1, nous noterons par ÎxÎp p= q

i=1|xi|pla norme lpd’un vecteur x = (x1, . . . , xn) œ Rn.

Dans l’article Paouris et al. [131], il est remarqu´e que la variance de ÎXÎp n’est pas estim´ee

précisément par les outils classiques de la concentration de la mesure. Plus précisément, l’inégalité de Poincaré ou l’inégalité isopérimétrique vérifiée par la mesure gaussienne standard sur Rn_four-

nissent la majoration suivante, pour p Ø 1,

Var(ÎXÎp) Æ max(n2/p≠1,1).

Selon [131], cette borne n’est optimale que pour 1 Æ p Æ 2. Les auteurs de [131] améliorent cette borne en utilisant des estimations précises et une application astucieuse de l’inégalité de Sobolev logarithmique satisfaite par “n. A notre connaissance, c’est la première fois que de la

superconcentration est obtenue directement par l’inégalité de Sobolev logarithmique sans passer par sa formulation hypercontractive équivalente. L’inégalité de Talagrand 1.3.6 fait, tout de même, parti des outils fonctionnels utilisés lors des démonstrations lorsque p est grand vis à vis de log n. Ils obtiennent également des inégalités de superconcentration reflétant ces bornes. Nous proposerons dans le chapitre sept de retrouver ceci par des méthodes de transport. Concernant la variance, voici leurs résultats

Théorème 2.2.7 (Paouris-Valettas-Zinn). Soit X un vecteur gaussien standard dans Rn, alors les inégalités suivantes sont satisfaites, pour tout n Ø 2,

Var(ÎXÎp) Æ

;

C2_ppn2/p≠1, 2 < p Æ c log n, C/log n, p > c log n, avec C, c > 0 des constantes num´eriques ind´ependentes de n et de p.

Concernant les inégalités de déviations, ils obtiennent

Th´eor`eme 2.2.8 (Paouris-Valettas-Zinn). Soient 2 < p < Œ et X un vecteur gaussien standard dans Rn. Alors, pour tout n Ø 1,

ce≠Cp–1(n,p,t)_{Æ P}3--ÎXÎ p≠ E[ÎXÎp] - - Ø tE[ÎXÎp] 4 Æ Ce≠c–2(n,p,t))_,

pour tout 0 < t < 1, avec –i(n, p, ·) ´etant d´efinie par :

–1(n, p, t) = min)C2pt2n,(tn)2/p* et

–2(n, p, t) = min)C≠2pt2n,(tn)2/p* avec C, c > 0 des constantes num´eriques.

Remarque. La raison de restreindre t `a l’intervalle ]0, 1[ est que les grandes d´eviations sont

controlées par l’inégalité isopérimétrique gaussienne. La véritable difficulté est d’affiner les bornes pour des petites déviations, c’est le contenu du théorème ci-dessus. Notons que le cas p = Œ et l’étude de théorème de Dvoretzky aléatoire, a été faite, via des calculs élémentaires mais précis, par Schechtman dans [139], plus précisément, il prouva les inégalités suivantes, valables pour tout 0 < t < 1, C1e≠c1tM2/2 Æ P!ÎXÎŒ>(1 + t)M"Ø C2e≠tM 2 , et e≠c3etM 2 Æ P!ÎXÎŒ<(1 ≠ t)M"Æ C4e≠c4e 3tM2/4

où M = Med désigne la médiane de ÎXÎŒ et les constantes C1, C2, c1 >0 sont explicitement

donn´ees tandis que c3, c4, C4 > 0 sont des constantes num´eriques. Nous verrons dans la suite

de la thèse que des arguments hypercontractifs ou isopérimétriques permettent de retrouver ce genre de résultats. Citons également les articles [159, 121] qui abordent le phénomène de superconcentration et le théorème de Dvoretzky aléatoire.

Dans un autre article [130], Paouris et Valettas obtiennent une inégalité de déviation à gauche qui renforce, pour les petites déviations et une large classe de fonctions, la concentration fournie par l’inégalité isopérimétrique gaussienne. Leurs arguments reposent sur l’inégalité d’Ehrhard [76] et les outils utilisés dans [131].

Th´eor`eme 2.2.9. [Paouris-Valettas] Soit X un vecteur gaussien dans Rn _{et f : R}n

æ R une

fonction convexe, alors pour tout t > 1,

P 3

f(X) ≠ E[f(X)] Æ ≠tVarf(X)

Æ e≠ct2, avec c > 0 une constante num´erique.

Remarque. Ce résultat est inspiré d’un article de Kwapien [107] concernant des fonctions convexes d’un aléa gaussien. Ce genre de renforcement d’inégalité fonctionnelle lorsqu’une hypothèse de convexité est satisfaite, est déja apparu plusieurs fois dans la littérature comme, par exemple, dans les articles de Bobkov et Houdré pour l’inégalité de Poincaré [30,28]. Concernant la super- concentration, si l’on applique ce résultat à fonction f(x) = maxi=1,...,nxi (qui est convexe en

tant que supremum de fonctions linéaires) avec le résultat de Eldan, Ding et Zhai [69], qui as- sure que pour un vecteur gaussien standard Var(Mn) Ø C/ log n (avec une constante numérique C >0), on obtient

P!logn(Mn≠ E[Mn]) Æ ≠t) Æ e≠cr

, t >1 (2.5)

Ce résultat améliore bien la concentration habituelle, cependant il n’exprime pas l’asymptotique de la loi de Gumbel. Celle-ci admet une décroissance très rapide pour sa queue de distribution à gauche en e≠e≠t_{, t}_{æ ≠Œ. Ce résultat a été obtenu dans les travaux de Schechtman [}139]. Nous

emploierons cette in´egalit´e (2.5) dans le cadre des suites gaussiennes stationnaires.

Dans le document Quelques inégalités de superconcentration : théorie et applications (Page 56-58)