4.1 Utilisation de l’in´egalit´e de Talagrand
4.1.4 Approximation r´eguli`ere de la fonction maximum et comparaison de variance
Cette section rassemble quelques r´esultats d’approximation pour la fonction maximum et per- met d’´etendre les r´esultats obtenus sur la variance du maximum `a d’autres fonctionnelles comme l’´energie libre pour une certaine ´echelle de temp´erature.
Remarquons que pour tout n Ø 1 et tout — > 0 fix´es nous avons ÎF—≠ max
i=1,...nxiÎŒÆ
log n
— ,
avec F—(x) =—1log! qni=1e—xi" l’´energie libre. Ceci fournit le lemme de comparaison suivant : Lemme 4.1.5. Pour tout n Ø 1 et — > 0, nous avons
Var(Fn,—) Æ 3Var(Mn) +6(log n)
2 —2 avec Fn,—= F—(X1, . . . , Xn) et Mn= maxi=1,...,nXi.
D´emonstration. En effet, en utilisant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, nous avons
Var(Fn,—) Æ 3
3
Var(Mn) + E[(Fn,—≠ Mn)2] +!E[Fn,—≠ Mn]"
24 .
Remarque. Il est facile de voir que l’on peut obtenir les mˆemes in´egalit´es en ´echangeant le rˆole de Fn,— et de Mn. Alors, si l’on obtient des bornes sur la variance de l’´energie libre ou du maximum,
cela entraine que, mis `a part une erreur de (log n)2/—2, la mˆeme borne est valable pour l’autre
fonctionnelle.
Les estim´ees suivantes pourraient ´egalement ˆetre utiles,
Lemme 4.1.6. Soit X un vecteur gaussien standard dans Rn, nØ 1. Alors, pour tout p Ø 1, les in´egalit´es suivantes sont satisfaites
1. Var!ÎXÎp"Æ 3Var(maxi=1,...,n|Xi|) + 6!e
1
plog n≠ 1"2log n. 2. Var! maxi=1,...,n|Xi|"Æ 3Var(ÎXÎp) + 6!e
1
plog n≠ 1"2log n. D´emonstration. Notons que,
- -ÎxÎp≠ max i=1,...,n|xi| - - Æ3ep1log n≠ 1 4 max i=1,...,n|xi|, ’x œ R n.
La conclusion s’ensuit ais´ement (`a l’aide de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz) puisque, par des estim´ees gaussiennes classiques (cf. annexe [48]), nous avons E#(maxi=1,...,n|Xi|)2$Æ 2 log n. Remarque. Ce genre d’estim´ees permet d’´etendre les travaux de Paouris et al. sur le th´eor`eme
de Dvoretzky al´eatoire [131]. En effet, lorsque X est un vecteur gaussien standard dans Rn, ces
auteurs ont prouv´e que, pour p > (log n)2, nØ 2,
Var!ÎXÎp"Æ C
log n.
Puisque nous savons d´eja que Var(maxi=1,...,n|Xi|) Æ log nC , en utilisant le lemme pr´ec´edent,
nous obtenons une in´egalit´e similaire `a celle de Paouris et al.. Il est ´egalement possible d’´etendre leurs travaux en ajoutant des corr´elations. Au lieu de choisir un vecteur gaussien standard de Rn, on consid`ere X un vecteur gaussien de matrice de covariance satisfaisant les mˆemes types
d’hypoth`eses que celles requises pour appliquer le th´eor`eme de Chatterjee2.3.3, pour la variance, ou bien celui de Tanguy dans [157] au niveau exponentiel.
En revanche, il semblerait que ces bornes soient trop grossi`eres pour ˆetre d’une quelconque pertinence pour la variance de l’´energie libre `a basse temp´erature (— grand).
4.2 In´egalit´es de superconcentration
Le but de cette section est de quantifier les r´esultats asymptotiques, ´enonc´es dans le cha- pitre pr´ec´edent, en in´egalit´e de concentration refl´etant pleinement les fluctuations du maximum (respectivement le supremum). De telles bornes sur les variances avec le bon ordre de grandeur ont d’abord ´et´e obtenus par Chatterjee dans [48] (section 9.6) dans le cadre du ph´enom`ene de superconcentration. Les r´esultats pr´esent´es ici renforcent les bornes sur la variance de Chatterjee en in´egalit´e de concentration exponentielle. Il s’agit d’une partie majeure des travaux obtenus durant cette th`ese. Un exemple d’application est le th´eor`eme suivant.
Th´eor`eme 4.2.1. Soit (Xi)iØ0 une suite gaussienne centr´ee stationnaire de fonction de cova- riance „. Supposons que „ est d´ecroissante et satisfait „(1) < 1. Alors, il existe – = –(„) œ (0, 1) et c = c(„, –) > 0 tel que pour tout n Ø 2,
P (|Mn≠ E[Mn]| > t) Æ 6e≠ct/
Ômax(„(n–),1/ log n)
, tØ 0. (4.6) Remarque. Sous les hypoth`eses du th´eor`eme3.2.1, max („(n–), 1/ log n) = 1/ log n pour n assez
grand, ce qui correspond exactement au taux de fluctuaction. Remarquons ´egalement qu’en int´egrant (4.6), on retrouve les bornes sur la variance de [48]. En particulier, dans le cadre du th´eor`eme3.2.1, la variance est d’ordre 1
log n ce qui est optimal (cf. corollaire 1.9 dans [69]). Une
derni`ere observation est que, sous les hypoth`eses du th´eor`eme3.2.1, „(n) æ 0 lorsque n æ Œ. Ceci implique que supnØ1|„(n)| < 1 (cf. [108] p.86), dans ce cas particulier l’hypoth`ese „(1) < 1
peut-ˆetre enlev´ee.
Il est important de comparer le th´eor`eme4.2.1avec la concentration gaussienne classique (cf. [112]) qui produit, typiquement,
P (|Mn≠ E [Mn] | Ø t) Æ 2e≠t
2/2
, tØ 0. (4.7)
Bien que la d´ecroissance soit gaussienne, de telles bornes ne refl`etent pas les fluctuations des extrˆemes Mndu th´eor`eme4.2.1. De plus, par rapport `a cette borne gaussienne, le th´eor`eme4.2.1
fournit le bon ordre de grandeur pour les d´eviations `a droite de la moyenne Mn sous la forme
d’une in´egalit´e de superconcentration en accord avec les r´esultats de fluctuations et la loi de Gumbel limite (puisque P( 0 > t) ≥ e≠t lorsque t æ +Œ). Pour les queues de d´eviation `a
gauche, il faudra utiliser une m´ethode de transport pour atteindre le bon comportement puisque P( 0Æ ≠t) ≥ e≠e≠t lorsque t æ ≠Œ. Soulignons ´egalement le fait que le th´eor`eme4.2.1couvre
le cas classique de gaussiennes standards, lorsque toutes les variables Xi sont ind´ependantes,
en choisisant „ = 0 et fournissant l’in´egalit´e de concentration suivante qui sera utile pour une application en statistique,
P (|Mn≠ E [Mn]| Ø t) Æ 6e≠ct
Ôlog n
, tØ 0. (4.8)
Remarquons ´egalement que le th´eor`eme 4.2.1 exprime une propri´et´e de concentration du maximum autour de sa moyenne tandis que, dans le r´egime de convergence des extrˆemes du th´eor`eme 3.4, les termes de recentrage sont produits par des valeurs explicites bn. En fait, `a des
constantes num´eriques pr`es, les mˆemes in´egalit´es sont satisfaites avec bn au lieu de la moyenne.
A cet effet, il suffit de prouver que supnE [|an(Mn≠ bn)|] < Œ. On pose Zn = an(Mn≠ bn).
Soit MÕ
n une copie ind´ependante de Mn et posons similairement ZnÕ = an(MnÕ ≠ bn). Or, en
int´egrant (4.8), supnE [an|Mn≠ E[Mn]|] < Œ. Ainsi, supnE [|Zn≠ ZnÕ|] < Œ ce qui entraine
facilement que supnE [|Zn|] < Œ. Ces remarques ´etant faites (elles sont valables pour chaques
in´egalit´es de superconcentration obtenues au cours de cette th`ese), nous allons ´enoncer le r´esultat de superconcentration abstrait que nous appliquerons ensuite `a des exemples provenant de la th´eorie des extrˆemes.