Champ libre gaussien discret

Pour pr´esenter ce nouveau mod`ele, nous suivrons l’exposition faite dans le cours de Zeitouni [165]. Pour des raisons p´edagogiques, il est plus int´eressant de pr´esenter le mod`ele de marche al´eatoire branchante (πbranching random walk∫) en premier. Il fait parti des mod`eles gaussiens

ditπlog-corr´el´es∫ les plus simples. Ensuite, nous parlerons du champ libre gaussien discret sur

Z2_{et de l’´evolution des r´esultats obtenus le concernant. Nous expliquerons aussi, bri`evement, les}

m´ethodes mises en place pour l’´etude de cet objet.

Fixons tout d’abord les notations. Soit T un arbre ayant pour racine un sommet o, nous note- rons par V l’ensemble des sommets et par E l’ensemble des arˆetes de cet arbre. Nous d´esignerons par |v| la distance d’un sommet `a la racine. Autrement dit, il s’agit de la longueur du chemin g´eod´esique reliant v `a o et l’on d´esignera par o ¡ v l’ensemble des sommets composant cette

g´eod´esique (par abus de notation, nous noterons ´egalement par o ¡ v l’ensemble des arˆetes sur la g´eod´esique reliant v `a o). Similairement, pour v, w œ V , nous noterons par |v ¡ w| la longueur de l’unique g´eod´esique reliant v `a w. Pour n Ø 1, la n-i`eme g´en´eration de l’arbre correspond l’ensemble suivant {v œ V ; |v| = n}. Tandis que pour m < n et v œ Dm on d´esignera l’ensemble

des descendants de v (dans Dn) par Dnv = {w œ V ; |v ¡ w| = n ≠ m}. Enfin, pour tout sommet v_{œ V on d´esignera par d}v son degr´e.

Soit (Xe)eœE une collection de variables al´eatoires µ attach´ees `a chacunes des arˆetes e de l’arbre

T . Pour v œ V , on pose Sv = q_eœo¡vXe. La marche al´eatoire branchante n’est alors rien d’autre

que (Sv)vœV et l’objet principal d’int´erˆet sera la quantit´e suivante : Mn = max

vœDn

Sv, nØ 1.

Les hypoth`eses suivantes sont faites lors de l’´etude de ce mod`ele :

1. les variables al´eatoires (Xe)eœE sont suppos´ees i.i.d. de loi commune µ.

2. On suppose que µ admet un moment exponentiel, c’est `a dire E[e⁄Xe] < Œ pour un ⁄ > 0.

3. L’arbre est k-aire avec k Ø 2 (k = 2 correspond `a un arbre binaire), d0= k et dv= k + 1

pour v ”= o.

Comme pr´esent´e dans le cours de Zeitouni, `a l’aide de m´ethodes dites de πsecond mo-

ment∫ (li´ees `a l’in´egalit´e de Paley et Sygmund) et de r´esultats du typeπBallot’s theorem∫.

Une ´etape importante dans ce genre de m´ethode est de d´eterminer une barri`ere au del`a de la- quelle les configurations extr´emales Sv, v œ Dnne peuvent aller. Il sera aussi important de suivre

l’´evolution des incr´ements Sk

v, k = 1, . . . n, composant la πtrajectoire∫ de Sv (autrement dit Sv = qnk=1Svk), qui ne peuvent pas d´epasser un certain seuil. Suivant ces techniques, on peut

montrer que

Th´eor`eme 2.2.13. Sous les hypoth`eses pr´ec´edentes on a l’estimation pr´ecise suivante, n Ø 1,

E[Mn] = C1n≠ C2log n + O(1),

avec C1, C2>0 des constantes num´eriques d´ependant uniquement de la loi µ.

Remarque. Le r´esultat pr´ec´edent, via l’argument de Dekking-Host [165], permet de montrer que la suite (Mn≠ E[Mn])nØ1 est tendue. Bien que la preuve explicite semble ˆetre absente, `a notre

connaissance, de la litt´erature, le fait que Var(Mn) = O(1) fait dor´enavant parti du folklore. Il

est int´eressant de mentionner que les arguments utilis´es pour d´emontrer le th´eor`eme ci-dessus, bien qu’´el´ementaires, reposent sur des calculs assez techniques et pr´ecis. Tandis que la m´ethode hypercontractive de Talagrand permet d’atteindre de mani`ere ´elementaire la borne suivante (sous- optimale) Var(Mn) Æ C log n am´eliorant la borne Var(Mn) Æ n fournit par l’in´egalit´e de Poincar´e

(cf. chapitre un). Il serait instructif de trouver une preuve moins technique `a partir de la formule de repr´esentation de la variance le long du semi-groupe d’Ornstein-Uhlenbeck. Il semblerait qu’une preuve reposant sur cette repr´esentation et des calculs simples li´es aux m´ethodes de second moment permettraient de s’approcher d’un tel r´esultat. Il suffirait d’obtenir une extension du lemme 3.1 de l’article [105] pour contrˆoler, pour tout t Ø 0, ‡ ”= · œ Dn, E[1A‡Pt1A·] (avec A‡= {S‡= Mn}). Ceci permettrait d’attester que les contributions significatives dans le calcul

de la variance ne proviennent que des termes diagonaux ‡ = ·. 66

La marche al´eatoire branchante est une version plus simple du champ libre gaussien dis- cret. Nous d´efinirons ce nouveau mod`ele ci-dessous, puis nous tenterons de r´esumer l’´evolution des progr`es obtenus durant son ´etude. Enfin, nous mentionnerons bri´evement les articles de re- cherche, s’inspirant des techniques utilis´ees pour le champ libre gaussien discret, portant sur des mod`eles gaussiens logarithmiquement corr´el´es plus g´en´eraux.

Consid´erons G = (V, E) un graphe (fini) non-orient´e et connexe. Choisissons un sommet par- ticulier v œ V et d´esignons le comme πla racine∫ du graphe, le champ libre gaussien discret

correspond alors `a la collection de variables al´eatoires gaussiennes (Xv)vœV avec Xo = 0 et la

densit´e de probabilit´e, par rapport `a la mesure de Lebesgue, des variables al´eatoires restantes est donn´ee par

f!(xv)vœV, v”=o" = 1_Z

Ge

≠12q_(v,w)œV(xv≠xw)2

, (2.8)

o`u ZG est une constante de renormalisation.

Remarque. Il est important de faire quelques commentaires apr`es cette d´efinition. Tout d’abord,

si G est un arbre, le champ libre gaussien discret consiste `a assigner `a chaque arˆete e œ E une variable al´eatoire gaussienne standard Yeet de poser Xv= qeœo¡vYe, vœ V . En particulier, si Gcorrespond `a l’arbre binaire, alors les valeurs de champ libre gaussien discret (not´e (XT

v)vœDn)

suit le mˆeme comportement que Mn de la marche al´eatoire branchante. On obtient donc, le

r´esultat suivant

E# max_v

œDn

XvT$ = 2log2n ≠

3

2Ô2 log 2log n + O(1)

Ensuite, le champ libre gaussien poss`ede des liens avec certaines marches al´eatoires. En effet, consid´erons la matrice de transition suivante

Lv,w= Y ] [ 1, (v, w) œ E, ≠dv, v= w ”= o, 0, sinon,

o`u dvd´esigne le degr´e du sommet v. A partir de (2.8), on remarque que la structure de corr´elation

du champ libre gaussien discret (Xv)vœV, v”=o est obtenue grˆace `a la matrice (L)≠1, o`u L est

construite `a partir de la matrice L `a laquelle on a supprim´e la colonne et la ligne correspondant au sommet v = o. Ceci coincide avec la fonction de Green d’une marche al´eatoire simple (`a temps continu) (St)tØ0 sur G qui serait tu´ee lorsqu’elle atteint o. Autrement dit, en notant · le temps

d’arrˆet d´efinit par · = min{t Ø 0, St= o}, on obtient

E[XvXw] = Ev

5 ⁄ ·

0 1{St=w}dt

6

,

avec Ev[·] d´esignant l’esp´erance conditionnelle sachant S

0= v. Dans le cas particulier o`u dv = d

pour tout v ”= o, le mˆeme raisonnement montre que la fonction de covariance du champ libre gaussien discret correspond `a la fonction de Green d’une marche al´eatoire simple (`a temps discret) tu´ee en o. Autrement dit,

E[XvXw] = Ev 5 1 d ·≠1 ÿ n=1 1_{Sn=w} 6 .

En fait, il s’agit d’un champ libre gaussien avec des conditions de Dirichlet au bord. Le com- portement de la fonction de covariance est donc d´etermin´e par celui de la marche al´eatoire simple

sur le graphe. Il est bien connu que la marche al´eatoire sym´etrique sur Zd _{pr´esente des compor-}

tements diff´erents suivant la dimension. Lorsque d = 2 la fonction de Green associ´ee `a cette marche al´eatoire admet un comportement logarithmique tandis qu’en dimension sup´erieur elle se comporte comme l’inverse d’une fonction puissance. Tandis que la majeure partie de la litt´erature se concentre sur le cas difficile de la dimension deux, les articles de [60,59,58] s’int´eressent aux comportements du champ libre gaussien lorsque d Ø 3. En fait, il est possible de construire un champ libre gaussien discret sur un groupe infini S de type fini. Dans [60, 59, 58] les auteurs consid`erent un tel objet sur Zd_{, dØ 3. Comme nous le verrons, le comportement de la marche}

al´eatoire sym´etrique sur S conditionne le comportement de la fonction de covariance.

On peut alors consid`erer un champ libre gaussien discret (Xs)sœS index´e par S, un groupe infini

de type fini. En effet, on peut consid´erer une marche al´eatoire sym´etrique (Sn)nØ0sur une par-

tie g´en´eratrice sym´etrique de S. Sous certaines hypoth`eses (cf [138]) sur la croissance de volume de boule, la fonction de covariance de ce champ libre gaussien discret admet un comportement similaire `a celui ´etudi´e par Cipriani et al. dans [60,59,58].

Nous proposons ci-dessous un bref survol historique de la litt´erature concernant les travaux portant sur le champ-libre gaussien discret et les mod`eles li´es. Les math´ematiciens Bramson, Bol- thausen, Deuschel, Giacomin, Kumaga¨ı et Zeitouni sont `a la base d’une s´erie d’articles ´etudiant le maximum du champ libre gaussien discret sur Z2_{, beaucoup d’effort sont fait pour prouver}

que la suite du maximum (recentr´e) est tendue [34,35, 106, 45]. Dans les articles de Ding [68], puis Ding-Zeitouni [72] des in´egali´es de d´eviations (`a droite et `a gauche) pr´ecises du maximum recentr´e sont obtenues. Outre les m´ethodes de second moment, les principaux arguments uti- lis´es sont alors des outils de comparaison comme l’in´egalit´e de Slepian et ses variantes ainsi que des r´esultats classiques propres `a la concentration de famille de variables al´eatoires gaussiennes. Ding et Zeitouni proposent des mod`eles hierarchiques plus manipulables, pr´esentant une struc- ture d’arbre sous jacente, auxquels une comparaison avec le champ libre gaussien discret est possible. Signalons que ce genre d’arguments est repris dans l’article d’Acosta [2] Enfin, Bram- son, Ding et Zeitouni obtiennent un r´esultat de convergence en loi du maximum recentr´e vers une variable al´eatoire non triviale, correspondant une loi de Gumbel translat´ee al´eatoirement [44]. Ils ´etendent ensuite leurs travaux `a des marches al´eatoires branchantes dans [43]. Ces r´esultats font ´echo aux travaux de A¨ıdekon et Madaule, sur des mod`eles al´eatoires ditπlog-corr´el´e∫[6,122],

notamment sur l’interpr´etation de la loi limite en tant que d´eriv´ee de martingale. Nous renvoyons le lecteur curieux, vers les articles de survols de Duplantier, Rhodes, Sheffield et Vargas [74], ainsi que celui d’Arguin [9] pour plus de d´etails `a ce sujet. R´ecemment, Ding, Roy et Zeitouni ont aussi ´etendu leurs r´esultats de convergence, obtenus pour le champ libre gaussien discret sur Z2_,

`a des mod`eles log-corr´el´es plus g´en´eraux [71].

Faisant suite `a cet intense d´eveloppement autour du champ libre gaussien discret sur Z2_{, Cipriani} et al. proposent dans une s´erie d’article [60,59,58] sur l’´etude du champ libre gaussien discret sur Zd_{, d}

Ø 3. Le comportement de la marche al´eatoire sym´etrique sous jacente est alors diff´erent et rend la structure de covariance plus manipulable. En plus des outils de comparaison d´ej`a pr´esent dans la litt´erature, les auteurs de [60, 59, 58] utilisent la m´ethode de Stein-Chen pour obtenir des convergences de processus ponctuel de Poisson associ´es aux extrˆemes du champ libre gaus- sien discret. Nous verrons dans le chapitre 3 de la th`ese, que nous pouvons retrouver une partie de leurs travaux via des arguments hypercontractif. Nous proposerons aussi une d´emonstration diff´erente de la convergence en loi du maximum du champ libre gaussien discret sur Zd_{, d}

Ø 3. Nous aimerions porter `a l’attention du lecteur que les articles mentionn´es pr´ec´edemment, sur le champ libre gaussien discret en dimension deux, sont souvent longs et difficiles techniquement, il serait int´eressant de proposer des d´emonstrations plus souples, ´eventuellement par des m´ethodes

de semi-groupes. Il conviendrait alors de traiter le cas de la marche al´eatoire branchante en premier.