Comparaison avec l’in´egalit´e 5.1.2 de Ding et al

Nous allons `a pr´esent comparer notre r´esultat avec celui de [69] pour – fix´e et lorsque – æ 1. Nous allons voir que dans le second cas notre in´egalit´e conserve, contrairement `a la leur, un sens. Pour que la comparaison soit plus visible, nous rappelons les deux in´egalit´es mise jeu.

P(|Mn≠ mn| Ø t) Æ 6e≠ct/ Ô K– n_{, t}Ø 0, (5.5) avec K– n = Ô1 ≠ – +_{log log n}1 .

et celle de [69] , pour tout 0 Æ t Æ C–Ôlogn, avec C–= –/100,

P(|Mn≠ mn| Ø t) Æ Ce≠t

2_{/(2≠c(–))}

, (5.6)

o`u c(–) = 2–2₁₀≠6_.

Soient – œ]0, 1[ et t œ [0, C–Ôlogn] fix´es. On constate facilement que (5.6) est toujours

meilleure que (5.5). En effet, l’intervalle I µ [0, C–Ôlogn] pour lequel (5.5) est meilleur que (5.6)

est le suivant

0 Æ t Æc#2 ≠ c(–)$_K– n

= O(1)

Cependant, contrairement `a (5.5), l’in´egalit´e (5.6) n’implique pas le r´esultat de Chatterjee (th´eor`eme5.1.1). En effet, apr`es int´egration, (5.6) entraine que

Var(Mn) Æ#2 ≠ c(–)](1 ≠ n≠÷) + n≠÷,

avec ÷ = C_–2

2≠c(–). Ce r´esultat est tr`es diff´erent de celui de Chatterjee et est du mˆeme ordre de

grandeur que la borne fournie par l’in´egalit´e de Poincar´e. Tandis que l’in´egalit´e (5.6), entraine que

Var(Mn) Æ C

3Ô

1 ≠ – +_{log log n}1 4,

avec C > 0. Ceci est de mˆeme nature que la borne obtenue par Chatterjee (mˆeme si celle que nous obtenons est l´eg`erement plus grande).

Supposons, `a pr´esent, que – = –n æ 1, lorsque n æ Œ, ceci pouvant s’exprimer par – = –n = 1 ≠ ‘n avec ‘n æ 0 lorsque n æ Œ. Typiquement, ‘n = Clog log n_{log n} avec C > 0. L’in´egalit´e

(5.5) devient alors,

P(|Mn≠ mn| Ø t) Æ 6e≠ct/



max(‘1/2n ,”n)_{, tØ 0,} (5.7)

avec ”n= _{log log n}1 . Tandis que l’in´egalit´e (5.6) s’exprime par

P(|Mn≠ mn| Ø t) Æ Ce≠t

2_/(2(1≠10≠6₎

,0 Æ t Æ Clog n, (5.8)

avec C = 2/100 > 0.

Il semble plus pertinent de comparer ces deux in´egalit´es sur des exemples explicites, fai- sons le pour le cas ind´ependant (ce qui va suivre serait aussi valable pour une suite gaus- sienne stationnaire dont la fonction de covariance d´ecroit aussi vite que 1/ log n lorsque n æ Œ). Plus pr´ecis´ement, on consid`ere X1, . . . , Xn des variables al´eatoires gaussiennes standards

ind´ependantes et de mˆeme loi. Rappelons les faits suivants, provenant de la th´eorie des extrˆemes, 

2 log n(Mn≠ bn) æ 0, næ Œ,

en loi et, au vu de la taille de mn= E[Mn], – = 1 ≠log log n_{2 log n} + o

3

1 log log n

4

. De plus, nous avons prouv´e l’in´egalit´e de concentration suivante

p(log n|Mn≠ mn| Ø t) Æ 6e≠ct, (5.9)

Notre nouvelle in´egalit´e (5.5) se r´e´ecrit de la mani`ere suivante P(log n|Mn≠ mn| Ø t) Æ 6e≠ct

Ô_{log log n/}Ô_{log n}

. (5.10)

Il est clair que la d´ependance en n est mauvaise dans l’in´egalit´e pr´ec´edente, toutefois elle conserve du sens si on prend t = cÔlog n. De plus, elle pr´esente les mˆemes asymptotiques que la loi de Gumbel avec une d´ecroissance exponentielle. Similairement, nous pouvons r´eexprimer (5.6) par

P(log n|Mn≠ mn| Ø t) Æ Ce≠t

2_{/(2≠c(1)) log n}

.

Il est ´evident que la d´ependance en n est plus mauvaise encore que celle de l’in´egalit´e (5.10). De plus, la d´ecroissance gaussienne ne refl`ete pas le comportement des queues de distributions de la loi de Gumbel et l’in´egalit´e pr´ec´edente est vide de sens si on l’´evalue en t = cÔlog n.

Nous pourrions faire le mˆeme raisonnement avec le champ libre gaussien discret sur Z2_{. Rappelons}

que Ding et Zeitouni ont obtenu les r´esultats suivants : E[Mn] = mn+ O(1),

avec mn= 12/fi(logn ≠ 3loglogn/8) + O(1). Ainsi que les in´egalit´es de d´eviations suivantes,

valables pour tout 0 Æ t Æ (log n)2/3_,

Ce≠ct_{Æ P(M}nØ mn+ t) Æ Ce≠ct et Ce≠CeCt _{Æ P(M}nÆ mn≠ t) Æ Ce≠ce ct , avec C, c > 0.

En conclusion, l’in´egalit´e (5.5) est meilleure que celle obtenue dans [69] lorsque l’on fait tendre

–vers 1. N´eanmoins, elle reste sous-optimale lorsqu’on l’applique `a des exemples connus et ne

semble utile qu’en th´eorie. A ce sujet, comme dans [69], si l’on consid`ere un vecteur gaussien dans Rn<sub>, dont l’esp´erance du maximum se comporte de la mˆeme mani`ere que le cas ind´ependant,</sub>

est-il possible d’am´eliorer significativement les r´esultats fournis par la th´eorie classique de la concentration ?

Chapitre 6

In´egalit´e de Talagrand d’ordre

sup´erieur, crit`ere de courbure

dimension inverse

Cette partie s’inspire d’un r´esultat de Ledoux sur le d´eveloppement de la variance de la mesure gaussienne standard via des d´eveloppements de Taylor [110] et d’un r´esultat de Chatterjee portant sur une m´ethode d’interpolation par semi-groupe. Nous verrons que le sch´ema de preuve permet d’obtenir une in´egalit´e de Talagrand aux ordres sup´erieurs sur le cube discret Cn =

{≠1, 1}n _{et nous permettra de proposer une application sur l’influence d’une coordonn´ee en}

analyse bool´eenne. Les r´esultats que nous allons pr´esenter sont une partie majeure des travaux de cette th`ese, un article reprenant ce chapitre est en cours de r´edaction.

6.1 Introduction

Sommairement, dans son article, Ledoux combine des d´eveloppements de Taylor sur l’inter- valle [0, t] avec des m´ethodes d’interpolation pour retrouver un d´eveloppement de la variance. Plus pr´ecis´ement, il obtient la formule (d´ej`a pr´esente dans l’article [93]) suivante.

Proposition 6.1.1. Soit f : Rn

æ R suffisament r´eguli`ere, de classe Cp<sub>(R</sub>n<sub>) p Ø 1 dont les</sub> d´eriv´ees partielles successives appartiennent `a L2_(“

n), on obtient alors la formule suivante

Var“n(f) = p≠1 ÿ k=1 (≠1)k k! ⁄ Rn|Ò k_f |2d“n≠(≠1) p≠1 (p ≠ 1)! ⁄ Œ 0 2e ≠2pt⁄ Rn|P t(Òpf)|2d“ndt.

Tandis qu’une relecture des travaux de Chatterjee, pr´esent´es dans le chapitre dix de son livre [48], permet d’extraire un proc´ed´e d’interpolation par semi groupes entre [t, Œ[. L’utilisation de ses deux arguments va nous permettre d’obtenir une d´ecomposition de la variance originale. Nous verrons par la suite que les travaux de Chatterjee sont pertinents dans le cadre des mod`eles de verres de spins et s’apparentent `a un crit`ere de courbure-dimension invers´e.

Nous allons tout d’abord pr´esenter le d´eveloppement de la variance, `a partir duquel nous obtien- drons une formule deπTaylor∫avec un reste. Ce reste s’exprimant sous la forme d’une in´egalit´e

de Talagrand L1/L2 (1.3.6) avec des d´eriv´ees partielles d’ordre sup´erieur. Ensuite, apr`es de brefs rappels sur les in´egalit´es de courbures dimension provenant de la th´eorie de Bakry et ´Emery, nous reformulerons les travaux de Chatterjee pour exhiber un crit`ere de courbure dimension (int´egr´e) inverse. Nous illustrerons cette approche sur le mod`ele du REM `a diff´erentes temp´eratures pour retrouver des r´esultats de Bovier et al., puis nous rappelerons le r´esultat de Chatterjee concer- nant le mod`ele de verres de spin de Sherrington et Kirckpatrick.

Nous pr´esenterons ensuite comment nos travaux peuvent s´etendre au cube discret {≠1, 1}n_,

afin d’obtenir de nouveaux r´esultats sur l’influence de coordonn´ees de fonctions bool´eennes ainsi qu’une in´egalit´e de Talagrand d’ordre sup´erieur. Il est ´evident que le cadre de l’article de Cordero- Erausquin et Ledoux [62] fournit une direction propice pour ´etendre les travaux pr´esent´es dans ce chapitre, nous faisons le choix (par p´edagogie et un soucis de clart´e) de ne pas entrer dans ce degr´e de g´en´eralit´es.