7.7 Transport et isop´erim´etrie
7.7.1 Isop´erim´erie et ´elargissement uniforme
La loi exponentielle ´etant sym´etrique, il ne semble pas possible que le r´esultat de Talagrand permette de faire la distinction entre les diff´erents asymptotiques de la loi de Gumbel. Dans [151], Talagrand consid`ere des grossissements particuliers d’un ensemble, il utilise un m´elange de boule
l1 et l2. Dans [24], Bobkov ´etudie le probl`eme isop´erim´etrique pour la mesure exponentielle sur
R+ avec des grossissements uniformes (ceux-ci sont de la forme rBŒ, rØ 0 avec BŒ= [0, 1]n,
au lieu de ÔrB2+ rB1 ). Il choisit ´egalement de restreindre son ´etude `a des ensembles appel´es
id´eaux. Ces ensembles sont d´efinit comme suit A est un id´eal de Rn
+ s’il satisfait la condition
suivante
si x = (x1, . . . , xn) œ A, y = (y1, . . . , yn) œ Rn+, yiÆ xi pour tout i = 1, . . . , n, alors y œ A
Rappelons qu’il existe une vaste litt´erature concernant les probl`emes isop´erim´etriques et les ensembles extremaux y apparaisant. En particulier, en dimension un, il existe des conditions suffissantes pour lesquelles les ensembles extremaux sont des demi-espaces (≠Œ, a] [24, 33,29]. Par exemple, la mesure sym´etrique exponentielle et la mesure gaussienne standard v´erifient ce crit`ere. Ce n’est pas le cas de la mesure exponentielle sur R+, notamment `a cause de son manque
de sym´etrie. Le r´esultat de Bobkov s’´enonce comme suit, avec ‹n la mesure produit dont chaque
facteur correspond `a la mesure exponentielle sur R+,
Th´eor`eme 7.7.1. (Bobkov) Pour tout id´eal non vide A µ Rn
+ tel que ‹n(BŒ) = ‹n(A) et tout rØ 0, l’in´egalit´e suivante est satisfaite :
‹n(A + rBŒ) Ø ‹n(B + rBŒ), autrement dit, ‹n(A + rBŒ) Ø 5 e≠r#‹n(A)$1/n+ (1 ≠ e≠r) 6n .
Remarque. Si n æ Œ et ‹n(A) = p est constant, le membre de droite de l’in´egalit´e pr´ec´edente
d´ecroit et converge vers la fonction double exponentielle. C’est `a dire
‹n(A + rB
Œ) Ø exp(≠e≠rlog(1/p)).
Comme pr´esent´e dans [24], il est int´eressant de consid´erer un certains types de mesures µ, lesquelles peuvent ˆetre atteinte en transportant la mesure exponentielle sur R+ ‹. Ces mesures
doivent v´erifier deux conditions :
1. La fonction de r´epartition H de la mesure µ, H(x) = µ[0, x], est continue et strictement croissante sur [0, bH), o`u bH = sup{x : H(x) < 1}.
2.
lim
tæŒ0Æx<bsupH
1 ≠ H(x + t) 1 ≠ H(x) = 0.
D’une certaine mani`ere les travaux de Bobkov vont dans le mˆeme sens que ceux de Gozlan [87]. En effet, dans l’article [24], Bobkov montre que l’application de transport monotone induit une m´etrique d sur R. Il montre notamment que cette m´etrique est sous-euclidienne, au sens o`u
d(x, y) Æ C|x ≠ y| pour tout x, y œ R. Ainsi, le renforcement de la concentration est obtenu par
un changement de m´etrique.
Remarque. Cette famille de lois, que nous noterons F, est pertinente pour notre probl`eme,
puisqu’il s’agit de mesure pouvant ˆetre vue comme des mesures images de la loi exponentielle sur R+. D’apr`es l’article de Bobkov, pour H œ F le fait suivant est satisfait : il existe C > 0 telle
que, pour tout t suffisament grand
1 ≠ F(t) Æ exp≠t/C. (7.18)
Nous allons plutˆot restreindre notre ´etude `a l’ensemble F0µ F, correspondant aux fonctions
de r´epartition H pouvant se repr´esenter sous la forme
F(t) = 1 ≠ exp!≠ V (t)", tœ R
avec t ‘æ V (t) une fonction convexe, continue et strictement croissante sur [0, bH) satisfaisant V(0) = 0 et limtæbHV(t) = +Œ. Il est clair que la valeur absolue de gaussienne standard, la
mesure exponentielle sym´etrique sur R ou encore les lois Gammas appartiennent `a F0. Il est ais´e
de voir que les lois appartenant `a F0 font parties du domaine d’attraction de la loi de Gumbel,
au prix de conditions suppl´ementaires mineures.
Proposition 7.7.2. Soit H œ F0et supposons que V œ C2(R) tel que VVÕÕÕ(t)(t)2 æ 0 lorsque t æ bH. Alors H appartient au domaine d’attraction de la loi de Gumbel.
D´emonstration. D’apr`es [108], le crit`ere de von Mises reposant sur H afin d’appartenir au do- maine d’attraction de la loi de Gumbel est le suivant
lim
tæbH
HÕÕ(t)!1 ≠ H(t)" HÕ(t)2 = ≠1
Il est ais´e de montrer que c’est le cas si H(t) = 1 ≠ exp!≠ V (t)" avec V satisfaisant les hypoth`eses de la proposition.
Le choix particulier de retreindre le probl`eme isop´erim´etrique, de la mesure exponentielle, aux id´eaux, permet d’obtenir des in´egalit´es de d´eviations pour le supremum. Plus pr´ecis´ement, en suivant l’article de Bobkov, soit (Yn)nØ1 des variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme
loi commune H œ FÕ. Soit LF0 l’ensemble des familles de variables al´eatoires X que l’on peut
repr´esenter sous la forme d’une s´erie presque sˆurement convergente, 176
X = Œ
ÿ
n=1 anYn,
avec an Ø 0 pour tout n Ø 1. Puisque H admet des moments exponentiels finis, la convergence
presque sˆur de la s´erie pr´ec´edente est ´equivalente `a la convergence de la s´erie qnØ1an. Etant
donn´e un ensemble T , les travaux de Bobkov fournissent des in´egalit´es de d´eviations pour le pro- cessus stochastique, presque sˆurement born´e, (Xt)tœT, consistant en des variables de l’ensemble LF0 et leur supremum
MT = sup tœTXt.
Nous restreignons notre ´etude au cas T = {1, . . . , n} et, pour tout i = 1, n, Xi= Yi(i.e. ain =
1 si n = i, 0 sinon). Ainsi, MT = Mn = maxi=1,...,nXi o`u Xi sont des variables ind´ependantes
de mˆeme loi commune H œ F0. Dans ce cas particulier, le r´esultat de Bobkov peut-ˆetre formul´e
comme suit, avec l’utilisation de la remarque7.18,
Th´eor`eme 7.7.3. (Bobkov) Pour tout p, 0 < p < 1, tout t Ø 0,
P(Mn≠ mpØ t) Ø C log(1/p) exp(≠ct), (7.19)
P(Mn≠ mp<≠t) Æ C exp!≠ etclog(1/p)", (7.20) avec mp d´esignant le quantile d’ordre p de Mn et H la fonction de r´epartition de la variables al´eatoire X.
En particulier, si l’on choisit p1/n= F≠1(1 ≠1/n), m
pcorrespondant au recentrage apparais-
sant dans la th´eorie des extrˆemes. Par exemple, pour le cas exponentiel ou celui de la loi gamma, nous obtenons
Proposition 7.7.4. Pour tout t Ø 0
P(Mn≠ log n Ø t) Æ Ce≠ct et
P(Mn≠ log n Æ ≠t) Æ Ce≠e ct
D´emonstration. La preuve est quasiment imm´ediate, d’apr`es le choix de p. De plus, ln(1/p) =
1 + o(1). Nous avons aussi utilis´e le fait que 1 ≠ e≠xÆ x pour x > 0, ici x = 2e≠t.
Ces in´egalit´es de d´eviations expriment bien, de mani`ere non asymptotique, la convergence en loi de la mesure exponentielle (respectivement mesure Gamma) vers la loi de Gumbel. On re- trouve bien la diff´erence de comportements entre les queues de distributions `a droite et `a gauche. De plus, de telles in´egalit´es impliquent que P(|Mn≠ log n| Ø t) Æ Ce≠ct, que l’on peut int´egrer
afin d’obtenir Var(Mn) Æ C.
Tout ceci peut ´egalement ˆetre obtenu pour le maximum de valeur absolue de variables al´eatoires gaussiennes ind´ependantes et de mˆeme loi. Nous laissons au lecteur le soin de compl´eter les d´etails. Rappelons qu’une in´egalit´e similaire `a d´eja ´et´e obtenue par Schetchtman dans [139].
Il pourrait ˆetre int´eressant d’´etudier un probl`eme isop´erim´etrique, similaire `a celui de Bobkov, pour des lois `a queues plus lourdes. Par exemple, si d‹ = e≠xq
dx,0 < q < 1 sur R+, est-il possible
de r´esoudre le probl`eme isop´erim´etrique pour des ´elargissements uniformes. Peut-on obtenir des in´egalit´es de d´eviations correspondant `a un domaine d’attraction diff´erent de le loi de Gumbel ? Il pourrait ˆetre aussi pertinent de tirer profit du th´eor`eme de Bobkov portant sur les d´eviations du supremum de variables de la forme X = qŒ
n=1anYn afin de pouvoir traiter les suites gaussiennes
stationnaires et de sortir du cadre des mesures produits.