La théorie des lignes de transmissions

Le comportement d’un câble est régi par la théorie des lignes de transmission. Dans le cas des câbles

de transmission HF, ils acheminent des courants de faible intensité comparée aux courants transitants sur les câbles de distribution. Ces câbles HF disposent de conducteurs de faible section et sont conçus

de façon à offrir un comportement similaire sur l’ensemble de la plage de fréquences d’utilisation de

ceux-ci.

La théorie des lignes de transmission reposent sur deux hypothèses principales que sont l’uniformité et

la conservation de courant [1, 2, 3].

 L’hypothèse d’uniformité consiste à supposer que les conducteurs des câbles sont parallèles

au même axe, que les paramètres géométriques que sont la section des conducteurs, la distance entre les conducteurs, leur longueur, ainsi que les propriétés physiques des conducteurs et des isolants restent constants sur toute la longueur de la ligne.

 L’hypothèse de la conservation de courant s’exprime par le fait que les courants circulant

dans les conducteurs « aller » sont égaux et opposés à la somme des courants des conducteurs « retour ».

Dans le cas d’un câble à deux conducteurs (câble bifilaire) comme sur les figures 3.1 et 3.2, à partir des deux hypothèses, il est possible d’établir le comportement de ce câble en un système d’équations

décrivant la variation du courant et de la tension en fonction du temps et de l’espace . Ces équations définies en 3.1 et 3.2 correspondent aux équations appelées communément équations des télégraphistes.

Figure 3.1 : Câble bifilaire Figure 3.2 : Cellule élémentaire d’un câble bifilaire

(3.01) (3.02)

Ces équations s’écrivent généralement sous la forme de deux équations aux dérivées partielles ne faisant intervenir qu’une variable.

(3.03) (3.04)

où le quadruplet RLCG représente les paramètres primaires de la cellule élémentaire du câble bifilaire. En effet, comme le définit la théorie des lignes de transmission, la représentation du comportement

d’un câble d’une longueur donnée se présente sous la forme d’une représentation de cellule élémentaire distribuée de façon infinie. Cette représentation du câble se définit sous le nom d’un

modèle dit à constantes distribuées ou réparties.

Les différents paramètres primaires de la cellule élémentaires se définissent comme :

 R : la résistance linéique en Ohm par mètre. Elle correspond aux pertes dans les deux

conducteurs en lien avec les courants de Foucault exposés au chapitre 2. Comme dans les

enroulements du transformateur, de par l’effet de peau et de proximité, la résistance des conducteurs s’accroit avec la fréquence.

 L : l’inductance linéique en Henry par mètre. Elle représente le champ magnétique généré lors

de la circulation du courant eu sein des conducteurs. Comme pour les enroulements, la présence de courants de Foucault a pour conséquence de diminuer légèrement la valeur de celle-ci en fonction la fréquence.

 C : la capacité linéique en Farad par mètre. Elle représente le coefficient de couplage lié au

champ et à la charge électrique.

 G : la conductance linéique en Siemens par mètre. Elle correspond à la faculté de l’isolant à laisser passer l’énergie entre les conducteurs.

A partir des deux équations aux dérivées partielles 3.3 et 3.4 et dans le cas où le courant et la tension sont sinusoïdaux de pulsation , il est possible d’en déduire les paramètres secondaires de la ligne de

transmission que sont l‘impédance caractéristique et la constante de propagation . Ces paramètres

secondaires dépendent des paramètres primaires.

La constante de propagation se définit par l’équation 3.5. Elle représente la variation de l’amplitude et de la phase du signal lors de la propagation de celui-ci dans le câble.

(3.05)

Cette grandeur est en général représentée de façon complexe où représente la constante

d’affaiblissement et la constante de phase :

(3.06)

L’impédance caractéristique est exprimée en Ohm. Pour un câble de transmission HF, elle est constante sur la bande de fréquences d’utilisation du câble.

(3.07)

L’ensemble de ces équations représente le comportement d’un câble à deux conducteurs. Elles sont

tout à fait transposables à un câble disposant de conducteurs. Les différents termes de ces équations deviennent des matrices de taille .

La connaissance des paramètres secondaires du câble permet de prédire le comportement de celui-ci.

En effet, la constante de propagation permet de connaitre l’atténuation et le déphasage du signal en fonction de la fréquence des signaux et de la longueur du câble. L’impédance caractéristique permet de caractériser l’adaptabilité du câble à ces impédances d’entrées et de sorties, et donc sa capacité à

produire des signaux réfléchis. En effet, lorsque ces impédances sont équivalentes à l’impédance

caractéristique du câble, il n’y a pas de phénomène de réflexion. Dans le cas contraire, des réflexions

se produisent au niveau de ces extrémités. Ces réflexions se définissent par un coefficient de réflexion correspondant au rapport de la tension (ou du courant) du signal se propageant dans le sens « aller » (signal incident) sur la tension (ou le courant) du signal se propageant dans le sens « retour » (signal réfléchi).

Les équations 3.9 et 3.10 illustrent ce coefficient de réflexion à l’entrée et à la sortie du câble.

(3.08) (3.09)

avec l’impédance d’entrée de la ligne et l’impédance de sortie de ligne.

En pratique, le coefficient de réflexion est exprimé par son module . Celui-ci correspond à une valeur comprise entre 0 et 1. Lorsque est égal à 0, il n’y pas de réflexion. Dans ce cas, le câble est

parfaitement adapté aux impédances d’entrées et de sorties. Lorsque est égale à 1, la réflexion à l’extrémité du câble est totale. Dans ce dernier cas, par exemple, la ligne peut être en circuit-ouvert.

Cette propriété est utilisée dans la détermination du positionnement des défauts sur les câbles que ce

soit en téléphonie, comme en distribution. A partir de l’injection d’un signal et de la connaissance de

ces propriétés, la distance du défaut est calculée à partir du temps que met le signal pour faire l’aller et le retour grâce à la réflexion totale. Ce module étant un rapport, celui-ci peut être exprimé en pourcentage. Au carré, il représente alors le pourcentage de la puissance de l’onde réfléchie vis-à-vis

de la puissance de l’onde incidente.

A partir de ce coefficient de réflexion, un outil télécom tel que le ROS « Rapport d'Ondes Stationnaires » équivalent du TOS « Taux d'Ondes Stationnaires » permet de quantifier la qualité

d’adaptation du câble avec les impédances présentes à ces extrémités.

Le ROS correspond au rapport entre le maxima et le minima du signal résultant du signal incident avec le signal réfléchi se propageant dans le câble.

(3.10)

Le ROS est compris entre 1 et l’infini. Lorsque qu’il vaut 1, ceci correspond au fait qu’il n’y pas de

réflexion et que la câble est adapté. Au-delà, le câble n’est pas adapté et apparaissent des signaux réfléchis. En pratique, un ROS inférieur à 1,5 est acceptable. Supérieur à 3, les signaux réfléchis impacteront fortement la transmission.

Dans le cas de transmission de signaux sinusoïdaux, ceux-ci se définissent par une onde de pulsation

. Cette onde est caractérisée par sa longueur d’onde en mètre, correspondant à la distance

(3.11)

Cette longueur d’onde est équivalente à une période de l’onde (cf figure 3.3). Plus le signal sera haut en fréquence, plus la longueur d’onde sera faible.

Figure 3.3 : Période de l’onde d'un signal sinusoïdal

A partir de la constante de propagation du câble, il est possible de déterminer la vitesse de propagation des ondes dans celui-ci.

(3.12)

Connaissant la longueur des signaux transitant dans le câble, il est alors possible de déterminer le positionnement des évanouissements en fréquence. En effet, comme exposé au chapitre 1, la transmission de signaux HF au sein des réseaux de distribution, de par la désadaptation des

impédances localisées avec l’impédance des câbles de distribution, a pour conséquence d’offrir un

support de transmission multitrajets. Les réseaux électriques offrent ainsi des problématiques de transmission similaires aux communications radio de par une sélectivité en fréquence. Les phénomènes de propagation particuliers se produisent lorsque le signal transitant dans le câble se voit réfléchi à une distance de , avec un entier. Quand cette distance entraine un déphasage de 90° ( ) ou de 270° ( ) de l’onde réfléchie par rapport à l’onde incidente, l’onde résultante sera

faiblement atténuée voire amplifié selon la puissance de l’onde réfléchie. Dans le cas d’un déphasage

de 180° ( ) de l’onde réfléchie par rapport à l’onde incidente, l’onde résultante sera fortement

atténuée (phénomène d’évanouissement en fréquence). Dans le cas d’un déphasage de 360° ( ), l’onde résultante sera amplifiée.

Pour illustrer ces phénomènes, dans l’hypothèse où l’onde réfléchie a une amplitude équivalente à l’onde incidente, la figure 3.4 représente l’onde résultante issue d’un déphasage de l’onde réfléchie avec l’onde incidente lorsque le câble dispose d’une longueur différente de . Dans le cas de

la figure 3.4, l’onde résultante est de l’ordre de grandeur des ondes incidente et réfléchie.

La figure 3.5 représente l’onde résultante issue d’un déphasage de l’onde réfléchie avec l’onde incidente lorsque le câble dispose d’une longueur très proche de , avec un entier impair,

ce qui a pour conséquence d’obtenir une onde résultante, dans ce cas, avec une amplitude amplifiée comparé aux ondes incidente et réfléchie.

Figure 3.5 : Deuxième cas d’onde résultante

La figure 3.6 représente l’onde résultante issue d’un déphasage de l’onde réfléchie avec l’onde incidente lorsque le câble dispose d’une longueur très proche de , avec un entier pair, défini par l’équation

, avec un entier. Cette troisième configuration a pour conséquence d’obtenir une onde résultante avec une amplitude de très faible valeur.

Figure 3.6 : Troisième cas d’onde résultante

La figure 3.7 représente l’onde résultante issue d’un déphasage de l’onde réfléchie avec l’onde

incidente lorsque le câble dispose d’une longueur très proche de , avec un entier pair,

défini par l’équation , avec un entier. Cette quatrième configuration a pour

conséquence d’obtenir une onde résultante avec une amplitude amplifiée comparée à celles des ondes

incidente et réfléchie, mais aussi supérieure à celle obtenue dans le cas de la figure 3.5.

Figure 3.7 : Quatrième cas d’onde résultante

Ces quatre figures ne présentent que trois cas particuliers de l’onde résultante. Entre chacun des cas,

l’onde résultante varie pour passer par les quatre stades présentés.

L’ensemble des phénomènes présentés dans cette section sont pris en compte dans le modèle à

constantes réparties. Dans le cas des câbles de distribution pour des études basses fréquences, des hypothèses simplificatrices sur le modèle à constantes réparties peuvent être posées.