à l’interpolation de Fourier utilisant un filtre de convolution en principe d’une étendue infinie, le gridding applique un filtre de largeur réduite typiquement de type Kaiser-Bessel. Le résultat de la convolution est un signal continu. Ce signal peut être re-échantillonné sur une grille cartésienne avant l’application de la transformation de Fourier rapide. Pour l’application de la convolution, la densité d’échantillonnage doit être prise en compte. De plus, l’effet de la convolution dans l’es-pace K sur l’image reconstruite doit être corrigé en divisant cette dernière par la TF du filtre de convolution. Cette technique sera détaillée à la section suivante (voir la section 7.4).
7.4 Théorie du gridding
L’interpolation des échantillons irréguliers de l’espace K sur une grille cartésienne est réalisée avec un noyau de convolution de largeur réduite typiquement de type Kaiser-Bessel [Jackson et al., 1991]. La densité des échantillons dans l’espace K n’est pas uniforme. Elle dépend de la trajectoire selon laquelle l’espace K est échantillonné. La densité d’échantillonnage de l’espace K doit être prise en compte pour l’application de la convolution. Le signal acquis est multiplié par la fonction de compensation de la densité d’échantillonnage de l’espace K. Une convolution des échantillons du signal avec un filtre dans l’espace K est équivalente à un produit de l’image reconstruite par la TF de ce filtre. L’intensité de l’image est donc pondérée par la TF du filtre. La division de cette intensité par la TF du filtre appliqué permet de corriger cette apodisation.
7.4.1 Calcul de la fonction de compensation de la densité d’échantillonnage
En général, le pas d’échantillonnage dans l’espace K n’est pas constant et le nombre d’échantillons par unité de distance (la densité d’échantillonnage) peut être variable. Par exemple, dans le cas d’un échantillonnage selon une trajectoire spirale d’un espace K à deux dimensions, le centre de l’espace K est sur-échantillonné. Le pas d’échantillonnage est plus petit que celui défini par le critère de Nyquist (δ kx61/∆xpour un champ de vue isotrope ∆x = ∆y). Il y aura des informations redondantes par rapport à celles nécessaires à la reconstruction des données selon le critère de Nyquist.
La prise en compte de la densité d’échantillonnage est nécessaire avant l’application de la transfor-mation de Fourier. Rappelons que W (kxi, kyi) représente le poids ou la fonction de compensation de la densité d’échantillonnage de l’espace K correspondant au iemeéchantillon. L’introduction de la fonction W (kxi, kyi) permet de réduire (respectivement augmenter) le poids du iemeéchantillon s’il appartient à une région sur-échantillonnée (respectivement sous-échantillonnée). La fonction W est constante si l’échantillonnage est uniforme (cartésien).
Il existe plusieurs façons de calculer la fonction de compensation de la densité d’échantillonnage de l’espace K selon une trajectoire arbitraire.
L’une des solutions consiste à calculer la densité des aires ρ (kxi, kyi) (area density function). Cette fonction est le résultat de la convolution de la fonction d’échantillonnage E (kxi, kyi) avec le noyau de convolution C (kxi, kyi) (ρ (kxi, kyi)= E (kxi, kyi) ∗ C (kxi, kyi)). Cette fonction augmente
7.4 Théorie du gridding
FIGURE7-2: Exemple d’une cellule de Voronoi à deux dimensions spatiales.
avec la densité d’échantillonnage. La correction de densité d’échantillonnage est calculée en divi-sant le signal de chaque échantillon irrégulier par la valeur de la fonction ρ (kxi, kyi) correspondante (W (kxi, kyi) =1/ρ (kxi)) [Jackson et al., 1991].
Une autre méthode pour estimer la densité d’échantillonnage de l’espace inverse consiste à calculer le diagramme de Voronoi [Rasche et al., 1999]. Définissons S comme un ensemble de points dans un plan. Définissons p et q comme deux points distincts appartenant à cet ensemble (p, q ∈ S). La dominance de p sur q, dom (p, q), est définie comme un sous-ensemble de points x qui sont plus proches du point p que du point q :
dom(p, q) = {x ∈ S, d(x, p) 6 d(x, q)} (7.5) où la fonction d (x, p) est définie comme la distance euclidienne entre les points x et p. L’ensemble des points x représente un demi-plan limité par la bissectrice entre les points p et q. Une cellule de Voronoi correspondant à un point p de l’ensemble S, notée V (p), est l’ensemble des points qui définissent la dominance du point p sur l’ensemble de ses voisins. Elle est exprimée par la relation suivante :
V(p) = ∩q∈S−{p}dom(p, q) (7.6)
Une cellule de Voronoi associée à un point p, dans un espace K à deux dimensions spatiales, est définie comme l’ensemble de points limités par l’intersection des bissectrices entre le point p et ses voisins (voir la figure 7-2).
Dans le cas d’un espace K à deux dimensions spatiales, l’aire d’une cellule de Voronoi associée à un échantillon diminue avec la densité des échantillons voisins dans l’espace K. Les aires des cellules de Voronoi sont proportionnelles à la fonction de compensation de la densité d’échantillonnage de l’espace K.
7.4.2 Choix du noyau de convolution
En pratique, le signal RMN est échantillonné avec une bande passante limitée et le nombre d’échan-tillons est également limité.
7.4 Théorie du gridding
Considérons le cas d’une dimension spatiale. La largeur de l’espace inverse échantillonné, ∆kx, est le produit du pas d’échantillonnage cartésien, δ kx, par le nombre d’échantillons, noté N (∆kx= N δ kx). Contrairement au cas idéal (fonction sinc d’une étendue infinie évoquée à la section 7.2), la fonction de convolution est tronquée puisqu’elle ne peut pas être infinie dans l’espace inverse. La troncature de cette fonction peut être représentée par le produit de la fonction sinc idéale (infinie) par une fonction rectangle d’une largeur de ∆kx.
C(kx) = sinc (kx) .
∏
(kx/∆kx) (7.7) Après transformation de Fourier, le résultat de cette troncature dans l’espace image, noté ρr(x), est une convolution de la fonction rectangle (T F ((sinc(kx))) ayant une largeur 4x (∆x =1/δ kx) avec la fonction sinc (T F (∏ (kx/∆kx))) ayant une étendue infinie :ρr(x) = (ρ(x) ∗ sinc(x)) ∗
∑
i
δ (x − i∆x) (7.8)
Le résultat de la transformation de Fourier d’un signal échantillonné périodiquement dans l’espace inverse est périodique dans l’espace image. La périodicité dans l’espace image est représentée par une convolution avec la fonction δ (x − i∆x). L’image reconstruite (la densité d’aimantation) sera répliquée avec une période de ∆x. La convolution par une fonction ayant une étendue infinie (sinc en l’occurrence) est à l’origine des contaminations entre les répliques de la densité d’aimantation (artefacts de repliement). De plus, aucun gain de temps de calcul n’est obtenu avec ce filtre (sinc) par rapport à la reconstruction avec la transformée de Fourier discrète. En effet, le nombre d’opé-rations nécessaires à la réalisation d’une convolution sur N échantillons dans l’espace inverse N2 est équivalent à celui nécessaire au calcul de la transformée de Fourier discrète conventionnelle. La restriction de la largeur du filtre de convolution réduit le temps de calcul nécessaire à la reconstruc-tion des données.
Le signal Sec(kx) obtenu après convolution du signal échantillonné (Se(kx)), avec prise en compte de la densité d’échantillonnage, avec le noyau de convolution C (kx) dans l’espace inverse est cal-culé avec la relation suivante :
Sec(kx) = Se(kx).W (kx) ∗ C(kx) (7.9)
La convolution du signal échantillonné et pondéré avec un noyau C (kx) dans l’espace inverse en-gendre une apodisation de la densité d’aimantation obtenue (ρrc(x)) avec la fonction c (x) dans l’espace direct :
ρrc(x) = ρr(x) . c(x) (7.10)
où c (x) est la TF du noyau de convolution C (kx).
La division de l’intensité d’aimantation ρrc(x) par la TF du filtre c (x) corrige son effet sur le signal reconstruit :
ρr(x) = ρrc(x) c(x) =
1
7.4 Théorie du gridding
La transformée de Fourier du filtre de convolution ne doit pas avoir des valeurs très faibles à l’inté-rieur du champ de vue pour ne pas avoir des artefacts importants après la correction de l’apodisation (division par la TF du filtre). Autrement dit, le lobe principal du filtre doit couvrir l’ensemble du champ de vue dans l’espace image (voir la figure 7-3). Afin d’éviter les artefacts de repliements, il est important de choisir un filtre avec une largeur réduite et telle que l’énergie de sa TF soit principalement concentrée sur le lobe principal. La division par la TF du filtre corrige l’apodisa-tion du signal dans le champ de vue en rehaussant le signal au bord du champ de vue. Cependant, cette correction amplifie aussi la contamination du signal du champ de vue principal par celui des répliques.
FIGURE 7-3: (a) TF filtre Hamming (b) L’inverse du filtre d’apodisation (c) Après correction de l’apodisation (figure extraite de [Jackson et al., 1991]).
Pour évaluer la distribution de l’énergie d’un filtre à l’intérieur du champ de vue (FOV) par rapport à l’ensemble de l’espace, définissons le paramètre R :
R= ´
FOV|c(x)|2dx ´+∞
−∞ |c(x)|2dx (7.12)
Plus l’énergie est concentrée sur la région d’intérêt moins il y aura d’artefacts de repliement. Dans le cas d’une interpolation de Fourier idéale, c (x) est une fonction rectangle (un filtre C (kx) de type sinc infini dans l’espace inverse) et le facteur R est égal à un. L’optimisation des paramètres du noyau de convolution consiste à réduire sa largeur tout en veillant à ce que le facteur R soit maximal c’est-à-dire que son énergie doit être principalement concentrée à l’intérieur du champ de vue. La limitation de la largeur du filtre dans l’espace inverse permet de réduire le temps de calcul. Une valeur maximale de R est obtenue avec des fonctions de type prolate sphéroïdale d’ordre zéro [O’Sullivan, 1985]. Une bonne approximation consiste à utiliser des filtres de type Kaiser-Bessel.
7.4 Théorie du gridding
Les expressions analytiques de ces filtres ainsi que leurs transfromées de Fourier sont simples et ils sont faciles à calculer.
C(kx) = 1 LI0 β q 1 − (2kx/L)2 −L/26 kx6L/2 (7.13)
où I0, est la fonction de Bessel modifiée d’ordre zéro de première espèce. β et L sont deux constantes caractéristiques du filtre. L est la largeur du filtre. La TF de ce filtre est définie par la relation suivante :
c(x) =
sinpπ2L2x2− β2
p
π2L2x2− β2 (7.14)
Arbitrairement, β peut être défini par la relation suivante :
β = π L x1 (7.15)
La fonction c(x) s’annule quand la phase de la fonction sinus est un multiple entier non nul de π . La largeur du lobe principal est déterminée par les valeurs de x correspondant à c(x) = 0 p
π2L2x2− β2= π. En prenant en compte l’équation 7.15, la coordonnée x0 correspondant à ce premier passage par zéro est calculée avec la relation suivante :
|x0| = q
x21+1/L2 (7.16)
La fonction c(x) ne doit pas avoir des valeurs nulles à l’intérieur du champ de vue, afin d’éviter des divisions par zéro lors de la correction de l’apodisation de l’intensité d’aimantation. La largeur du lobe principal doit donc être supérieure à celle du champ de vue. Nous pouvons prendre un champ de vue égal à 2x1 (∆x = 2x1). Dans l’espace inverse, le pas d’échantillonnage est calculé avec la relation suivante : δ kx=1/2x1. Dans ce cas, d’après la relation 7.15, le lien entre le paramètre β et la largeur du filtre est définie par l’expression suivante :
β = 1
2π L (7.17)
Les paramètres δ kx, β et L sont exprimés en nombre d’échantillons dans l’espace K (δ kx= 1). D’après la figure 7-4, l’énergie du signal à l’extérieur du champ de vue décroît avec la largeur du filtre Kaiser-Bessel.
Le champ de vue est agrandi en interpolant les échantillons irréguliers sur une grille cartésienne plus fine que δ kx(δ kx=1/∆x). L’augmentation du champ de vue en sur-échantillonnant l’espace K à la reconstruction réduit les artefacts de repliement. Dans ce cas, l’effet de l’apodisation de l’in-tensité d’aimantation est moins important à l’intérieur du champ de vue puisque le lobe principal de la TF du filtre d’apodisation est plus important que le champ de vue. Les lobes secondaires de la TF du filtre d’apodisation ne se replient pas à l’intérieur du champ de vue. Le sur-échantillonnage