Calcul de la forme d’onde des gradients correspondant à la trajectoire de

τ₁(t) si06 t 6 min(Ts2a, T_s) τ₂(t) si T_s2a6 t 6 Ta

(5.44)

Les figures 5-6 et 5-7.a représentent la variation de la vitesse de commutation et de l’amplitude des gradients appliqués selon le canal x. Cette forme d’onde des gradients permet d’échantillonner un espace K correspondant à un champ de vue de 200 mm et à une matrice de 128 × 128 après reconstruction.

Sur le système Bruker utilisé, la vitesse de commutation maximale (S₀) et l’amplitude maximale des gradients (G₀) sont de 126 mT /m/ms (S₀= 0, 9 × S_max) et 31, 5 mT /m (G₀= 0, 9 × G_max), respectivement. Le paramètre λ est égal à 1,11 (q = 0, 9). La vitesse de commutation des gradients au début de la forme d’onde de gradients dépasse la valeur maximale S₀, due aux approximations réalisées. Le choix d’une vitesse de commutation de gradients S₀inférieure à celle permise par le système de gradient (S_max) permet d’éviter d’atteindre cette limite au début de la forme d’onde de gradients.

Les figures 5-7.b et 5-8 représentent la composante x et l’ensemble de la trajectoire, respectivement.

5.4.2 Calcul de la forme d’onde des gradients correspondant à la trajectoire

de retour au centre de l’espace K

5.4 Conception de la trajectoire spirale

Pour revenir rapidement au centre de l’espace K, une trajectoire de retour a été conçue en prenant en compte les contraintes matérielles du système de gradients. L’amplitude des gradients et la vitesse de commutation sont déterminée par le courant qui circule dans les bobines de gradients et la tension entre leurs bornes, respectivement. Ces deux paramètres doivent être continus lors de la transition entre la fin de la spirale croissante (de type out) et la trajectoire de retour au centre de l’espace K.

Pour revenir au centre de l’espace K, il faut compenser la phase accumulée dans le temps sous l’effet des gradients correspondant à la spirale croissante en appliquant un lobe de refocalisation à la fin de la forme d’onde des gradients. L’amplitude de ce lobe est ajustée de façon à pouvoir compenser la phase accumulée sous l’effet des gradients appliqués ainsi que les imperfections du système de gradients (voir la figure 5-9).

Pour simplifier les calculs des composantes des formes d’onde des gradients de la trajectoire de retour, l’angle polaire correspondant au dernier échantillon de la spirale croissante doit être nul c’est-à-dire ses coordonnées cartésiennes sont (0, k_{y max}). Dans ces conditions, l’amplitude du gra-dient appliqué dans la direction x est à sa valeur maximale par rapport à la forme d’onde des gradients et celle du gradient appliqué selon la direction y est nulle.

Pour simplifier notre illustration, traitons la forme de gradient indépendamment de la direction de son application et supposons que l’angle polaire du dernier échantillon de la spirale croissante est nul.

Définissons deux fonctions du temps g_retour(t) et s_retour(t) représentant la variation respectivement de l’amplitude et de la vitesse de commutation des gradients associées à la trajectoire de retour au centre de l’espace K. Pour assurer la continuité de la forme d’onde des gradients, l’amplitude g₀et la vitesse de commutation des gradients s₀à la fin de la spirale croissante doivent être égales à celles du premier point de la trajectoire de retour (g_retour(0) = g₀et s_retour(0) = s₀). Avant d’appliquer le lobe de refocalisation, il faut également que l’amplitude du dernier point de la forme d’onde soit nulle. Si elle ne l’est pas, des points supplémentaires seront rajoutés à la fin de cette forme d’onde pour l’y amener graduellement. Pour réduire la durée liée à ces points additionnels, l’amplitude des gradients doit varier avec une vitesse de commutation maximale (S₀). Pour assurer la continuité de la tension entre les bornes des bobines de gradients, la vitesse de commutation de gradients doit varier progressivement afin de changer de signe et d’atteindre S₀. La variation de cette vitesse de commutation est définie par la relation suivante :

s_retour(t) = −sign [s_retour(0)] ψ t + sretour(0) 06 t 6 Tsm (5.45)

où sign [sretour(0)] représente le signe du dernier point de la spirale croissante. Le paramètre ψ représente la variation de la vitesse de commutation des gradients dans le temps^ψ =^ds(t)_dt

 . Dans notre modèle, le paramètre ψ est constant. T_sm est le temps qu’il faut à la vitesse de commutation des gradients pour changer de signe et atteindre sa valeur maximale (voir la figure 5-9).

s_retour(T_sm) = −sign [s_retour(0)] ψTsm+ s_retour(0) = −sign [s_retour(0)] S₀ (5.46)

T_sm= ¹

5.4 Conception de la trajectoire spirale

La forme d’onde des gradients de retour est déduite en intégrant l’équation 5.45 :

g_retour(t) = −¹

2^sign[sretour(0)] ψt²+ s_retour(0)t + g_retour(0) 06 t 6 Tsm (5.48) où g (0) est l’amplitude du gradient correspondant au dernier point de la spirale croissante. A l’ins-tant T_sm, le gradient est obtenu par la relation suivante :

g_retour(T_sm) = −¹

2^sign[sretour(0)] ψT_sm² + s_retour(0)T_sm+ g_retour(0) (5.49) Ensuite, l’amplitude du gradient doit décroître linéairement avec le temps à la vitesse maximale de commutation de gradients selon la relation suivante :

g_retour(t) = −sign [s_retour(0)] S₀(t − T_sm) + g_retour(T_sm) T_sm6 t 6 Tg0 (5.50)

A l’instant t = T_g0, l’amplitude du gradient est nulle (voir la figure 5-9).

g_retour(T_g0) = −sign [s_retour(0)] S₀(T_g0− T_sm) + g_retour(T_sm) = 0 (5.51)

T_g0est calculé selon la relation suivante :

T_g0= T_sm+ sign [s_retour(0)]^gretour(Tsm)

S₀ (5.52)

Le gradient correspondant au lobe de refocalisation varie selon la relation suivante :

g_retour(t) = g_msin hπ

T ^t− T_g0
ⁱ

T_g06 t 6 Tf (5.53)

où g_m et T sont l’amplitude et la durée du lobe de refocalisation, respectivement T = T_f− T_g0
. T_f représente l’instant de la fin de la trajectoire de retour au centre de l’espace K. La vitesse de commutation de gradients (sretour(t)) est déduite en dérivant le gradient g_retour(t) :

s_retour(t) =^dgretour(t) dt = g_m^π T^cos hπ T ^t− T_g0
ⁱ T_g06 t 6 Tf (5.54)

g_met T dépendent de la forme d’onde de gradient appliquée. L’aire de ce lobe est égale à l’intégrale de la forme d’onde de gradient appliquée du début jusqu’à l’instant T_g0. Pour assurer la continuité de la forme d’onde de gradient, s_retour(t), doit être identique entre le début du lobe de refocalisation et à la fin de la forme d’onde de gradient appliquée avant ce lobe. La vitesse de commutation des gradients au début du lobe de refocalisation s_retour T_g0
est calculée selon la relation suivante :

s_retour T_g0
= g_m^π

T (5.55)

5.4 Conception de la trajectoire spirale

g_m= ^T π

s_retour T_g0
(5.56)

En remplaçant gmpar son expression en fonction de T dans la relation 5.53 :

g_retour(t) = ^T

πs_retour T_g0
sin^hπ

T ^t− T_g0
ⁱ

T_g06 t 6 Tf (5.57)

L’aire du lobe de refocalisation doit être égale à l’intégrale K₊ de la forme d’onde de gradient appliquée avant le lobe de refocalisation.

γ 2π Tf ˆ Tg0 g_retour(t)dt = ^γ 2π3T²s_retour T_g0
h −cos^nπ T ^t− T_g0
^oiTf Tg0 (5.58) γ 2π Tf ˆ Tg0 g_retour(t)dt = ^γ π³T²s_retour T_g0
= −K+ (5.59)

La durée du lobe de refocalisation (T ) est déduite de l’équation 5.59 :

T = s

− ^π

3K₊

γ s_retour T_g0
(5.60)

En remplaçant l’expression de T dans la relation 5.56 :

g_m= s_retour T_g0
s −^π γ K₊ s_retour T_g0
(5.61)

La forme d’onde du lobe de refocalisation est exprimée selon la relation suivante :

g_retour(t) = s_retour T_g0
s −^π γ K₊ s_retour T_g0
^sin   s −^{γ sretour Tg0}
π K₊ t− T_g0
  T_g06 t 6 Tf (5.62) Ces relations peuvent être appliquées au calcul des formes d’onde de gradient associées à la trajec-toire de retour appliquées selon l’axe x et y (voir la figure 5-10).

En général, l’angle polaire du dernier point de la spirale croissante n’est pas nul. Cet angle dépend du nombre de tours parcourus en un seul entrelacement, noté n, et du nombre d’entrelacements spatiaux, noté N_spat ^α =_N^2πn

spat



. En appliquant une rotation d’un angle −α, il est possible de calculer g_retour(0) et s_retour(0) à partir de l’amplitude et de la vitesse de commutation des gradients du dernier point de la spirale sortante, g₀et s₀, respectivement. Les composante x et y de l’amplitude

5.4 Conception de la trajectoire spirale

(a) (b)

FIGURE5-10: (a) Composante x et (b) composante y de la forme d’onde de gradients de la trajec-toire de retour au centre de l’espace K (champ de vue de 200 mm et une matrice d’interpolation de 24 × 24).

et la vitesse de commutation des gradients du premier point de la trajectoire de retour au centre de l’espace K sont calculées selon les systèmes d’équations suivants :

(

g_{retour x}(0) = g_{0 x}cos(α) + g0 ysin(α)

g_{retour y}(0) = −g_{0 x}sin(α) + g_{0 y}cos(α) ^(5.63)

(

s_{retour x}(0) = s_{0 x}cos(α) + s0 ysin(α)

s_{retour y}(0) = −s_{0 x}sin(α) + s0 ycos(α) ^(5.64)

Après la calcul des formes d’onde des gradients de la trajectoire de retour à partir d’un point ayant un angle polaire nul, une rotation d’un angle α est appliquée. Cette rotation permet de calculer les formes d’onde des gradients permettant de revenir au centre de l’espace K à partir d’un point correspondant à un angle polaire α.

5.4.3 Calcul de la forme d’onde des gradients des différents entrelacements