6 Diffraction par une fente temporelle 97
6.2 Théorie élémentaire
Dans cette section sont
présentées
deuxapproches théoriques simples
pourdécrire le
phénomène
de diffractiontemporelle.
Lapremière
consiste às’appuyer
sur
l’expression
de la fonction d’onde enpoint
de vueposition
et à utiliser unetransformation de Fourier pour obtenir le
spectre
enimpulsion
et donc enénergie.
La relation d’incertitude
temps-énergie
est ainsi déduite dans ceproblème
de larelation d’incertitude
position-impulsion.
La secondeapproche, numérique,
utilise lepropagateur
deFeynman.
Elle nouspermet
de faire desprédictions quantitatives
des
spectres
enénergie après diffraction, prédictions qui
se révéleront être en bon accord avec les résultatsexpérimentaux.
6.2.1 Diffraction d’un faisceau monocinétique
On cherche à réaliser une
expérience
de diffractionqui
soitl’équivalent temporel
des
expériences
habituelles menées dans le domainespatial :
unepremière
fente(i.e.
unpremier rebond)
définit une zone de cohérenceaprès
une sourceétendue,
et une seconde fente
(i.e.
un secondrebond)
effectue la diffraction :figure (6.1).
Considérons la réflexion d’une
particule d’impulsion
incidente pz =Mvz
parun miroir
pulsé
réfléchissantuniquement pendant
untemps
. La fonction d’onde03A8
(z)
de cetteparticule juste après
la réflexion a une formecarrée1 :
ce
qui
en transformée de Fourier donne :Les
premiers
maximums secondaires de diffraction sont obtenus pour :et ont une hauteur de ~ 4.5
%
dupic
central.Après
cerebond,
les atomes ont unetrajectoire parabolique
et ilsatteignent
le miroir untemps
T =2pz/Mg après
le
pulse
diffractant pour le maximumcentral,
et T ± 0394t pour les deux maximumslatéraux avec :
Pour observer un
effet,
il faut des "fentes" suffisamment courtes pour que les pre-miers ordres de diffraction soient en dehors de la zone éclairéegéométriquement.
1
Il s’agit là d’une approche semi-classique, dans laquelle le problème des conditions aux limites
La distribution
classique
destemps
d’arrivée est untrapèze
de base 3(figure 6.1,
b).
Pour que les effets de diffraction soient clairementvisibles,
nous choisirons lecritère 0394t
= 3,
soit :C’est une durée de
pulse
inférieure par un ordre degrandeur
à cellequi
a été utilisée pour lesexpériences
de modulation dephase.
Le même ordre de
grandeur
se retrouve en considérant leslargeurs
à mi-hauteur des distributions destemps
d’arrivée au niveau du troisième rebond. Cettelargeur
en
énergie
est bornée par uneinégalité
deHeisenberg qui
dans le cas de la troncaturede la fonction d’onde par une
porte
de durée donne :Les
phénomènes
de diffractiontemporelle
doivent êtrepris
encompte quand
cettelargeur 0394EQu
devientsupérieure
à lalargeur
enénergie
déterminéeclassiquement :
0394E
Cl
=2E
0
/T (eq. 3.3).
La condition0394EQu
>0394ECl
donne~ 40 03BCs,
en bon accord avec l’ordre degrandeur précédant (eq. 6.5).
La durée ~4003BCs correspond
ainsi à la sélection la
plus
fine que l’onpuisse
faire avec T = 50 ms ;d’après (eq.
3.2)
elle conduit à unpic
delargeur
à mi-hauteur de 20003BCm/s (~ vrec/20).
6.2.2 Calcul par intégrale de chemin
Pour une
particule
en mouvement dans lechamp
depesanteur (potentiel
linéaire),
lepropagateur
deFeynman Agrav(ta, tb,
, zazb)
d’unpoint
A en(ta, za)
vers un
point
B en(tb
>ta, ) zb peut
être calculéanalytiquement.
Laphase
de cepropagateur
n’est autre que l’actionSCl
évaluée lelong
de latrajectoire classique
reliant A à B. Cette action
SCl
a pourexpression [3] :
avec :
Dans le cas
particulier
où lespositions
initiales za etfinales zb
sontnulles,
ceFIG. 6.1 :
(a), Principe
del’expérience :
deuxpulses
sélectionnent lavitesse,
le troisième sert
d’analyse.
Enbalayant la position
de cedernier,
on reconstitue larépartition
destemps
d’arrivée au troisième rebond.(b)
Cetteexpérience
estéquivalente
à la sélectionspatiale
d’un pinceau delumière,
et àl’analyse
duprofil
diffracté
parbalayage
d’unefente
devant un détecteurtrop épais
pour résoudre les détails de la structurediffractée.
FIG. 6.2.
(a)
Pouraugmenter
lesignal,
onremplace chaque pulse
de lafigure (6.1)
par un réseau de
pulses. (b) Equivalent géométrique
de lafigure (6.1, b)
oùchaque
fente
estremplacée
par un réseau defentes.
Cesfentes
sontsuffisamment espacées
où le
préfacteur
del’exponentiel
de(6.10)
est donné pourmémoire,
mais sacontri-bution
numérique
dans lalargeur
desspectres
estnégligeable.
Dans le cas de
l’expérience
àlaquelle
nous nousintéressons,
on obtientl’amplitude
depropagation A(ti, tf)
de t, àtf
en sommant lesamplitudes
deproba-bilités sur la fente intermédiaire
(la seconde)
voirfigure (6.1, a).
Onnéglige des
tra-jectoires
peuprobables
comme un double rebond durant un mêmepulse. A(ti,tf)
est donc donné par :
Ceci nous
permet
d’obtenir l’intensitéS(tf)
dusignal
final en z =0, juste
avant le troisième rebond :Il
s’agit
bien del’intégrale
du module au carré def) A(t,ti
et non du module aucarré de
l’intégrale
car lapremière
fente(i.e.
lasource)
est incohérente.Pour rendre
compte
dessignaux expérimentaux,
il faut tenircompte
del’élargissement instrumental,
lié à ladétection, qui
se fait à l’aide d’un troisièmepulse
delargeur
. Pourcela,
onprend
la convolution deS(tf)
par une fonction"porte"
de durée . Les résultats des calculsnumériques [118]
sontcomparés
aucourbes
expérimentales (figures
6.5 et6.6).
6.2.3 Durée effective des pulses
Même si on suppose que le
temps
de montée en intensité despulses
est infinimentcourt,
comme la réflexion n’est pas instantanée maisprend
untemps
dequelques
refl =
1/kv
2
,
les atomesqui
tombent au moment oùl’impulsion
est allumée ouéteinte ne vont pas être réfléchis
"élastiquement".
Il va y avoir accélération desatomes à la montée de
l’impulsion,
ou au contraire décélération à la descente. Lamodification en vitesse est suffisamment
grande
pour que ces atomes contribuentsimplement
par un fondcontinu ;
ce n’est donc pas une caused’élargissement
desspectres,
mais depertes.
L’effetprincipal
de cespertes
est de réduire la duréeeffec-tive des
pulses
dequelques
refl, c’est-à-dire dequelques
micro-secondes. Cettediminution de durée a été
prise
encompte
dans les calculs desspectres
diffractés(avant
d’obtenir les résultatsexpérimentaux,
car ce ne sont pas desparamètres
ajustables).
Elledépend
de ; pour = 40 03BCs parexemple,
la durée effective dupremier pulse
est réduite de 1 03BCs, et celle du second de 3 03BCs. Cette réduction estpeu
importante
pour lepremier pulse,
car la distribution de vitesse incidente estrelativement
large
à cet instant(0394v ~
4cm/s).
Pourvu que la vitesseapparente
du
miroir,
liée au branchement ou audébranchement,
nedépasse
pas0394v,
il y aurades atomes
qui après
rebond auront la vitesse correcte pour rebondir une secondefois. La réduction est
plus
sévère pour le secondpulse
car la sélection en vitesse estdu miroir de cet ordre pour que les atome
repartent
avec une vitesse modifiée de telle manièrequ’ils
"ratent" le troisièmepulse.
Dans le document
Cavité gravitationnelle et optique atomique temporelle
(Page 100-105)